内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第20讲 应力状态理论（Ⅱ）

材料力学教案第20讲教学方案应力状态理论（ⅡI）/基本1.平面应力状态分析的图解法。2.三向应力状态简介。内容1.了解从任意截面上的应力公式引出应力圆的简要过程,即应力教学圆的方程的导出。目的2.掌握应力圆的作图方法。3．掌握用应力圆求任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面的位置的具体方法。4.掌握极点法，明确极点法的优越性。5.对三向应力状态的分析方法作简单介绍。6.掌握广义胡克定律的导出及其应用。重1重点掌握应力圆的作图方法。点2.。掌握用极点法求解任意斜截面上的应力、主应力和确定主平难面的位置点3重点掌握广义胡克定律的导出及其应用难点是广义胡克定律的应用与极点法的应用。4本次教学计划学时：2学时

材 料 力 学 教 案 第 20 讲 教学方案 —— 应力状态理论（Ⅱ） 基 本 内 容 1.平面应力状态分析的图解法。 2.三向应力状态简介。 教 学 目 的 1.了解从任意截面上的应力公式引出应力圆的简要过程,即应力 圆的方程的导出。 2. 掌握应力圆的作图方法。 3. 掌握用应力圆求任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面 的位置的具体方法。 4．掌握极点法，明确极点法的优越性。 5．对三向应力状态的分析方法作简单介绍。 6．掌握广义胡克定律的导出及其应用。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握应力圆的作图方法 。 2. 掌握用极点法求解任意斜截面上的应力、主应力和确定主平 面的位置 。 3. 重点掌握广义胡克定律的导出及其应用。 4. 难点是广义胡克定律的应用与极点法的应用 。 本次教学计划学时：2 学时

+讲第教课堂讨论：学安排1.应力圆是否能够反映或描述了一点的应力状态,包含一点应力状态的各种信息。2.极点法到底具备什么样的优越性。3.如何应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。4.应力分析的解析法与图解法优缺点的相互比较

第 二 十 讲 教 学 安 排 课堂讨论： 1. 应力圆是否能够反映或描述了一点的应力状态，包含一点 应力状态的各种信息。 2.极点法到底具备什么样的优越性 。 3.如何应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。 4．应力分析的解析法与图解法优缺点的相互比较

索材料力学教s7-3平面一般应力状态分析应力圆法1.应力圆方程由式（8-3a）和(8-3b)消去sin2α，cos2α得到-α+)+=()+t)(8-6)(oα-此为以α，t。为变量的圆方程，以o。为横坐标轴，t。为纵坐标轴，则此圆圆心O坐标-oy(,+y),0，半径为R=，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。2.应力圆的作法应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为α的斜截面上应力α，t。的步骤如下：1）根据已知应力，,，t,值选取适当比例尺；2)在α～T坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（o，，T,），2（o，-t,）两点：3）过1，2两点作直线交轴于℃点，以C为圆心，CI为半径作应力圆4）半径1逆时针（与微元体上α转向一致）转过圆心角=2α得3点，则3点的横坐标值OG即为，纵坐标值3G即为tα。00A(b）应力图(a）平面应力状态图8-12

材 料 力 学 教 案 §7-3 平面一般应力状态分析——应力圆法 1．应力圆方程 由式（8-3a）和(8-3b)消去 sin 2 ，cos2 得到 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( xy x y x y          + − + = + − (8-6) 此为以  ，   为变量的圆方程，以   为横坐标轴，   为纵坐标轴，则此圆圆心 O 坐标 为       ( + ),0 2 1  x  Y ，半径为 2 1 2 2 2         +         − = xy x y R    ，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。 2．应力圆的作法 应力圆法也称应力分析的图解法。作图 8-12a 所示已知平面一般应力状态的应力圆及求 倾角为  的斜截面上应力   ，   的步骤如下： 1）根据已知应力  x ， y ， xy  值选取适当比例尺； 2）在  ~ 坐标平面上，由图 8-12a 中微元体的 1-1，2-2 面上已知应力作 1（  x ， xy  ）， 2（  y ，- xy  ）两点； 3）过 1，2 两点作直线交  轴于 C 点，以 C 为圆心， C1 为半径作应力圆； 4）半径 C1 逆时针（与微元体上  转向一致）转过圆心角  = 2 得 3 点，则 3 点的横 坐标值 OG 即为   ，纵坐标值 3G 即为  

3.微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系3G=T。的证明：) OG=α。OG=OC+CG =OC+ Rcos(. +0)=OC+ RcosO, cos0-Rsin 0, sin 0=OC +CAcos0-1Asin 0OC=OB+BC=,+(0,-0,)=(0,+0,)已知：CA-CB-I(C, -,);1A=T,OG=(a, +o,)+(ox-0,)cos0-tsin 0让Q=2α，对照上式与式（8-3a)，可知OG=α。。3G = C3. sin(0% +0) = Rcos0. sin 0+ Rsin 9, cos0=CAsin 0+1Acos0=(o, -0,)sin 2α +t, cos2α3G= Ta.对照上式与式（8-3b），可知2）几个重要的对应关系OE-OC+CE =T2=0极(a+a)a,-o,OF -OC-CF -+=0极小（即式（8-5b））(0主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过%=2α到E点。T.tan 。 = tan 2αg =，（即式（8-4a）），对应微元体内从x面顺时针转过α角2(a, -0,)(na.面)。应力圆上继续从E点转过180°到F，对应微元体上从na面继续转过90°到na+90面，此时 Ta。= Ta+900=0（即式（8-4c)）建议读者对M，N点（对应主剪应力）作同样讨论

第 二 十 讲 3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系 1） OG = ， 3G =   的证明： OG =OC +CG cos( ) = OC + R  0 + = OC + Rcos 0 cos − Rsin  0 sin  = OC +CAcos −1Asin 已知： OC = OB + BC = ( ) 2 1  y +  x − y ( ) 2 1 =  x + y ( ) 2 1 CA = CB =  x − y ； A xy 1 =  则   (  ) cos  sin  2 1 ( ) 2 1 OG = x + y + x − y − xy 让  = 2 ，对照上式与式（8-3a），可知 OG =   。 3G 3 sin( ) = C   0 + = Rcos 0 sin  + Rsin  0 cos = CAsin +1Acos = (  )sin 2  cos 2 2 1 x − y + xy 对照上式与式（8-3b），可知 3G =   。 2）几个重要的对应关系 OE = OC +CE = ( ) 2 1  x + y 2 2 2 xy x y    +         − + =  极大 OF = OC −CF ( ) 2 1 =  x + y 2 2 2 xy x y    +         − − =  极小 （即式（8-5b）） 主平面位置：应力圆上由 1 点顺时针转过  0 = 2 0 到 E 点。 ( ) 2 1 tan 0 tan 2 0 x y xy      − = = − ，（即式（8-4a）），对应微元体内从 x 面顺时针转过  0 角 （  0 n 面）。 应力圆上继续从 E 点转过 180 到 F ，对应微元体上从  0 n 面继续转过 90 到 +90  0 n 面，此时 0 0 0 90 = = +      （即式（8-4c）） 建议读者对 M ， N 点（对应主剪应力）作同样讨论

材料力学教索$7-4三向应力状态简介1.主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a)，可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即a, ≥a, ≥ag.例7-1式（8-1a)，(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力0张小=0,=DpDO极大=OH=2848内壁有内压0，2=0，=极小0-2.主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个主应力，可求：心1）平行,方向的任意斜截面α上应力（如图8-15a）。由于，不参加图8-15b所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：图8-14a=(a, +2)+(a, -0,)cos2α(o, -02)sn 2αTa=

材 料 力 学 教 案 §7-4 三向应力状态简介 1．主应力 对于空间一般应力状态（如图 8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三 对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图 8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即主 应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。 约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即  1   2   3。 例 7-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力 状态，有两个主应力    2 pD 极大 = H = ，    4 pD 极小 = L = 内壁有内压 p   极大， 极小 工程上略去不计，则有：  1 =  极大 ， 2 =  极小 ， 3 = 0。 例 7-2 图 8-7 所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的 1 点，可用图 8-14 所示应力圆求其 主应力： 2 2 2 2 xy x x      +      =  极小 极大， ， 二向应力状态。 所以  1 =  极大  0， 2 = 0， 3 =  极小  0 2．主剪应力，最大剪应力 若已知（或已求得）三个 主应力，可求： 1）平行  3 方向的任意斜截面  上应力（如图 8-15a）。由于  3 不参加图 8-15b 所示微元体的力平 衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：     (  ) cos 2 2 1 ( ) 2 1 = 1 + 2 + 1 − 2   (  )sin 2 2 1 = 1 − 2

(a)(b)()求平行の方向斜截面上正应力徽元体受力平衡图三向应力图上的主应力与主剪应力图8-15相应于图8-15c中α,，，构成的应力圆，此时主剪应力：O3（a）求方向斜截面上主剪应力(b）微元体受力图（α-45°)(）微元体曼力图（α=-450)图8-16(a,-02），α=±45°（图8-15c上的M点）。T12=±2）平行,方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，）主剪应力：Ti3=(o1-)。（见图8-15c中，构成的应力圆上Mis点)。3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中M23点）。T23 =±)(0, -0,)。结论：在按约定排列的三个非零主应力1，C2，;作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力Ti2，T13，T23，其中最太剪应力慎为：Tmm=Tg=0-02

第 二 十 讲 相应于图 8-15c 中  1 ， 2 构成的应力圆，此时主剪应力： ( ) 2 1 12  1  2  =  − ， = 45 （图 8-15c 上的 M12 点）。 2）平行  2 方向斜截面上的主剪应力（见图 8-16a，b，c） 主剪应力： ( ) 2 1 13  1  3  =  − 。（见图 8-15c 中  1， 3 构成的应力圆上 M13 点）。 3）求平行  1 方向斜截面上的主剪应力（见图 8-15c 中 M 23 点）。 ( ) 2 1 23  2  3  =  − 。 结论：在按约定排列的三个非零主应力  1， 2 ， 3 作出的两两相切的三个应力圆中， 可以找到三个相应的主剪应力 12  ， 13  ， 23  ，其中最大剪应力值为： 2 1 3 max 13     − = =

材料力学教案索(b)(c)12（a）已知空间应力状态的三个主应力（b）求任意斜截面ABC上应力的平衡体（）全应力的两个应力分量a，Tm图8-17处在与，,作用面成±45°的面上。①极大-0_PD例7-1中：Tmx=T13482①极大-极小=(D_D)D而非Tmx=T极大2(2848-882Q极-0例7-2中：Tmx=T13=T极大+tV2※3.任意斜截面上应力已知主应力o，o,，o,，设斜截面法线n的方向余弦为l，m，n。求任意斜截面ABC上应力。设斜面面积FABc=dA，则三个侧面面积：Fous=ldA,Fonc=mdA, Foac=nda三个方向余弦满足关系：P+m+n=1(a)由平衡条件ZX=0，ZY=0和ZZ=0有：(b)P,=l, Py=0,m, P.=0,n

材 料 力 学 教 案 处在与  1， 3 作用面成  45 的面上。 例 7-1 中：     2 4 0 max 13 pD = − = = 极大 而非 2 max 极大 极小 极大     − = = 2 2 4 8 1 pD pD pD  =      = − 。 例 7-2 中：  max =  13 =  极大 2  极大 − 极小 = 2 2 2 xy x    +      = ※3．任意斜截面上应力 已知主应力  1， 2 ， 3 ，设斜截面法线 n 的方向余弦为 l ，m ，n 。求任意斜截 面 ABC 上应力。 设斜面面积 FABC = dA ，则三个侧面面积： FOAB = ldA， FOBC = mdA， FOAC = ndA 三个方向余弦满足关系： 1 2 2 2 l + m + n = （a） 由平衡条件  X = 0， Y = 0 和  Z = 0 有： p l x =  1 ， py =  2m ， pz =  3n （b）

讲由总应力p的三个分量可得总应力：p=p+,+p?=oP+02m+0in(c)p也可分解为法线n方向的正应力c，和面上剪应力t，（图8-17c)，则有(d)p?=o,+t?由式（d)，（c）得：(e)t, =oi1? +oim?+oin?-0,PxPy，P.在斜面法线上投影之代数和为o，=p,/+P,m+p.n，注意到式（b)，则有：0,=0,/*+0,m2+0,n2(f)由式（a)，（e)，（f)可解得：0,+0）++: -() +1(0,-0.(0-0,)gn(g, -.)C,+o1+t?(8-7)+m'(02 -0,(02 -0)gi+0,)+t; =(0-02) +n'(0;-0,(0; -02)gn22讨论：1）在以α,为横坐标，t，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面ABC上的应力（，，t。0。2）由于1、m2、n2≥0，在约定,>02>;条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内3）当/=0，式（8-7）第一式即为图8-14c中02，,组成的应力圆方程，在所有平行,方向的斜截面中，与，,成45°的斜面上具有主剪应力T=，同理，2当m=0，和n=0时，对应有i,及の,组成的应力圆方程，分别可得主剪应力：h=和ra, 可见, m Tg22

第 二 十 讲 由总应力 p 的三个分量可得总应力： 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 p = px + py + pz = l + m + n （c） p 也可分解为法线 n 方向的正应力  n 和面上剪应力 n  （图 8-17c），则有 2 2 2 p n n =  + （d） 由式（d），（c）得： 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 n m n n  =  l + + − （e） x p ， y p ， z p 在斜面法线上投影之代数和为  n = px l + pym + pzn ，注意到式（b），则有： 2 3 2 2 2  n =  1 l + m + n （f） 由式（a），（e），（f）可解得：             + − −      −  + =      + −  + − −      −  + =      + −  + − −      −  + =      + − ( )( ) 2 2 ( )( ) 2 2 ( )( ) 2 2 3 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 2 2 3                               n m l n n n n n n (8-7) 讨论： 1）在以  n 为横坐标， n  为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且 交于一点，此点坐标即为斜截面 ABC 上的应力（  n ， n  ）。 2）由于 2 l 、 2 m 、 0 2 n  ，在约定  1   2   3 条件下，可由以上三式证明任意斜截面 上应力均落在图 8-14c 所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。 3）当 l = 0 ，式（8-7）第一式即为图 8-14c 中  2 ， 3 组成的应力圆方程，在所有平 行  1 方向的斜截面中，与  2 ， 3 成  45 的斜面上具有主剪应力 2 2 3 23    − = ，同理， 当 m = 0 ，和 n = 0 时，对应有  1， 3 及  1， 2 组成的应力圆方程，分别可得主剪应 力： 2 1 3 13    − = 和 2 1 2 12    − = ，可见， max 13  = 