《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第八章 向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何 一、学习目的与要求 1、掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积），两个向量夹角的求法及垂直、平行的条件。 2、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟悉掌握用坐标表达式进行向量运算。 3、熟悉平面方程和直线方程及其求法。 4、理解曲面方程的概念 掌握常用二次曲面的方程及其图形。 5、知道空 线的参数方程和一般方程。 二、学习重点 向量运算，平面方程与直线方程及其求法 三、内容提要 1向量代数 (1)概念与运算既有大小又有方向的量称为矢量（向量），在数学中常用有向线段AB 或ā表示，其坐标表示为ā=xi++k={x,y,}。失量的大小称为矢量的长度或 模，记作AB或a,其坐标表示为=x2+y2+:2。模为零的矢量称为零矢量， 记作0，它无确定的方向。模为1的矢量为单位矢量，非零矢量ā的同方向单位矢量记 作a°，与矢量ā同方向的单位矢量a°可表示为 骨原4 设矢量a与三坐标轴正向的夹角为a,B,Y,则cosa,cosB,cosy称为矢量ā的方向 V 余弦，其坐标表示为cosa= F2+y2+京os Vx2+y2+22 ca7K+y产+{o co,csy怡为与a方向相同的单位矢量，且有 cos2a+c0s2B+c0s27=1。对于空间任意两点M,(,)及M,(,2,22)，则矢 量M,M2可表示为{x2-x,片2-y,52-}。矢量ā在矢量b上的投影可表示为 Prjga=cosa,b),其中0s(a,b)π (2)矢量的运算及性质 ()矢量的线性运算 加法满足平行四边形法则或三角形法则。若用坐标表示式，设

73 第七章 向量代数与空间解析几何 一、学习目的与要求 1、掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积），两个向量夹角的求法及垂直、平行的条件。 2、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟悉掌握用坐标表达式进行向量运算。 3、熟悉平面方程和直线方程及其求法。 4、理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其图形。 5、知道空间曲线的参数方程和一般方程。 二、学习重点 向量运算，平面方程与直线方程及其求法 三、内容提要 1 向量代数 （1）概念与运算 既有大小又有方向的量称为矢量（向量），在数学中常用有向线段 AB 或 a  表示，其坐标表示为 a = xi + yj + zk = {x, y,z}     。矢量的大小称为矢量的长度或 模，记作 AB 或 a  ，其坐标表示为 a  = 2 2 2 x + y + z 。模为零的矢量称为零矢量， 记作 0，它无确定的方向。模为 1 的矢量为单位矢量，非零矢量 a  的同方向单位矢量记 作 0 a  ，与矢量 a  同方向的单位矢量 0 a  可表示为 0 a  = a a   ={ 2 2 2 x y z x + + , 2 2 2 x y z y + + , 2 2 2 x y z z + + }. 设矢量 a  与三坐标轴正向的夹角为  ,  , , ，则 cos  ,cos  ,cos  称为矢量 a  的方向 余弦，其坐标表示为 cos  = 2 2 2 x y z x + + ,cos  = 2 2 2 x y z y + + , cos  = 2 2 2 x y z z + + ,{ cos  ,cos  ,cos  }恰为与 a  方向相同的单位矢量，且有 cos2  +cos2  +cos2  =1。对于空间任意两点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 及 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z ，则矢 量 M 1M 2 可表示为 { , , } 2 1 2 1 2 1 x − x y − y z − z 。矢量 a  在矢量 b  上的投影可表示为 Pr j a a cos(a,b) b      = ，其中 0  ( a b   , )   . （2）矢量的运算及性质 （I）矢量的线性运算 加法满足平行四边形法则或三角形法则。若用坐标表示式，设

a={x1,1},6={x2y22},则ā+6={x1+x2,以+y2,1+2} 相应的减法定义为一矢量加上一矢量的负矢量，即ā-b=ā+(-b)。其坐标表示 为石-b={x-x2出-当2，-2}.对于任意实数1，定义数乘：设ā={x,以则 元a={元xy,z。 ()向量的数量积（也称点积，内积） 两矢量的数量积定义为a.b-同cos(a,b)其中（ā，b)表示矢量ā与b的夹角， 0≤(a,b)sπ。当（ā，b)=时，称a与6垂直，记作ā16 向量的数量积满足下列运算定律： a.b=ba:a(6+)=a.6+a-c:a.b=(a-b=a(: a1i台a.b=0 若设ā={偶，}，b=杯乃，则āb=xx3+乃+ ā16→ā.6=0台x+y+5=0 (山向量的向量积（也称叉积，外积） 两向量的向量积定义：ā×b是一个同时垂直于ā与b的矢量，它的模 a×b=同sin(ā，石，它的方向根据右手规则确定。 向量积满足下列运算定律： a×b=-bxa ax(6+c)=a×b+a×c a(axb)=(a)xb=ax(ab) aWb(或a,6共线)一axb=0 其几何意义：后xd表示以ā，为邻边的平行四边形的面积。 方 设a=杯y,万=x,则axb=为 X2 y2 =2

74 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ，则 { , , } 1 2 1 2 1 2 a + b = x + x y + y z + z   。 相应的减法定义为一矢量加上一矢量的负矢量，即 a b a ( b)     − = + − 。其坐标表示 为 { , , } 1 2 1 2 1 2 a − b = x − x y − y z − z   。对于任意实数  ，定义数乘：设 a = {x, y,z}  则  a  ={  x,  y,  z}。 （II）向量的数量积（也称点积，内积） 两矢量的数量积定义为 a b a b cos(a,b)        = 其中( a b   , )表示矢量 a  与 b  的夹角， 0  ( a b   , )   。当( a b   , )= 2  时，称 a  与 b  垂直，记作 a  b  ⊥ . 向量的数量积满足下列运算定律： a b b a      =  ； a b c a b a c        ( + ) =  +  ； (a b) ( a) b a ( b)         =   =   ； a  b  ⊥  a b    =0 若设 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ，则 1 2 1 2 1 2 a b = x x + y y + z z   a  b  ⊥  0 0 a b =  x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =   (III) 向量的向量积（也称叉积，外积） 两向量的向量积定义： a b    是一个同时垂直于 a  与 b  的矢量，它的模 a b    = a  b  sin( a b   , )，它的方向根据右手规则确定。 向量积满足下列运算定律： ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b b a a b c a b a c                    =   =    = −   + =  +  a b   // （或 a b   , 共线）  a b = 0   其几何意义： a b    表示以 a b   , 为邻边的平行四边形的面积。 设 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ,则 a b    = 2 2 2 1 1 1 x y z x y z i j k   

ā6台ā×石=0台-上=4，其中若，乃，5之中有-个为“0”时，如 x2y22 x,=0,应理解为x=0。 (V)三向量的混合积 三向量的混合积定义为a,，c]=(ā×)c。三向量的混合积具有轮换性 [a,b,]=[b,c,=[c,a,b]:三向量共面台[a,b,=0 x y 1 设ā={x,y,5,b={2,2,2},c={x3为3}，则(@×b)c=2y:2 3 y3 =3 其几何意义：《āxb)d表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积。 (V)矢量之间夹角的余弦为cogā，b)= xX2+y2+z122 买+片+号写+片+写 2平面与直线 ()平面方程 (1)点法式方程：A《x-x)+By-%)+C(-o)=0,其中M(xo,o,)为平面上 定点，非零向量方={A,B,C}为平面的法向量。 (2)一般式方程：Ax+y+C:+D=0其中i={A,B,C}为平面的法向量。特别情 况：Ax++C:=0表示通过原点的平面：Ax++D-0,D≠0表示该平面 与z轴平行：Ax+D=0,D≠0表示该平面与y0:面平行；x=0表示o:平面 (3)截距式方程：若已知平面π在三坐标轴上的截距分别为a,b,c则平面π的方程 为++(ac0 (Ⅱ)直线方程

75 a b   //  a b = 0    2 1 x x = 2 1 2 1 z z y y = ,其中若 2 2 2 x , y ,z 之中有一个为“0”时，如 2 x =0，应理解为 1 x =0。 （IV）三向量的混合积 三向量的混合积定义为 a b c a b c       [ , , ] = (  ) 。三向量的混合积具有轮换性： [a,b,c] [b,c,a] [c,a,b]          = = ；三向量共面  [a,b,c] = 0    设 { , , }, { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a = x y z b = x y z c = x y z    ,则 a b c    (  ) = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z . 其几何意义： a b c    (  ) 表示以 a b c    , , 为棱的平行六面体的体积。 （V）矢量之间夹角的余弦为 cos( a b   , )= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z x x y y z z + + + + + + . 2 平面与直线 （I）平面方程 （1）点法式方程： A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0,其中 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为平面上 一定点，非零向量 n = {A, B,C}  为平面的法向量。 （2）一般式方程： Ax + By + Cz + D = 0 其中 n = {A, B,C}  为平面的法向量。特别情 况： Ax + By + Cz = 0 表示通过原点的平面； Ax + By + D = 0, D  0 表示该平面 与 z 轴平行； Ax + D = 0, D  0 表示该平面与 yoz 面平行； x =0 表示 yoz 平面 (3) 截距式方程：若已知平面  在三坐标轴上的截距分别为 a,b, c 则平面  的方程 为 c z b y a x + + =1 ( a,b, c  0)。 ( II )直线方程 （1） 标准式（也称对称式，点向式）方程： p z z n y y m x x 0 0 − 0 = − = − ，其中

M,(,0,)是直线上一定点，了={m,n,P}为与直线平行的非零向量（即方向向量） x=x。+mt, (2)参数式方程： y=y。+m, (t为参数) (===0+pt (3)一般式（视作两个不平行平面的交线）方程： Ax+B+C:+D,=0, A2x+B2y+C2+D2=0, i方k 其方向向量可取为5=4BG 42 B2 C2 (Ⅲ)直线、平面间的位置关系 设平面元1，元2的法向量分别为元={4，B,C},元={4，B,C},两直线L,山 的方向矢量分别为S,={m1,n,P,},52={m2,n2,P}.两平面π2与元1间的夹角 0(常指锐角)由公式 c0s0-历x元 A42+BB2+C C2 问园F+B+C店+B+C确定. 两直线L,与La间的夹角0（常指锐角）由公式 mm +nm ppz 网++偏+玩+厉能， 两平面与平行，垂直的充要条件元，元∥元4=尽=S π21π1台i1i2台AA,+BB+CC2=0. 两直线L,与平行，垂直的充要条件：∥台可∥，台m=-: mz n2 P2 L⊥L2台5⊥52台mm+nh+PP3=0. L,与L2共面台(×32)MM2=0,其中M,M分别为L,L2上的已知点 直线L与平面π平行、垂直的充要条件：LU∥π一5⊥一Am+Bm+Cp=0

76 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 是直线上一定点， s = {m,n, p}  为与直线平行的非零向量（即方向向量）. （2）参数式方程：      = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 , , （t 为参数）. （3）一般式（视作两个不平行平面的交线）方程：    + + + = + + + = 0, 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 其方向向量可取为 2 2 2 1 1 1 A B C A B C i j k s     = . ( III ) 直线、平面间的位置关系 设平面 1 2  , 的法向量分别为 { , , }, { , , } n1 = A1 B1 C1 n2 = A2 B2 C2   ，两直线 L1,L2 的方向矢量分别为 { , , }, { , , } S1 = m1 n1 p1 S2 = m2 n2 p2   。两平面  2 与  1 间的夹角  （常指锐角）由公式 cos  = 1 2 1 2 n n n n      = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C + + + + + + 确定。 两直线 L１与 L2 间的夹角  （常指锐角）由公式 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m n p m n p m m n n p p s s s s + + + + + + =  =      确定。 两平面  2 与  1 平行，垂直的充要条件:  2 //  1 2 1 2 1 2 1 1 2 // C C B B A A  n n  = =   ;  2 ⊥  1  n1 ⊥ n2  A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0   . 两直线 L１与 L2 平行，垂直的充要条件: // // ; 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 p p n n m m L L  s s  = =   0. L1 ⊥ L2  s1 ⊥ s2  m1m2 + n1n2 + p1 p2 =   L１与 L2 共面 ( ) 0,  s1  s2  M1M2 =   其中 M1，M2 分别为 L１,L2 上的已知点。 直线 L 与平面  平行、垂直的充要条件:L//  s ⊥ n  Am + Bn + Cp = 0;   

L山π。3∥n⊙4_BC m n p V)点到平面的距离 点M,化：)到平面万：++Cc+D=0的距离d.,+B。+G。+D A2+B2+C (V)点到直线的距离 设点M化，)和直线上。'-上。-0，则点M,到直线L的距 MoM xs 离d= s ,其中M(x,0)为直线L上一定点，s={m,n,p}为直线L 的方向矢量。 3曲面与空间曲线 (1)二次曲面 曲面名称 方程 球面： (x-x)2+0-y2+e-:)2=R2 球心(xyoo】 半径R 椭球面： X- 中心(0,0,0)， 半轴长ab.c 单叶双曲面 中心(0,0,0) 双叶双曲面 中心(0,0,0) x2 y2 z2 ab-c3-1 椭圆抛物面！ x2 项点(0,0,0) z轴为对称轴 +6京=2ep0) 双曲抛物面 顶点(0.0,0) z轴为对称轴

77 L // . p C n B m A ⊥  s n  = =    (IV) 点到平面的距离 点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 到平面  : Ax + By + Cz + D = 0 的距离 d = 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D + + + + + （V）点到直线的距离 设点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 和直线 L: p z z n y y m x x 0 0 − 0 = − = − ，则点 M1 到直线 L 的距 离 d = s M M  s 0 1 ,其中 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为直线 L 上一定点， s = {m,n, p}  为直线 L 的方向矢量。 3 曲面与空间曲线 （I）二次曲面 曲面名称 方程 球面: 球心( 0 0 0 x , y ,z ) 半径 R 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 椭球面: 中心(0,0,0), 半轴长 a,b,c 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 单叶双曲面: 中心(0,0,0) 1 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x 双叶双曲面: 中心(0,0,0) 1 2 2 2 2 2 2 − − = c z b y a x 椭圆抛物面: 顶点(0,0,0) z 轴为对称轴 pz b y a x 2 2 2 2 2 + = (p>0) 双曲抛物面: 顶点(0,0,0) z 轴为对称轴 pz b y a x 2 2 2 2 2 − =

锥面 中心轴为z轴 y22 顶点为0,0,0) a2b2 (Ⅱ)柱面 一般地，若曲面方程f(x,八，)=0中缺某个变量，如f(x,y)=0(缺变量z), 则它表示空间中母线平行于Oz轴的柱面，其准线可取为xOy面上的曲线 F,y)=0,类似地，母线平行于x轴或y轴的柱面方程依次为0，：)=0或 =0 fx,)=0 (Ⅲ)旋转曲面 已知102坐标面上的曲线下任，P）0,将其绕o2轴旋转一网，得 :=0, 旋转曲面，该旋转曲面的方程为F(±√2+y2,:)=0.类似可讨论其它情况。 (V)空间曲线及其投影曲线 (1)用两个曲面的交线来表示曲线L: F(x,y,)=0 这个方程组叫做空间曲 Gx,y,)=0 线的一般方程 x=x() (2)空间曲线L的参数方程y=y()a≤1≤B. (3)空间曲线L的向量式)=x()+()j+0)k (4)空间曲线在坐标面上的投影的求法： 复我首投方程为化)85清法：有方房y 它是含曲线L的母线平行于z轴的柱面，称它为曲线L的投影柱面，它与x0y a仁 就是曲线L在xOy面上的投影曲线。类似地，可推得 曲线L在其他坐标面上的投影曲线。 四、思考 1.若a,b均为非零向量，问它们分别满足什么条件，下列等式才能成立？

78 锥面: 中心轴为 z 轴, 顶点为(0,0,0) 0 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x ( II ) 柱面 一般地，若曲面方程 f (x, y,z) = 0 中缺某个变量，如 f (x, y) = 0 （缺变量 z）， 则它表示空间中 母线平行于 oz 轴的 柱面，其准 线可取为 xoy 面上的曲线    = = 0, ( , ) 0, z F x y 类似地，母线平行于 ox 轴或 oy 轴的柱面方程依次为 f ( y,z) = 0 或 f (x,z) = 0 ( III ) 旋转曲面 已知 yoz 坐标面上的曲线    = = 0, ( , ) 0, z F x y 将其绕 oz 轴旋转一周，得一 旋转曲面，该旋转曲面的方程为 F( , ) 0. 2 2  x + y z = 类似可讨论其它情况。 ( IV ) 空间曲线及其投影曲线 （1）用两个曲面的交线来表示曲线:L:    = = ( , , ) 0, ( , , ) 0, G x y z F x y z 这个方程组叫做空间曲 线的一般方程。 （2）空间曲线 L 的参数方程      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t   t   . （3）空间曲线 L 的向量式 r t x t i y t j z t k     ( ) = ( ) + ( ) + ( ) （4）空间曲线在坐标面上的投影的求法： 设曲线的一般方程为    = = ( , , ) 0, ( , , ) 0, G x y z F x y z 由方程组消去 z 后得到方程 H(x,y)=0 它是含曲线 L 的母线平行于 z 轴的柱面，称它为曲线 L 的投影柱面，它与 xoy 面的交线    = = 0 ( , ) 0 z H x y 就是曲线 L 在 xoy 面上的投影曲线。类似地，可推得 曲线 L 在其他坐标面上的投影曲线。 四、思考题 １．若 a,b 均为非零向量，问它们分别满足什么条件，下列等式才能成立？

m5-4e唱骨oi- 2。若一向量与三坐标转的夹角都相等，则它的方向角口=B=7=了，对吗？为什么？ 3.若ab=ac或axb=axc,且≠0，则b=c,对吗？为什么？ 4。满足下列条件的平面方程有什么特点？ (1)通过坐标原点：(2)平行于x轴：(3)包含y轴：(4)平行于yoz平面： (5)与xoy面重合。 5,如险证一条省在-已如平面士：试机新直线号.号.。是者在平面 3 5 15x-9y+5z=12上？ 五、典型例题分析 例1已知两非零向量a与6互相垂直，今将石绕ā右旋0角得到向量c,试将c用给 定的a,b及0表出. 解因a,b互相垂直，不妨取坐标系让a=ak,b=-bi,其中a=,b=并注意到 =b,则c=|cos0+sinG bcosn(bo u0g-6mog-语=6，ga wi骨60 例2设向量a={1,1,1},b=3,4,5,x=a+b.试证：使模下F最小的向量x 垂直于向量b 分析首先要确定元取何数值时，对应的向量x的模F最小。再验证这个向量与向量垂 多

79 （1） a +b = a −b ; (2 ) ; b b a a = (3 ) a +b = a − b . ２．若一向量与三坐标轴的夹角都相等，则它的方向角 3   =  =  = ,对吗？为什么？ ３．若 a b = a c 或 a b = a c , 且 a  0, 则 b = c ,对吗？为什么？ ４．满足下列条件的平面方程有什么特点？ （1）通过坐标原点；（2）平行于 x 轴；（3）包含 y 轴；（4）平行于 yoz 平面； （5）与 xoy 面重合。 ５．如何验证一条直线在一已知平面上？试判断直线 0 3 5 2 3 1 − = − = x − y z 是否在平面 15x − 9y + 5z = 12 上？ 五、典型例题分析 例１ 已知两非零向量 a 与 b 互相垂直，今将 b 绕 a 右旋  角得到向量 c ,试将 c 用给 定的 a , b 及  表出。 解 因 a , b 互相垂直，不妨取坐标系,让 a =a k , b =b i , 其中 a= a , b= b . 并注意到 c = b , 则 c c i c j      = cos + sin =bcos  i +b sin  j =(bcos ) b sin (k i ) b b  +   =(bcos ) ( sin )( ) b b a a b b b  +   =cos ( ) sin a b a b +    =cos ( ) sin a b a b +    . 例２ 设向量 a ={1，-1，1}，b ={3，-4，5}，x = a + b .试证：使模 x 最小的向量 x 垂直于向量 b . 分析 首先要确定  取何数值时，对应的向量 x 的模 x 最小。再验证这个向量与向量 b 垂

证因-a+历)a+历)+2a.6+2 02+24+3-50(2+号+ 3 所似，当=-名问最小，当=-名时，=0-名6且 6-56-名1-a6-8f=12-8x0=0 所以，俊模问最小的向量=0-名5垂直于向量万。 例3已知a+b+c=0,=3,5=5,3=7,求a与6间的夹角。 解a与b间的夹角应从a与b的关系中去确定，由给定条件知：a+b=-c或 c=-(a+6)于是=cc=(a+by=++2 cosa,.i), 服ma6耳-可#日=3==7R.有 251 m6,9-25-号a65-号5的思w 例4设r,「2,2为有共同始点0的三个非零向量，试证r×2+2×F+F×r=0的 必要充分条件是”1，”2，"2的终点在一条直线上。 证必要性 若1×r2+万2×r3+r3×r1=0或万2×r3-万1×r3-r2×r1+r1×r1=0 即（口2-”）×(-)=0则向量r2-片与3-1共线，但因向量72-5与 厂-开有共同的始点（即向量的终点），所以2-与-在一条直线上 因而三向量r1,r2,r2的终点在同一直线上

80 直。 证 因 2 x = (a + b )(a + b ) = 2 2 2 a + 2a b + b  =50 24 3 2  +  + =50 25 3 ) 25 6 ( 2 + + ， 所以，当 25 6  = − 时， x 最小。当 25 6  = − 时， x a b 25 6 = − 且 50 0 25 6 12 25 6 ) 25 6 ( 2 b  x = b  a − b = a b − b = −  = 。 所以，使模 x 最小的向量 x a b 25 6 = − 垂直于向量 b 。 例３ 已知 a +b +c = 0, a = 3, b = 5, c = 7 ，求 a 与 b 间的夹角。 解 a 与 b 间的夹角应从 a 与 b 的关系中去确定，由给定条件知： a + b = − c 或 c = − (a + b ）于是 ( ) 2 cos( , ) 2 2 2 2 c = c c = a +b = a + b + a b a b ， 所以 cos( a , b )= a b c a b 2 2 2 2 − − .将 a = 3, b = 5, c = 7 代入，得 cos( a , b )= 2 1 30 49 9 25 = − − ,故( a , b )= 3  即 a 与 b 间的夹角是 600 例４ 设 1 2 2 r ,r ,r 为有共同始点 O 的三个非零向量，试证 r1  r 2 + r 2  r 3 + r 3  r1 = 0 的 必要充分条件是 1 2 2 r ,r ,r 的终点在一条直线上。 证 必要性 若 r1  r 2 + r 2  r 3 + r 3  r1 = 0 或 r 2  r 3 − r1  r 3 − r 2  r1 + r1  r1 = 0 即 (r 2 − r1 )(r 3 − r1 ) = 0 则向量 2 1 r − r 与 3 1 r − r 共线，但因向量 2 1 r − r 与 3 1 r − r 有共同的始点（即向量 1 r 的终点），所以 2 1 r − r 与 3 1 r − r 在一条直线上， 因而三向量 1 2 2 r ,r ,r 的终点在同一直线上

充分性若向量厂1,2,2的终点在同一条直线上，则有(2-)×(，-”1)=0， 即F2×r)-1×r?-×1+1×1=0.由向量的向量积的性质，上式即为 Fxr+r2×F3+r×r1=0 x=1 例5求与两直线L少。-1+1及+_牛2_二都平行，且过原点的平面方 2 1 :=2+1 程。 解设n为所求平面的法向量，依题意知万既垂直于L的方向向量5=0,11}，又垂直于 L2的方向向量52={1,21，故可取n=31×52,n=011-i+j-k={-1,1,-1 121 又所求平面过点(0,0,0)，故所求平面的方程为-(x-0)+心y-0)-(-0)=0 即x-y+2=0 5 解法1由所给条件知，所求平面通过点P(3,1,-2)和Q(4,-3,0),平面的法 向量既垂直于己知直线，也垂直于向量PQ=(1,-4,2),所以 n=5×P0=521-8i-9-22k=8922,又所求平面过点 1-42 (3,1,·2),故所求平面方程为8x-3)-9y-1)-22(z+2)=0 解法2在己知直线上再找一点，如点R(9,-1,，1),则所求平面通过三点 P(3,1,-2),Q(4,-3,0),R(9,-1,1),设Gxy,z为平面上任 一点，则根据三个向量共面的条件，有PG.(PO×PR)=0, k-3y-12+2 即 1 -420,将其展开，即得所求平面方程为8x-9y-22:-59=0 6-23

81 充分性 若向量 1 2 2 r ,r ,r 的终点在同一条直线上，则有 (r 2 − r1 )(r 3 − r1 ) = 0 , 即 r 2  r 3 − r1  r 3 − r 2  r1 + r1  r1 = 0 .由向量的向量积的性质，上式即为 r1  r 2 + r 2  r 3 + r 3  r1 = 0. 例５ 求与两直线 L1:      = + = − + = z t y t x 2 1 1 及 L2: 1 1 2 2 1 1 − = + = x + y z 都平行，且过原点的平面方 程。 解 设 n 为所求平面的法向量，依题意知 n 既垂直于 L1 的方向向量 1 s ={0,1,1}，又垂直于 L2 的方向向量 2 s ={1,2,1}，故可取 n = 1 2 s s ，n = 1 2 1 0 1 1 i j k =- i + j − k ={-1,1,-1}. 又所求平面过点（０，０，０），故所求平面的方程为− (x − 0) + ( y − 0) − (z − 0) = 0 , 即 x − y + z = 0 例６ 求过点（３，１，-２）且通过直线 2 1 3 5 x 4 y z = + = − 的平面方程。 解法１ 由所给条件知，所求平面通过点Ｐ（３，１，-２）和Ｑ（４，-３，０），平面的法 向量 n 既垂直于已知直线，也垂直于向量 PQ ＝（１，-４，２），所以 n = 1 4 2 5 2 1 −  = i j k s PQ =8 i − 9j − 22k ={8,-9,-22},又所求平面过点 （３，１，-２），故所求平面方程为 8(x − 3) − 9( y −1) − 22(z + 2) = 0 解法２ 在已知直线上再找一点，如点Ｒ（９，-１，１），则所求平面通过三点 Ｐ（３，１，-２），Ｑ（４，-３，０），Ｒ（９，-１，１），设 G(x,y,z)为平面上任 一点，则根据三个向量共面的条件，有 PG (PQ  PR ) =0, 即 6 2 3 1 4 2 3 1 2 − − x − y − z + =0,将其展开，即得所求平面方程为 8x − 9y − 22z − 59 = 0

州装：卡有法有配发线我为红8腾线千有为 x5a4针02将点(3,1,2)代入，果得=一号故所录平面方程 为x-5:-4-号0-2：+3)=0或8x-9y-2:-59=0: 例7一直线L过点M。(1,2,3)与y轴相交，且与直线1：x=y=:垂直，求直线L 的方程。 解设直线L的方向向量5={m,np,又可知y轴过原点0(0,0,0)，且方向向量 S1=0,1,0;因直线L与y轴相交，即L与y轴共面，从而混合积33，OM。]-0 m n p (0M。=1,2,3),即010=0，展开得3mp-0 (0 123 又因L与直线1垂直，故有m+n+p0(2)解(1)，(2)两式，得 一放暖方-品-尚去得 x-1-y-2-3 -4 3 例8求过点M。(.1,0,4),且平行于平面π：3x4y+210=0,又与直线 分析本题所求直线L满足：(1)L过点M:(2)U∥π即s⊥n(n是平面π的法向量： (3)L与L,相交，即L与L共面。解题的关键是由所给条件求得直线L的方向向 量5。 解法1对称式法设所求直线L的方向向量S={m,mP.因L与L相交，必共面，故 5,51={1,，2及点M与L上的点M,(1,3,0)所成向量MM。=0,3,4}共

82 解法 3 平面束法 将已知直线化为一般式    − + = − − = 2 3 0 5 4 0 y z x z ,则通过此直线的平面束方程为 x-5z-4+  (y-2z+3)=0, 将点（３，１，-２）代入，求得 = 8 9 − 故所求平面方程 为 ( 2 3) 0 8 9 x − 5z − 4 − y − z + = 或 8x − 9y − 22z − 59 = 0。 例７ 一直线 L 过点Ｍ０（１，２，３）与 y 轴相交，且与直线 l : x = y = z 垂直，求直线Ｌ 的方程。 解 设直线Ｌ的方向向量 s ={m,n,p}，又可知 y 轴过原点Ｏ（０，０，０），且方向向量 1 s ={0,1,0}因直线Ｌ与 y 轴相交，即Ｌ与 y 轴共面，从而混合积[ s 1 s OM 0 ]=0 ( OM 0 ={1,2,3}), 即 1 2 3 0 1 0 m n p =0, 展开得 3m-p=0 (1) 又因Ｌ与直线 l 垂直，故有 m+n+p=0 (2) 解（１），（２）两式，得 p=3m,n=-4m，故直线Ｌ的方程为 , 3 3 4 1 2 m z m y m x − = − − = − 消去 m，得 3 3 4 2 1 1 − = − − = x − y z . 例 ８ 求过点Ｍ ０ （- １ ， ０ ， ４ ）， 且 平 行 于平 面  ： 3x-4y+z-10=0 ，又与直线 L1: 1 2 3 1 x 1 y z = − = + 相交的直线Ｌ的方程。 分析 本题所求直线Ｌ满足：（１）Ｌ过点Ｍ０；（２）L//  即 s ⊥ n （ n 是平面  的法向量）； （３）Ｌ与 L1 相交，即Ｌ与 L1 共面。解题的关键是由所给条件求得直线Ｌ的方向向 量 s 。 解法１ 对称式法 设所求直线 L 的方向向量 s ={m,n,p}.因 L 与 L1 相交,必共面,故 s , 1 s ={1,1,2}及点Ｍ０与 L1 上的点Ｍ１（-１，３，０）所成向量 M 1M 0 ={0,-3,4}共