《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第十二讲 无穷级数

第十一章无穷级数 一、学习目的与要求 1、加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 2、熟悉几何级数和p级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 4、掌握交错级数的莱布尼兹定理：了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 5、知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念， 6、熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 7、知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 8、知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握e,sinx,cosx,n(1+x)和(1+x)的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一 些简单函数展为幂级数。 1山、知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在[1，]和[π，元小上的函数展 开为傅立叶级数。能将定义在0，上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。 3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念：设有无穷数列包，》则称三0，为无穷级数。简称级数。称S,一之0，为 部分和。若mS。=S存在且有限，则称级数收敛，并称S为级数的和，若mSn不存 在或为士o,则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1)若级数2a,立，收敛，则对任意常数a,B,立(m,+0,)=a2a,+P吃6.· n=l (2)改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性， (3)收敛级数可任意添加括号，且和不变。 (4)收敛级数的通项an→0(n→∞)。数项级数区分为正项级数(an≥0)，交错级数 口。=(1一b,b,>0)及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。 65

65 第十一章 无穷级数 一、学习目的与要求 1、 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 2、 熟悉几何级数和 p 级数的收敛性。 3、 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 4、 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 5、 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。 6、 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 7、 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 8、 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握 e ,sin x,cos x,ln(1 x) x + 和 ( ) n 1+ x 的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一 些简单函数展为幂级数。 11、 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在 − l,l 和 −, 上的函数展 开为傅立叶级数。能将定义在 0,l 上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。 3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念:设有无穷数列  n  ，则称   n＝1 n a 为无穷级数，简称级数。称 =  n Sn ak k＝1 为 部分和。若 Sn S n = → lim 存在且有限，则称级数收敛，并称 S 为级数的和，若 n n S → lim 不存 在或为   ，则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1）若级数   n＝1 n a ，  n＝1 n b 收敛，则对任意常数 , ，( )    =   = + = + n 1 1 n 1 n n an bn  an  b ＝ 。 （2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。 （3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。 （4）收敛级数的通项 a → (n → ) n 0 。数项级数区分为正项级数 (a 0) n  ，交错级数 ( ( 1) , 0) 1 = −  − n n n an b b 及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同

3、正项级数的判别法 除开因Ima。≠0而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较荆别法：若n充分大时有0≤a,≤6，则当∑6.收敛时，→∑a,也收敛：当∑a, 发散时，→∑6，也发散 比较判别法的极限形式：若a,>0,6.>0,m分=则当01时级数发散，P=1时级数 可能收敛也可能发散。 积分判别法：设fx)在，+∞)上是非负且单调减，an=f),n=l,2,则级数∑a收 敛的充要条件是∫f女收敛 常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）：∑ag”,当41级数收敛。当Ps1时级数发数。 例如：了1 名nhP当p>1时收敛：当p≤1时发散

66 3、正项级数的判别法 除开因 lim  0 → n n a 而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较判别法：若 n 充分大时有 0  an  bn ，则当   n=1 n b 收敛时，   =  n 1 an 也收敛；当   n＝1 n a 发散时，   =  n 1 bn 也发散。 比较判别法的极限形式：若 0, 0,lim l, b a a b n n n n  n  = → 则当 0  l   时，   n＝1 n a 与   n＝1 n b 有 相同的敛散性；当 l ＝0 时，由   n＝1 n b 收敛，   =  n 1 an 也收敛；当 l =+  时， 由   n＝1 n b 发散，   =  n 1 an 也发散。 比值判别法：若 l a a n n n = + → 1 lim ，则当 l 1 时级数收敛， l 1 时级数发散,l =1 时级数可能 收敛，也可能发散。 根值判别法：若 =  → n n n lim a ，则当   1 时级数收敛，   1 时级数发散，  = 1 时级数 可能收敛也可能发散。 积分判别法：设 f (x) 在 1,+ ) 上是非负且单调减， a f (x) n = ，n=1,2,.,则级数   n＝1 n a 收 敛的充要条件是 f (x)dx   1 收敛。 常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）：   n＝1 n aq ，当 q 1 时收敛； q 1 时发散。 P-级数：   n 1 1 ＝ p n ，当 p  1 级数收敛；当 p  1 时级数发散。 例如：   n 1 ln 1 ＝ n n p ，当 p  1 时收敛；当 p  1 时发散

4、交铺级数的莱布尼兹判别法：若a,之a1>0,1,2.,m0,=0,则交错级数 立a收敛，且和S≤a,余项l=∑a≤a 5、任意项级数的收敛：任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级 数∑n,收敛。称级数∑a,绝对收敛：若n发散，面工a,收敛，称∑a,条件 收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。） 6、国黄项数收敛：问1,2是定义在上的函数。，则将空)为局数项级数。 若给定。∈X,数项级数∑山，(x)收敛，称x。为函数项级数的收敛点。所有收敛 点的集合E称为收敛域。对x∈E,级数的和记为S(x),称函数S(x,x∈E为级 数的和函数。 7、幂级数的概念：形如∑a(c-xo）的级数称为(-x)的幂级数，其中a(n=l2)为常 数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以x,为中心，以R为半径的区间，收敛 半径R由公式R=回a a 或R=inm 1 给出，当R=0时幂级数仅在x=x。点 收敛：当0<R<0时，幂级数的收敛区间为：一Rx,+R),端点x,=±R也可 能是收敛点：当R=士0时，幂级数在（仁0，+∞）上都收敛。 8、幂级数的性质(1)幂级数在收敛区间(x。一R,x。+R)内绝对收敛，在 （仁o,xo一R人U(,+R+∞)内发散，在端点，±R处可能收敛，也可能发散。 (2)幂级数的和函数S(x)在收敛域上连续。 (3)幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不 变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次 6

67 4、交错级数的莱布尼兹判别法:若 an  an+1  0，n=1,2,.， lim = 0 → n n a ，则交错级数 ( )  − − n 1 1 1 ＝ n n a 收敛，且和 S  a1 ，余项 ( ) 1 1 1 1 +  = + − =  −  n k n k k rn a a 。 5、任意项级数的收敛:任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级 数   n＝1 an 收敛，称级数   n＝1 n a 绝对收敛；若   n＝1 an 发散，而   n＝1 n a 收敛，称   n＝1 n a 条件 收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。） 6、函数项级数收敛: u (x) n （n=1,2,.）都是定义在 X 上的函数，则称  ( )  n=1 n u x 为函数项级数。 若给定 x0  X ，数项级数  ( )  =1 0 n n u x 收敛，称 0 x 为函数项级数的收敛点。所有收敛 点的集合 E 称为收敛域。对 xE ，级数的和记为 S(x) ，称函数 S(x)， xE 为级 数的和函数。 7、幂级数的概念:形如 ( ) n n n a x x  = − 1 0 的级数称为 ( ) 0 x − x 的幂级数，其中 a (n =1,2,.) n 为常 数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以 0 x 为中心，以 R 为半径的区间，收敛 半径 R 由公式 1 lim + → = n n n a a R 或 n n n a R 1 lim → = 给出，当 R＝0 时幂级数仅在 0 x = x 点 收敛；当 0  R   时，幂级数的收敛区间为 (x − R x + R) 0 0 , ，端点 x0 = R 也可 能是收敛点；当 R =  时，幂级数在 (− ,+) 上都收敛。 8、幂级数的性质 （1）幂级数在收敛区间 (x − R x + R) 0 0 , 内绝对收敛，在 (− , − )( + ,+) x0 R x0 R 内发散，在端点 x0  R 处可能收敛，也可能发散。 （2）幂级数的和函数 S(x) 在收敛域上连续。 （3）幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不 变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次

若三a,《-与6(-)的效做半径分别为R,令R=m视尾 则当-xl<R时，∑a,-x±∑b.(-x）=a,±b,x-x广 a6-)-26.-x)-C.6k-r其中，C.=ah.+ab++a,h (5)若f(x)在x。点可以展成幂级数，则必为在x。点处的泰勒级数，即若 )-20,-,k-小<R,则0，-，在=0点处的奉级数 又称麦克劳林级数。它表示为户回，. 、五个要的级数展开式：De-宫语(<x<四 (2)smr=2-1 (2n-11 (人0<x<+o) ws空cr6动 （人o<x<t回) a+r-21a-a-a+,1<r< 特别地 gr10点空1s到 10、函数展成幂级数 直装法先求出口，=)，得平级数Σ-广，并末此级数的收敛说

68 （4）若 ( ) n n n a x x  = − 0 0 与 ( ) n n n b x x  = − 0 0 的收敛半径分别为 1 2 R ,R ，令 R = min R1 ,R2 ， 则当 x − x0  R 时， ( ) ( ) ( )( ) n n n n n n n n n n a x x b x x a b x x0 0 0 0 0  − 0  − =   −  =  =  = ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n a x x b x x C x x0 0 0 0 0  − 0  − =  −  =  =  = 其中， Cn = a0bn + a1bn−1 ++ anb0 （5）若 f (x) 在 0 x 点可以展成幂级数，则必为在 0 x 点处的泰勒级数，即若 ( )   = = − 0 0 ( ) n n n f x a x x ， x − x0  R ，则 ( ) ( ) ! 0 n f x a n n = ，在 x0 = 0 点处的泰勒级数 又称麦克劳林级数。它表示为 ( ) ( )   =0 ! 0 n n n x n f 。 9、五个重要的幂级数展开式:（1）   = = 0 ! n x n n x e (−  x  +) （2）   = − − − = − 0 2 1 1 (2 1)! sin ( 1) n n n n x x (−  x  +) （3）   = = − 0 2 (2 )! cos ( 1) n n n n x x (−  x  +) （4） + =  − = − + −  = 2 3 ln(1 ) ( 1) 2 3 1 x x x n x x n n n (−1 x 1) （5） n n x n n x   = − − + + = 0 ! ( 1) ( 1) (1 )      (−1 x 1) 特别地   = = − + 0 ( 1) 1 1 n n n x x (−1 x 1)   = = 1− 0 1 n n x x (−1 x 1) 10、函数展成幂级数 直接法 先求出 ( ) ( ) ! 0 n f x a n n = ，得到幂级数 ( )  = − 0 0 n n x x ，并求此级数的收敛域

再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。 间接法利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算 以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。 1山、和函数的求法 (1)根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 (2)通衬和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。 (3) 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作 相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。 12、傅立叶级数：设f(x)是以1为周期的周期函数，在【1，上可积，则f(x)的傅立叶系数 为：a,=/cos匹a,n0,12-6,=sn"k, n=l,2,. 由以上a,6,为系数的三角级数号+2(，0s受x+6,m受 当x是以2a为周期的奇函数时，a,=0,0,1.2,6=了s二xd， n=l,2,. 此时/)~三6，血"四，称之为正弦级数。 1 当x是以2r为周期的偶函数时，6=0，l,2,a,=号引)s二x在， n=0,1,2,. 此时小受+0,0s”严，称之为余弦级数。 13、傅立叶级数定理：若fx)在[1，上满足狄利克雷条件：①f)只有有限个极值点， ②x)除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则fx)的傅立叶级数在[1，小上 收敛，且有 69

69 再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。 间接法 利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算 以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。 11、和函数的求法 （1） 根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 （2） 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。 （3） 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作 相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。 12、傅立叶级数：设 f (x) 是以 l 为周期的周期函数，在 − l,l 上可积，则 f (x) 的傅立叶系数 为： ( ) − = l l n dx l n x f x l a  cos 1 ， n=0,1,2,. ( ) − = l l n dx l n x f x l b  sin 1 ， n=1,2,. 由以上 n a ， n b 为系数的三角级数   =       + + 1 0 cos sin 2 n n n x l n x b l n a a   称为 f (x) 的傅立叶级数，记做 ( )   =       + + 1 0 cos sin 2 ~ n n n x l n x b l n a a f x   当 x 是以 2 为周期的奇函数时， an = 0，n=0,1,2,.，  = l n xdx l n f x l b 0 ( )sin 2  ， n=1,2,. 此时 ( )   =0 ~ sin n n l n x f x b  ，称之为正弦级数。 当 x 是以 2 为周期的偶函数时， = 0 n b ，n=1,2,.， ( )  = l n xdx l n f x l a 0 cos 2  ， n=0,1,2,. 此时 ( )   = + 0 0 cos 2 ~ n n l n x a a f x  ，称之为余弦级数。 13、傅立叶级数定理：若 f (x) 在 − l,l 上满足狄利克雷条件：① f (x) 只有有限个极值点， ② f (x) 除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则 f (x) 的傅立叶级数在 − l,l 上 收敛，且有

f() ,x为fx的连续点 受+空am受x+6m气小+o0飞-0，灯胸间断点 /1+0+f-0,x=出 2 四、思考题 1、已知数列红，小级数∑4，及其部分和S。-∑4：，请思考下列问题： ①红，}卢空，是香同收致。同发数：②三”与5，是香同收线。同发数 （3)级数∑，的部分和S,与级数∑，的部分和0，是否相同 2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例： （)若∑私，发散，则m“,≠0： 2希空，与，都发数。则空，士，小必发面若空收金，发数。则 a,士)发做 (3)添括号后的级数发散，则原级数发散 (4)指出下列做法是否正确，为什么？ 因为+0-2广若上式*，取2，将h3-2) (5)幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？ (6)若-)=(，问(x)与(x)的傅立叶级数间有何关系？ (7)若-x)=-x),问(x)与px)的傅立叶级数间有何关系？ (8)若fx)在【π，π小上有连续的一阶导数，且f(π)=fπ)，试问fx)与f"()的傅立 叶系数有何关系？

70 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          =  − + + − + + −  =      + +  = x l f l f l x f x f x f x f x x f x x l n x b l n a a n n n ， ， 为 的间断点 ， 为 的连续点 2 0 0 2 0 0 cos sin 2 1 0   四、思考题 1、已知数列 un  ，级数   n=1 n u ，及其部分和 = = n k Sn uk 1 ，请思考下列问题： （1） un  与   n=1 n u 是否同收敛，同发散？（2）   n=1 n u 与 Sn  是否同收敛，同发散？ （3）级数   n=1 n u 的部分和 S2n ，与级数   =1 2 n u n 的部分和  n 是否相同？ 2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例： （1）若   n=1 n u 发散，则 lim  0 → n n u ； （2）若   n=1 n u 与   n =1 n v 都发散，则 ( )  =  n 1 n n u v 必发散；若   n=1 n u 收敛，   n =1 n v 发散，则 ( )  =  n 1 n n u v 发散。 （3）添括号后的级数发散，则原级数发散。 （4）指出下列做法是否正确，为什么？ 因为 ( )  = − + = − 1 1 ln(1 ) 1 n n n n x x ，上式中，取 x =2，得 ( ) n n n n 2 ln 3 1 1 1  − = =  − . （5）幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？ （6）若 (− x) =(x) ，问 (x) 与 (x) 的傅立叶级数间有何关系？ （7）若 (− x) = −(x) ，问 (x) 与 (x) 的傅立叶级数间有何关系？ （8）若 f (x) 在 −, 上有连续的一阶导数，且 f (− ) = f ( ) ，试问 f (x) 与 f (x) 的傅立 叶系数有何关系？

五我分新。 2)1 分析要判断级数4，的收敛性，首先看“，是否为零，若不为零。则级数∑北发 解)，=ns x由于 血，=无 n 所以，级数立a由兰是发敬的。 (2)4n= 由重要极限m0+”=e,知%，=e≠0， + 所以，级数∑1发散 + o%-h 显然m”。=0,此时不能做出收敛的结论。 由定义，极数的部分和S=+h子+h子+h品 -h号- 当n→时→0不在，所以级数空是发的， 例2判别级数的收敛性： ω器 @非司 分析熟悉无穷级数的基本性质以及级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性

71 五、典型例题分析 例1 判别级数的收敛性： （1）   =1 sin n n n  ； （2）   = + 1 ) 1 (1 1 n n n ； （3）   =1 +1 ln n n n . 分析 要判断级数   n=1 n u 的收敛性，首先看 n n u 0 lim → 是否为零，若不为零，则级数   n=1 n u 发 解 （1）     = =  n n n u n n sin sin 由于 0 sin lim = lim =  → →     n n u n n n 1) sin (lim 0 = → x x x 所以，级数   =1 sin n n n  是发散的。 （2） n n n u ) 1 (1 1 + = 由重要极限 e n n n + = → ) 1 lim (1 ，知 lim =  0 → u e n n ， 所以，级数   = + 1 ) 1 (1 1 n n n 发散。 （3） 1 ln + = n n un 显然 lim 0 0 = → n n u ，此时不能做出收敛的结论。 由定义，级数的部分和 1 ln 4 3 ln 3 2 ln 2 1 ln + = + + + + n n Sn  , 1 1 ) ln 3 1 2 2 1 ln + = + =  n n n （  当 n → 时， 0 1 1 → n + ， 1 1 lim ln n→ n + 不存在，所以级数   =1 +1 ln n n n 是发散的。 例 2 判别级数的收敛性： （1）   =  + 1 2 2 2 2 n n n n n ； （2）   =       − 1 2 1 1 n n n . 分析 熟悉无穷级数的基本性质以及 p 级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性

是至关重要的。 发o吸蛋空子数 ②）么=分子因为发放级数，1为调和级数.三收数（收效级 数豆各果以，所级数日司)发数。 例3判别级数的收敛性： w2@2r,0m名1w2m ，一般先用比值法或根值法去判断，若判断不出来，可再 或根值法。 解()级数为正项级数，且一般项的分母含有因子(n-,宜用比值法。 2-0 n+2 所以级数收敛。 (2)级数为正项级数，且含有以n为指数的因子，易用根值法。 奥收-色收-中2号-L所议级数收 (3)解法1用比值法 恋=mn2石入 、mn+an21-an22己-<1所以级数收敛

72 是至关重要的。 解：（1） 2 2 2 1 2 1 2 2 n n n u n n n n = +  + = 因为   =1 2 1 n n 收敛（等比级数，公比 q＝ 2 1 1），所以级数   =  + 1 2 2 2 2 n n n n n 收敛。 （2） n n n u 2 1 1 = − 因为   =1 1 n n 发散（p 级数，p=1，为调和级数），   = − 1 2 1 n n 收敛（收敛级 数   =1 2 1 n n 各项乘以-1），所以级数   =       − 1 2 1 1 n n n 发散。 例 3 判别级数的收敛性： （1） ( )   = − + 1 2 1! 1 n n n n ；（2）   = − − − 1 ( 1) 2 n n n ；（3）   = + 1 1 2 tan n n n  ；（4）   =1 ! tan n n n n e n n . 分析 对于正项级数收敛性的判别，一般先用比值法或根值法去判断，若判断不出来，可再 考虑用比较判别法。若级数明显地用比较判别法即可得出结论时，自然不必用比值法 或根值法。 解 （1）级数为正项级数，且一般项的分母含有因子 (n −1)! ，宜用比值法。 ( ) 1 2 1! 2 ! 2 lim lim 1 1 +  −   + = + → + → n n n n u u n n n n n n 0 1, 2 ( 1) 2 lim =  + + = → n n n n 所以级数收敛。 （2）级数为正项级数，且含有以 n 为指数的因子，易用根值法。 1, 2 1 lim lim 2 lim 2 ( 1) 1 ( 1) = = =  − − − → − − − → → n n n n n n n n n n u 所以级数收敛。 （3）解法 1 用比值法         +  = + = + + → + + → + → 2 2 1 2 1 2 tan 2 2 tan 1 lim 2 tan 2 tan 1 lim lim n n n n n n n n n n n n n u u     1, 2 1 2 2 tan ) 2 (1 tan 2 tan 1 lim 2 2 2 2 =  −  + = + + + → n n n n n n    所以级数收敛

解法2用比较法的极限形式m m2 一=L原级数与级数"同时收敛 炎发数对版数空名周肚猫法 m1=-”-1 故级数立名收敛。从面原级数收致。 w肚法安0 e 比值法失效，注意到对正整数，有1+”1所以.m0 故原级数是发散的。 例4判别级数的收敛性 (1) 8学÷a1r好号6o8器 分析对于任意项级数，可研究它的绝对值级数。如果绝对值级数收敛，则原级数也收敛： 法判得绝对值级数为发散时，则原级数必发散，这是因为此时∑山的通项山。不趋于 零的缘故。 解餐数为查级数。小京·立小-分

73 解法 2 用比较法的极限形式 1, 2 tan 2 tan lim 1 1 =  + + → n n n n n   原级数与级数   = + 1 1 n 2 n n  同时收敛 或发散，对级数   = + 1 1 n 2 n n  用比值法 1 2 1 1 2 1 lim 2 / 2 ( 1) lim 2 1 =  + =  + → + + → n n n n n n n n   故级数   = + 1 1 n 2 n n  收敛，从而原级数收敛。 （4） 用比值法 1 1 1 lim ( 1) ! ( 1)! lim lim 1 1 1 =       +  = + + = → + + → + → n n n n n n n n n n n e e n n n e n u u ， 比值法失效，注意到对正整数 n，有 e n n + )  1 (1 ，即 e n n n  + ) 1 ( ，  e 1 2 ，  e 2 ) 2 3 ( ，  e 3 ) 3 4 ( ，.， e n n  + ) 1 ( ， 将上述各不等式两边分别相乘，得 n n e n n  + ! ( 1) ，得 (n 1) e n! n n +  ， n n n n n e n n (n 1) !  + ,即 1 ! ( 1)  +  n n n e n n n n .所以， 0 ! lim  → n n n n e n 故原级数是发散的。 例 4 判别级数的收敛性 （1）   = − − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n n ； （2）  6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1+ − + + − ；（3）   = − − 1 2 1 2 ( 1) n n n n . 分析 对于任意项级数，可研究它的绝对值级数。如果绝对值级数收敛，则原级数也收敛； 如果绝对值级数发散，原级数的收敛性不能确定。而对于绝对值级数，因为是正项级 数，因此可以用正项级数得收敛性判别法进行判别。值得注意的是，用比值法或根值 法判得绝对值级数为发散时，则原级数必发散，这是因为此时   n=1 un 的通项 n u 不趋于 零的缘故。 解 （1）级数为任意项级数。 n n u 2 1 = ，   =  = = 1 1 2 1 n n n un

为公比是)的等比级数，故收敛，从而原级数收敛。且绝对收敛 （2考案加括号的餐数0+月++甘之+（片名的+ 1 1 (*) 写0+名* 1 由于点6n广实而强题客品发数数四发数 1 1 11 于是原级数发散。 由中电部层-21a空若张a题 数发散(wn不趋于零)。 例5判别级数绝对收敛还是条件收敛 (1)(-n (2)了) n 分析对于交错级数，可用莱布尼兹定理去判别其收敛性。如果满足定理条件，则级数收敛 解0=0，对于，国色1中0做华调减少有 n+1 散，故级数条件收敛 o空斗岩题地 州6度，2a=以小E用：知果经题空，收政，则版数空与搬整空只布 收敛。 正先证“，收敛：因已知级数三，收敛，放n充分大时，认<1，因而G5,由比

74 为公比是 2 1 的等比级数，故   n=1 un 收敛，从而原级数收敛，且绝对收敛 （2）考察加括号的级数 + − + + − + + − ) + 9 1 8 1 7 1 ) ( 6 1 5 1 4 1 ) ( 3 1 2 1 (1 − + − + − + ) 3 1 3 1 1 3 2 1 ( n n n （*） 它可写为 + −  + − +  + +  + ) (3 1) 3 1 3 2 1 ) ( 5 6 1 4 1 ) ( 2 3 1 (1 n n n 由于 n n n n 3n 1 3 2 1 (3 1) 3 1 3 2 1  −  −  + − ，而级数   =1 3 1 n n 发散，故级数（*）发散， 于是原级数发散。 （3）由 2 1 2 / ( 1) 2 lim lim 2 2 1 1 =  + = + → + → u n n u n n n n n n 知绝对值级数   =1 2 2 n n n 发散，所以原级 数发散（ n u 不趋于零）。 例 5 判别级数绝对收敛还是条件收敛 （1）   = − 1 ln ( 1) n n n n ； （2）   = − − 1 2 1 ( 1) n n n . 分析 对于交错级数，可用莱布尼兹定理去判别其收敛性。如果满足定理条件，则级数收敛。 解 （1） 0 ln lim = → n n n ，对于 x ln x ，因 0 ln 1 ln 2 '  −  =      x x x x ( x  0 )故 x ln x 单调减少有 1 ln ln( 1) + +  n n n n ，由莱布尼兹判别法知级数收敛。但因    =  = − = 2 2 ln ln ( 1) n n n n n n n 发 散，故级数条件收敛 （2）因    =  = + = − 1 2 1 2 1 ( 1) 1 n n n n n 收敛，故级数绝对收敛。 例 6 设 u  0(n =1,2, ) n ，证明：如果级数   n=1 un 收敛，则级数   =1 2 n un 与级数   n=1 n n u 都 收敛。 证 先证   =1 2 n un 收敛；因已知级数   n=1 un 收敛，故 n 充分大时， un  1 ，因而 un  un 2 ，由比