内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第14讲 弯曲正应力

材料力学教案第14讲教学方案弯曲正应力基本内容梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力。掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导1、教学中所作的基本假设。目2、理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。的掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。3、重点本节重点：纯弯曲时横截面上正应力公式的推导和计算。、难点本节难点：横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度

材 料 力 学 教 案 1 第 14 讲 教学方案 ——弯曲正应力 基 本 内 容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力。 教 学 目 的 1、掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导 中所作的基本假设。 2、理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 3、掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 重 点 、 难 点 本节重点：纯弯曲时横截面上正应力公式的推导和计算。 本节难点：横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度

讲第四第五章弯曲应力s5-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为弯典。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时a存在剪应力T和正应力α。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q=0，M=常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯变曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲，与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要(C)综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。1.变形关系平面假设考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征：图6-1纯弯曲与横弯曲（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，纵线另一侧缩短。m横线根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变21b形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为虫性层。如图6-3所示。中性层(b)与横截面的交线为截面的史性轴。图6-2横截面的变形2

第 十 四 讲 2 第五章 弯曲应力 §5-1 纯弯曲正应力 梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横 弯曲。剪力 Q 是横截面切向分布内力的合力；弯矩 M 是横 截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时 存在剪应力  和正应力  。实践和理论都证明，其中弯矩是 影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论 Q = 0， M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图 6-1 所示梁 的 CD 段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。 与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要 综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。 1．变形关系——平面假设 考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的 横线，和与轴线平行的纵线，如图 6-2a 所示。然后在梁的 两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图 图 6-2b 所示。可以发现梁表面变形具有如下特征： （1）横线（m-m 和 n-n）仍是曲线，只是发生相对转 动，但仍与纵线（如 a-a，b-b）正交。 （2）纵线（a-a 和 b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长， 另一侧缩短。 根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变 形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只 是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设 也称平面假设。 此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截 面上无正应力作用。 根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变 形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也 不缩短的一层，这一层称为中性层。如图 6-3 所示。中性层 与横截面的交线为截面的中性轴

材料力学教察横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为横裁面对称轴零。下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。纵向对称面考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为 y处的纵向层 a-a 弯曲后的长度为中性层中性轴(p+y)do，其纵向正应变为图6-3平面假设时梁的变形-(p+)do-d0_(a)pdep式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。2.物理关系根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律G=ES于是有(b)D广Pdol式中E、p均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上dx任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离成MOL0正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d0所示。(a)(b)式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径p以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。3.静力关系V弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z(d)(c)的微面积dA上有作用力αdA。横截面上所有微面图6-4横截面上的应变与应力分布积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩3

材 料 力 学 教 案 3 横截面上位于中性轴两侧的各点分别 承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为 零。 下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面 高度的变化规律。 考察梁上相距为 dx 的微段（图 6-4a），其 变形如图 6-4b 所示。其中 x 轴沿梁的轴线，y 轴与横截面的对称轴重合，z 轴为中性轴。则距 中性轴为 y 处的纵向层 a-a 弯曲后的长度为 ( + y)d ，其纵向正应变为         y d y d d = + − = ( ) （a） 式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向 线应变沿截面高度线性分布。 2．物理关系 根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设， 所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律  = E 于是有 y E =    （b） 式中 E 、  均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上 任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离 y 成 正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图 6-4d 所示。 式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层 的曲率半径  以及中性轴的位置尚未确定。这要 利用静力关系来解决。 3．静力关系 弯矩 M 作用在 x-y 平面内。截面上坐标为 y、z 的微面积 dA 上有作用力 dA 。横截面上所有微面 积上的这些力将组成轴力 N 以及对 y、z 轴的力矩

讲第：四My和Mz:N = [αdA(c)M,=J=αd4(d)M. :JyadA(e)在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩M.=M，而轴力N和M，皆为零。将式（b）代入式（c)，因为N=0，故有N=[EE yd4-EJ d4-Es. -0APPA0其中S, =[ yd4称为截面对z轴的静矩。因为三0，故有S.=0。这表明中性轴z通过截面形心。P将式（b）代入式（d)，有M,=[yzdAyzdA=其中I =J yzdA称为截面对y、z轴的惯性积。使I=0的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（b）代入式（e)，有M.-[Eyrd4=[yd4-El,=MpAOAp得到1_M(6-1)P"El.其中

第 十 四 讲 4 My 和 Mz：  = A N  dA （c）  = A M y z dA （d）  = A M z y dA （e） 在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩 M z = M ，而轴力 N 和 M y 皆为零。 将式（b）代入式（c），因为 N = 0 ，故有 = = = = 0   z A A S E ydA E ydA E N    其中  = A z S ydA 称为截面对 z 轴的静矩。因为  0  E ，故有 Sz = 0 。这表明中性轴 z 通过截面形心。 将式（b）代入式（d），有 = = = = 0   yz A A y I E yzdA E yzdA E M    其中  = A yz I yzdA 称为截面对 y、z 轴的惯性积。使 I yz = 0 的一对互相垂直的轴称为主轴。由于 y 轴为横截面 的对称轴，对称轴必为主轴，而 z 轴又通过横截面形心，所以 y、z 轴为形心主轴。 将式（b）代入式（e），有 I M E y dA E y dA E M z A A z = = = =      2 2 得到 EI z M =  1 （6-1） 其中

料教案1,=Jy'd4称为截面对z轴的惯性矩；EI.称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式M.y(6-2)=I.上式中正应力α的正负号与弯矩M及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩M的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M和y的正负。55-2横弯曲正应力梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，1/h≥5，1为梁长，h为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。（薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见$6-5）上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（h/po≤0.2，P。为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。5

材 料 力 学 教 案 5  = A I z y dA 2 称为截面对 z 轴的惯性矩； EI z 称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩 成正比，而与抗弯刚度成反比。 将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式 z I M  y  = （6-2） 上式中正应力  的正负号与弯矩 M 及点的坐标 y 的正负号有关。实际计算中，可根据截面 上弯矩 M 的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及 M 和 y 的正负。 §5-2 横弯曲正应力 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再 保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁， l / h  5， l 为梁长， h 为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1） 和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平 面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯 曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。 （薄壁截面梁产生平面弯曲的加力条件见§6-5） 上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁 （ h /  0  0.2 ，  0 为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用