《高等数学》课程教学资源（作业习题）第九章练习题

第九章多元函数微分法及应用 (作业题一) 一、填空题 1.函数z=√4-x2-y2+ln(x2+y2-)的定义域是 2.函数：=y广+x在 处间断。 y2-x 3.设fxy)在点(x,%)处的偏导数存在，则 m+无为-f-x2 x 4.曲线 + 4 一’在(2,4,5)处对x轴的倾角是 y=4 5.f(x,y)=x+(y-1)arcsin 区，则x) V 6.f(x八，)= +则d0,2 7.设：=xsin(ar+b刎，则0： = 二、单项选择 x'y 1.损限号〈 A不存在B.1C,不确定D.0 2.函数f(x,y)在点(x,乃)处的偏导数存在是f(x,y)在该点连续的 )条件。 A充分 B.必要C充要D.既不充分也不必要 -1-

- 1 - 第九章多元函数微分法及应用 （作业题一） 一、填空题 1.函数 2 2 2 2 z x y x y = − − + + − 4 ln( 1) 的定义域是 . 2．函数 2 2 y x z y x + = − 在 处间断。 3． 设 f x y ( , ) 在 点 0 0 ( , ) x y 处 的 偏 导 数 存 在，则 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x x y → x + − − ＝ . 4．曲线 2 2 , 4 4 x y z y  +  =    = 在 (2, 4,5) 处对 x 轴的倾角是 . 5．设 ( , ) ( 1)arcsin x f x y x y y = + − ，则 ( ,1) x f x . 6． 2 2 ( , , ) , z f x y z x y = + 则 df (1, 2,1) = . 7．设 z x ax by = + sin( ) ，则 2 z x y  =   . 8．设 sin , x x u e y − = 则 2 2 1 x y u x y  = =  =   二、单项选择 １．极限 2 4 2 0 0 lim x y x y → x y → = + （ ）。 A.不存在 B. 1 C.不确定 D. 0 2．函数 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的偏导数存在是 f x y ( , ) 在该点连续的 （ ）条件。 A.充分 B.必要 C.充要 D.既不充分也不必要

3.lim1-(+e-（ 州x2+少 )。 A.不存在 B.不确定 C.1 D.2 4.设u=x,则0分别为(. ''a证 A.yx-,x"(Inx)y,x(Inx)y Iny B.x"Iny,x"y Iny,x C.x Inx,xay,x"y Iny D.xx'Inx.x 5.设z=siny+f(sinx-siny),其中f(u)可微，则：x,:,分别为()。 A.fcosx,cosy-fcosy B.f,cosy- C.不存在 D.f'.cosx,cosy-f'.cosy 6.对二元函数：=∫(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 )。 A若偏导数不连续，则全微分不存在B.若全微分存在，则偏导数必连续 C若偏导数连续，则全微分必存在D若全微分存在，则偏导数不一定存在 7.设函数f(x,y) +少化川≠0,0 ,则在(0,0)点关于f(x,) 0,(x,y)=(0,0) 下列命题正确的是( A连续但不可微 B.连续且可导 C可导但不可微 D.既不连续又不可导 三、求下列极限 3-√y+9 y 2是

- 2 - 3． 2 2 3 0 1 1 ( ) lim x x y xy e → x y → − + = + （ ）。 A.不存在 B.不确定 C. 1 D. 2 4．设 z y u x = ，则 , , uuu x y z     分别为（ ）。 A. 1 1 , (ln ) , (ln ) ln z z z z y y z y z y x x x zy x x y y − − B. 1 ln , ln , z z z y z y z y x y x y y x z − C. 1 ln , , ln z z z y y z y z x x x zy x y y − D. 1 1 1 , ln , z z z y y y y z x z zx x x x zy − − − 5．设 z y f x y = + − sin (sin sin ) ，其中 f u( ) 可微，则 , x y z z 分别为（ ）。 A. 1 2 f x y f y  −  cos ,cos cos B. 1 2 f y f ,cos   − C.不存在 D. f x y f y    −  cos ,cos cos 6．对二元函数 z f x y = ( , ) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 （ ）。 A.若偏导数不连续，则全微分不存在 B. 若全微分存在，则偏导数必连续 C.若偏导数连续，则全微分必存在 D.若全微分存在，则偏导数不一定存在 7．设函数 2 2 4 4 ,( , ) (0,0) ( , ) 0,( , ) (0,0) x y x y f x y x y x y    =  +   = ，则在 (0,0) 点关于 f x y ( , ) 下列命题正确的是( ). A.连续但不可微 B. 连续且可导 C.可导但不可微 D. 既不连续又不可导 三、求下列极限 1． 0 0 3 9 lim x y xy → xy → − + 2． 2 0 sin( ) lim x y xy → y →

3.lim l-cos() 5xy 8(x2+y2)e7 四、求下列函数的偏导数 1.设：=sin(y)+cos2(g,求空，产 Ox'ay 2.设u=3”lnx+广-sina,可 Ou du 三度c=广*毫影 3

- 3 - 3． 2 2 2 2 0 2 2 0 1 cos( ) lim ( ) x x y y x y x y e → → − + + 4． 2 5 lim x 3 y xy → y →+ − 四、求下列函数的偏导数 1．设 2 z xy xy = + sin( ) cos ( ), 求 , z z x y     。 2．设 3 3 ln sin , , . xy u u u x y a x y   = + −   3．设 2 2 2 ( , ) , , . x y t x f f f x y e dt x y +   =    求

4.设u=arctan(r-少，求，0则 dx'0z 五、设 x22 0=+护3+少0 0,x2+y2=0. 证明：在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微 4

- 4 - 4．设 arctan( )z u x y = − ，求 , u x   u z   五、设 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) ( ) 0, 0. x y x y f x y x y x y  +   =  +   + = 证明：在点 (0,0) 处连续且偏导数存在，但不可微

第九章多元函数微分法及应用 (作业题二) 一、填空题 1.设：=e,而x=sin,y=,则 t 2.设z=i-m2,u=xcosy=xsiny,则空 3.设nVR+y=arctan兰，则 dx y 5.设：=化)由：+x=e”确定，则0 xOy 二、单项选择 k.设z=arctan式，而x=+,y=-,则空+ y B.u+y u2+2 C.u-v 2+2 D.u-v u+v2 2.设u=f(sinz-y),而z=p(x),y=e,其中f,p为可微函数， 则密( A.(sin=-xy)f+[o'(x)cos=-y-xe"]B.o'(x)f cos=+(y-xe") C.o'(x)cos=-(y+e*)f D.[o(x)coso(x)-e(x+1)lfTsinp(x)-xe"] 度：心+果中了具有9，侧袋高等分为 -5-

- 5 - 第九章多元函数微分法及应用 （作业题二） 一、 填空题 1． 设 2 , x y z e − = 而 3 x t y t = = sin , ，则 dz dt = 2． 设 2 2 z u v uv u x y v x y = − = = , cos , sin ，则 z y  =  3．设 2 2 ln arctan y x y x + = ，则 dy dx = 4．设 ln x z z y = ，则 z x  =  ， z y  =  5．设 z z x y = ( , ) 由 xy z x e + = 确定，则 2 z x y    = 二、单项选择 1．设 arctan x z y = ，而 x u v = + ， y u v = − ，则 z z u v   + =   （ ）。 A. 2 2 uv u v + B. 2 2 u v u v + + C. 2 2 u v u v − + D. 2 2 2 2 u v u v − + 2．设 u f z xy = − (sin )，而 ( ), x z x y e = =  ，其中 f , 为可微函数， 则 du dx =（ ）。 A. (sin ) [ ( )cos ]x z xy f x z y xe − + − −    B. 1 2 ( ) cos ( )x  x f z y xe f + − C. ( )cos ( )x x  x z y e f − + D. [ ( )cos ( ) ( 1)] [sin ( ) ] x x      x x e x f x xe − + − 3．设 2 2 z f x y = + ( ), 其中 f 具有二阶导数，则 2 2 2 2 2 , , z z z x x y y        分别为 （ ）

A.2f+4x2f4xy”2f'+4y2f”B.4xf”04y2f C.2f'4xyf”2f'D.2f'+2xyf”2xyf'2f'+2yf 4.函数y=(x,)由方程=e确定，则=（。 A(x-1) B.y C D.0-x) x(1-y) x(1-y） 1-y x1-y) 5.设：=(x,y)由F(xy,z)=x所确定，其中F(u,)具有连续的一阶偏导 数，则+，=（)。 A1-坠 BI-yF.-xF c.0 D.1 F 三、计算 1.M=/(sinx.cosy.),求测 dx'dy 2.设23-3=a,求0 -6

- 6 - A. 2 2 4 f x f   + 4xyf  2 2 4 f y f   + B. 4xf  0 2 4y f  C. 2 f  4xyf  2 f  D. 2 2 f xf   + 2xyf  2 2 f yf   + 4．函数 y y x z = ( , ) 由方程 x y xyz e + = 确定，则 y x  =  （ ）。 A. ( 1) (1 ) y x x y − − B. (1 ) y x y − C. 1 yz − y D. (1 ) (1 ) y xz x y − − 5．设 z z x y = ( , ) 由 F xy z x ( , ) = 所确定，其中 F u v ( , ) 具有连续的一阶偏导 数，则 x y z z + = （ ）。 A. 1 1 2 1 yF xF F − −   B. 2 1 x y yF xF F − − C. 0 D. 1 三、 计算 1． (sin ,cos , ) x y u f x y e + = ，求 , u u x y     2．设 3 3 z xyz a − = 3 ，求 2 z x y   

3.设f(x,y,)=x2z3,其中z=(x,y)是由方程x+y+2-3灯2=0所 确定的可微函数。且：=上求品九以红，川一 4。设函数：=fu,u=p(0）+∫p)d,其中f)可微，p'(四连续， 且po1.E期pn会客-0 y 示·G（t中∫具有二阶连续偏号数. 四、设：=f,x0,求，0 7

- 7 - 3．设 2 3 f x y z x yz ( , , ) = ，其中 z z x y = ( , ) 是由方程 x y z xyz + + − = 3 0 所 确定的可微函数，且 z(1,1) 1, = 求 1 1 [ , , ( , )] x y f x y z x y x = =   。 4． 设函数 ( ), ( ) ( ) x y z f u u u t dt = = +    ，其中 f u( ) 可微， ( ) u 连续， 且 ( ) 1 u  ，证明 ( ) ( ) 0 z z y x x y     + =   四、设 2 2 z f xy x y = ( , ) ，求 2 2 2 , , z z x x y      ，（其中 f 具有二阶连续偏导数）

五、设：=)+%x+)其中，p具有=阶连续偏号数，求0 xoy 六、设p(x,)具有连续的偏导数，证明由方程p(cx-a,Cy-bz)=0所 确定的函数：=红列满足“云+分 n+b=c

- 8 - 五、设 1 z f xy y x y ( ) ( ) x = + +  其中 f ， 具有二阶连续偏导数，求 2 z x y    六、设 ( , ) x y 具有连续的偏导数，证明由方程  − − = ( , ) 0 cx az cy bz 所 确定的函数 z f x y = ( , ) 满足 z z a b c x y   + =  

第九章多元函数微分法及应用 (作业题三) 一、填空题 1.曲线x=1-sin1,y=1-cos,:=4sin号在点（区-11,2万）处的 2 切线及法平面方程为 2.函数：=ln(x+y)在抛物线y2=4x点(1,2)处，沿着抛物线在该点处偏 向x轴正向的切线方向的方向导数为 3.函数u=l(x+√2+2)在点A,0,1)处沿点A指向点B(3-2,2)的 方向导数为 4.函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的驻点是 二、单项选择 1.曲线x= ,2=在对应于1=1处的切线及法平面方程为 ()。 A.2x-8y+16z-1=0 号号 x-2.y-2- 2x-8y+16z-1=0 -48 1 cx-2.y-2- C.1 4 8 2x+8y+16z-1=0 D.不存在 2.曲面：=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0, 则点P的坐标是()。 A.1,-1,2) B.(-1,1,2) C.(L,1,2) D.(-1,-1,2) 三、解答下列各题 1.求曲线 3x+:=16,绕x轴旋转一周所形成的曲面在点(-山，-2,3)的 y=0 切平面与xy坐标面的夹角的余弦。 .9

- 9 - 第九章多元函数微分法及应用 （作业题三） 一、 填空题 1．曲线 sin , 1 cos , 4sin 2 t x t t y t z = − = − = 在点 ( 1,1, 2 2) 2  − 处的 切线及法平面方程为 、 。 2．函数 z x y = + ln( ) 在抛物线 2 y x = 4 点 (1, 2) 处，沿着抛物线在该点处偏 向 x 轴正向的切线方向的方向导数为 3．函数 2 2 u x y z = + + ln( ) 在点 A(1,0,1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) − 的 方向导数为 4．函数 2 2 f x y x y x y ( , ) 4( ) = − − − 的驻点是 二、单项选择 1．曲线 1 2 , , 1 t t x y z t t t + = = = + 在对应于 t =1 处的切线及法平面方程为 （ ）。 A. 2 8 16 1 0 x y z − + − = 1 2 1 2 1 4 8 x y z − − − = = − B. 1 2 1 2 1 4 8 x y z − − − = = − 2 8 16 1 0 x y z − + − = C. 1 2 1 2 1 4 8 x y z − − − = = 2 8 16 1 0 x y z + + − = D.不存在 2．曲面 2 2 z x y = − − 4 上点 P 处的切平面平行于平面 2 2 1 0 x y z + + − = ， 则点 P 的坐标是（ ）。 A. (1, 1,2) − B. ( 1,1,2) − C. (1,1,2) D. ( 1, 1, 2) − − 三、解答下列各题 1. 求曲线 2 2 3 16, 0 x z y  + =   = 绕 x 轴旋转一周所形成的曲面在点 ( 1, 2,3) − − 的 切平面与 xy 坐标面的夹角的余弦

2求自线+广+：一3江=0在点LL)处的切战及法平面方程 2x-3y+5z-4=0 3曲面号+了+号=1在点M处的法向量与三坐标精正向的夹角相等，求 点的坐标

- 10 - 2.求曲线 2 2 2 3 0, 2 3 5 4 0 x y z x xyz  + + − =   − + − = 在点 (1,1,1) 处的切线及法平面方程 3.曲面 2 2 2 1 3 3 x z + + = y 在点 M 处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，求 点的坐标