内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第36讲 静不定系统（Ⅱ）

料力学教案第36讲教学方案静不定系统（II）基本1.对称条件的利用。内容2．连续梁与三弯矩方程（简介）教1.了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念学目掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用。2.的3.掌握对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化。4.初步掌握连续梁静不定次数的判定、三弯矩方程组的建立及其解法。重点掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用重2.重点掌握如何将非对称载荷作用下的静不定问题化简计点、难算。难点是建立正确的简化方案。点3．解连续梁问题的难点是正确建立三弯矩方程组、及方程中各3.个系数的计算。本次教学计划学时：2学时。教学课堂讨论：安

材 料 力 学 教 案 第 36 讲 教学方案 —— 静不定系统（Ⅱ） 基 本 内 容 1. 对称条件的利用。 2. 连续梁与三弯矩方程（简介）。 教 学 目 的 1. 了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念。 2. 掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用。 3. 掌握对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化 成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化 。 4. 初步掌握连续梁静不定次数的判定、三弯矩方程组的建立及 其解法 。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用 。 2. 重点掌握如何将非对称载荷作用下的静不定问题化简计 算 。难点是建立正确的简化方案。 3. 解连续梁问题的难点是正确建立三弯矩方程组、及方程中各 个系数的计算。 教 学 安 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论：

三十六讲排1.如何建立正确的简化方案，将某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化2.在解连续梁问题中如何处理边界条件？3.在解连续梁问题中如何应用图乘法？

第 三 十 六 讲 排 1. 如何建立正确的简化方案，将某些载荷既非对称，也非反 对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题 简化 2.在解连续梁问题中如何处理边界条件？ 3.在解连续梁问题中如何应用图乘法？

大迎为尚欢店s14-3对称及反对称性质的利用1.对称结构的对称变形与反对称变形结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图12-8a)。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图12-8b）。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图12-8c)。正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上（图12-8b），反对称内力等于零或已知；反对称变形（图12-8c）反对称截面上，对称内力M为零或已知。TTFTT图 12-8对称结构的对称变形与反对称变形2.对称变形以图12-9（a）对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未知力，即轴力X，，弯矩X，与剪力X，。可证明其反对称内力X，应为零，正则方程为：(a)8,X +0X, +0,X +4p =0(b)821X, +822X, +02,X, +A2p = 0,X, +832X, +03,X, +A3p =0(c)用图乘法计算8，及A,p(i=1,2,3）时，所要用的载荷弯矩图M，以及X,=1，X，=1，X,=1时的弯矩图分别见图12-9、（c)、（d)、（e)、(f)，其中Mp，M,，M,均对称于对称轴，而M,反对称于对称轴。由莫尔积分知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有：[M,Mdx=0, 1 =8,1 =[MMdx=0, 62=02=]M,Mdx=0A3p =[EIJIEIJIEI

材 料 力 学 教 案 §14-3 对称及反对称性质的利用 1．对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图 12-8a）。 当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图 12-8b）。如外力反 对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图 12-8c）。 正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形 对称截面上（图 12-8b），反对称内力 Q 等于零或已知；反对称变形（图 12-8c）反对称截 面上，对称内力 M 为零或已知。 2．对称变形 以图 12-9（a）对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未 知力，即轴力 X1 ，弯矩 X2 与剪力 X 3 。可证明其反对称内力 X 3 应为零，正则方程 为：  11X1 + 12X2 + 13X3 + 1P = 0 （a）  21X1 + 22X2 + 23X3 + 2P = 0 （b）  31X1 + 32X2 + 33X3 + 3P = 0 （c） 用图乘法计算  ij 及  (i = 1,2,3) iP 时，所要用的载荷弯矩图 MP 以及 X1 =1，X2 =1， X3 = 1 时的弯矩图分别见图 12-9、（c）、（d）、（e）、（f），其中 MP ，M1，M2 均对称于对 称轴，而 M3 反对称于对称轴。由莫尔积分知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零， 即有： 0 3 3 = = l P P dx EI M M ， 0 1 3 13 = 31 = = l dx EI M M   ， 0 2 3 23 = 32 = = l dx EI M M  

第川六将此结果代入（c），：833￥0则必有X，=0。3.反对称变形TA图12-9对称结构的对称变形以图12-8（c）为例，在对称面切开后，其多余未知力也是X，X,与X，，同上类似证明，其对称内力X,与X,应等于零，只需一个协调方程，即可解出X，，即有013=03=023=02=0, A1p=2p=0(a)而正则方程为8X, +812X,=0(b)82,X +822X, =0(c)X,+3p=0由（a)、(b）得X,=X,=0，由（c）得X,=A3p/83。4.对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加。如图 12-10，12-11。图 12-10可化为对称与反对称叠加的结构系统

第 三 十 六 讲 将此结果代入（c），  33  0 则必有 X3 = 0。 3．反对称变形 以图 12-8（c）为例，在对称面切开后，其多余未知力也是 X1，X2 与 X 3 ，同上类似 证明，其对称内力 X1 与 X2 应等于零，只需一个协调方程，即可解出 X 3 ，即有  13 =  31 =  23 =  32 = 0 ，1P = 2P = 0 而正则方程为  11X1 + 12X2 = 0 （a）  21X1 + 22X2 = 0 （b）  33X3 + 3P = 0 （c） 由（a）、（b）得 X1 = X2 = 0 ，由（c）得 3 3 33 X =  P / 。 4．对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称 两种情况的叠加。如图 12-10，12-11

留12-11可化为对称与反对称的情形(b()(d)e图12-12圆环受一对力P例14-3半径为R的圆环，直径CD方向受一对力P（图12-12a),求圆环内弯矩M。解：（1）超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在A处截开，则有三个多余未知力，弯矩X，轴力X，，剪力X，（图12-12b)。（2）对称性：直径AB为一对称轴，对称截面A上剪力X,应为零，对称截面B上弯矩和轴力与截面A上相等。由竖直方向力的平衡可得X，=P/2。故只有弯矩X未知（图c).（3）选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图（c），则协调条件应是A或B截面在P及弯矩X,作用下转角θ应为零（由对称性可知），所以有(a),X +4p=0(4)84p计算静定基上施加外力P如图（d）及单位力偶如图（e），用莫尔法求S与4p。单位力偶引起弯矩：=1，(0)PR(1-cosa), (o≤)外力引起弯矩：Mp=根据对称性，可只取1/4圆环进行计算，故有

材 料 力 学 教 案 例 14-3 半径为 R 的圆环，直径 CD 方向受一对力 P （图 12-12a）,求圆环内弯矩 M 。 解：（1）超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在 A 处截开，则有三个多余未知力，弯 矩 X1 ，轴力 X2 ，剪力 X3 （图 12-12b）。 （2）对称性：直径 AB 为一对称轴，对称截面 A 上剪力 X 3 应为零，对称截面 B 上弯 矩和轴力与截面 A 上相等。由竖直方向力的平衡可得 X2 = P/ 2 。故只有弯矩 X1 未知（图 c）。 （3）选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图（c），则协调条件应是 A 或 B 截面在 P 及弯矩 X1 作用下转角  应为零（由对称性可知），所以有  11X1 + 1P = 0 （a） （4）  11 ， 1P 计算 静定基上施加外力 P 如图（d）及单位力偶如图（e），用莫尔法求  11 与 1P 。 单位力偶引起弯矩： M =1，(0    ) 外力引起弯矩： (1 cos) 2 = − PR M P ，         2 0   根据对称性，可只取 1/4 圆环进行计算，故有

第ds-do张8=[OEI2EITEIPR2(元_)M,MB PR*(1-cosd) do =-Ap=ds:2E(2-EIET（5）求未知力X：由（a）式PR--(2E)-2E(得PR(= 0.182PR（6）圆环内弯矩M为：M=M,+X,M= PR((1-cosp)-(0.182PR)x1=(0.636-coso)PRs14-4连续梁及三弯矩方程1.连续梁及其静不定次数n-+1al个台-一花州M.MnimaMnIMn+!MIOKAAAAAAA图12-13连续染为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座（图12-13（a))，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数

第 三 十 六 讲   = =  = l EI R d EI R ds EI M M 2 0 11 2     ( )         = − − − = = 2 0 2 2 1 1 2 2 1 cos      EI PR d EI PR ds EI M M l P P （5）求未知力 X1 ：由（a）式 1 0 2 2 2 2 1  =       − −         EI PR EI R X 得 PR PR X 1 0.182 2 1  =      = −   （6）圆环内弯矩 M 为： ( ) ( ) ( ) 2 1 cos 0.182 1 0.636 cos 2 1 PR PR PR M = M P + X M = −  −  = −  §14-4 连续梁及三弯矩方程 1．连续梁及其静不定次数 为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座（图 12-13（a））， 在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静 定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座 数就是连续梁的超静定次数

材料力学教察2三弯矩方程连续梁是不定结构，静定基可有多种选ark择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个品支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的装位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包(6)含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想11O将每个中间支座上的梁切开（图12-13（b)）并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每batil个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支公座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1M,，.，M,，M作为多余约束力（图12-13(e)AMn+r（b))，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加DA上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相2图12-14三弯矩方程导出应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面的相对转角为零。如对中间任一支座n来说，其变形协调条件为（图12-14（a））(14-5)On,n-1Mn-I +OmM, +On,n+1Mn+ +Ap =0方程（12-5）中只涉及三个未知量Mn-，M,，M+1。Om.-1，m，mn及4p可用莫尔积分来求：（1)求4。：静定基上只作用外载荷时（图12-14（b）），跨度1：上弯矩图为Mmp跨度I上弯矩图为Ma1)P（图12-14(c)。当M，=1时（图12-14(e)，跨度，和1n+1内弯矩分别为M-,M"-1.In+1由莫尔积分得 Manpal d aAN+1Ell..-CJ. don+.式中Mnpdx，=do，是外载单独作用下，跨度1，内弯矩图的微面积（图12-14（c））

材 料 力 学 教 案 2．三弯矩方程 连续梁是静不定结构，静定基可有多种选 择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个 支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的 位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包 含多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想 将每个中间支座上的梁切开（图 12-13（b））， 并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每 个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支 座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩 M1 ， M2，.，Mi ，M n+1 作为多余约束力（图 12-13 （b）），则每个支座上方的铰链两侧截面上需加 上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相 应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约 束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面 的相对转角为零。如对中间任一支座 n 来说，其变形协调条件为（图 12-14（a））  n,n−1M n−1 +  nnM n +  n,n+1M n+1 + nP = 0 （14-5） 方程（12-5）中只涉及三个未知量 M n−1，M n ，M n+1。 n,n−1， nn ， n,n+1 及 nP 可 用莫尔积分来求： （1）求 nP ：静定基上只作用外载荷时（图 12-14（b）），跨度 n l 上弯矩图为 M nP ， 跨度 n+1 l 上弯矩图为 M(n+1)P （图 12-14（c））。当 M n = 1 时（图 12-14（e）），跨度 n l 和 n + 1 l 内弯矩分别为 n n l x M  = ， 1 1 + +  = n n l x M 由莫尔积分得 ( )         = + = +     + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n N l n n n l n n n l n n n P n l n n nP n nP x d l x d EI l dx EIl M x dx EIl M x    式中 MnPdxn = dn 是外载单独作用下，跨度 n l 内弯矩图的微面积（图 12-14（c））

第I六而『x,do，是弯矩图面积の，对1，左侧的静矩，如以a,表示跨度1，内弯矩图面积的形心到左端的距离，则『x,do=a,，。同理b.表示外载荷单独作用下，跨度m内弯矩图面积@的形心到右端的距离，则dom=b.。于是有1(O,an +Ontbn.)Ap=凯In+1式中第一项可看作是跨度1。右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度1.按顺时针方向的转角。两项和就是铰链n两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。（2）m(a-1)，0m，ma)）的计算当n支座铰链处作用有M，=1时，其弯矩图如图12-14（e），用莫尔积分有(x)() a31(. + 1nl)6m=1而m-n也可类似求得（利用图（d）与（e）以及（f）与（e)）In+- -（3）三弯矩方程将8(a-)，m，(a+1)，Anp代入（12-5）得三弯短方程(60,an + 60.bm.M,-1, +2M,(, +/nl)+Mna)/n+l =-(14-6)1.I其中n代表任一支座，如n=1,2...m，则可得到mEID个方程联立，解m个中间支座多余力M,，0Ch--M,M.，此m个联立方程中每个方程只涉及三个多余力，求解比较方便。PL例144左端为固定端，右端为自由端的连续梁受力P作用如图12-15所示，其抗弯刚度为EI，试用三变短方程求解B、C、D处的弯矩。图12-15-端固定连续梁解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度

第 三 十 六 讲 而  n l n d n x  是弯矩图面积 n 对 n l 左侧的静矩，如以 n a 表示跨度 n l 内弯矩图面 积的形心到左端的距离，则 n n l xn d n a n  =   。同理 bn+1 表示外载荷单独作用下，跨度 n+1 l 内弯矩图面积  n+1 的形心到右端的距离，则 1 1 1 1 1  + + = + + + n n l xn d n b n   。于是有          = + + + + 1 1 1 1 n n n n n n nP l b l a EI   式中第一项可看作是跨度 n l 右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度 n+1 l 按顺时针方 向的转角。两项和就是铰链 n 两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。 （2）  n(n−1)， nn ， n(n+1) 的计算 当 n 支座铰链处作用有 M n = 1 时，其弯矩图如图 12-14（e），用莫尔积分有： ( ) 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 + + + + + + = +                 +                 =   + n n l n n n n n n n n n n l nn l l EI dx l x l x EI dx l x l x n EI n  而  n,n−1， n,n+1 也可类似求得（利用图（d）与（e）以及（f）与（e）） EI l n n n 6  . −1 = ， EI l n n n 6 1 . 1 +  + = （3）三弯矩方程 将  n(n−1)， nn ， n(n+1)， nP 代入（12-5）得三弯矩方程 ( ) ( )         + + + = − + + + + − + + + 1 1 1 1 1 1 1 6 6 2 n n n n n n n n n n n n n n l b l a M l M l l M l   （14-6） 其中 n 代表任一支座，如 n = 1,2,.,m ，则可得到 m 个方程联立，解 m 个中间支座多余力 M1 ， M2，. , M m ，此 m 个联立方程中每个方程只涉及 三个多余力，求解比较方便。 例 14-4 左端为固定端，右端为自由端的连续 梁受力 P 作用如图 12-15 所示，其抗弯刚度为 EI ， 试用三弯矩方程求解 B、C、D 处的弯矩。 解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度

才料力学教S为无限小（I'→0）的简支梁AB，而外伸端的载荷可向支座D简化，得一力P与弯矩PI，原结构（图12-15（a)）变化为图12-15(b)。将A、B、C、D四处支座处分别用0、1、2、3表示，则对1、2两支座应用三弯矩方程（12-6），并用：1=I"=0，12=l,=1，M。=0，M,=PI代入得：2M,I+M,I = 0M,1+4M,1-PIP° =0则解得：M,=M=-↓Pl, M,=Me=Pl, M,=Pl

材 料 力 学 教 案 为无限小（ l →0 ）的简支梁 AB，而外伸端的载荷可向支座 D 简化，得一力 P 与弯矩 Pl ， 原结构（图 12-15（a））变化为图 12-15（b）。将 A、B、C、D 四处支座处分别用 0、1、2、 3 表示，则对 1、2 两支座应用三弯矩方程（12-6），并用： l 1 = l = 0，l = l = l 2 3 ，M0 = 0， M = Pl 3 代入得： 2M1 l + M2 l = 0 4 0 2 M1 l + M2 l − Pl = 则解得： M M Pl B 7 1 1 = = − ， M M Pl C 7 2 2 = = ， M Pl D =