内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第4讲 拉压杆的变形与变形能

材料力学教索第4讲教学方案拉压杆的变形与变形能基本内容拉压杆的变形与变形能。1、熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算方法。教2、掌握横向变形和泊松比的概念。学目3、掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。的4、理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形的方法。重本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计点算。、难点本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形

材 料 力 学 教 案 1 第 4 讲 教学方案 ——拉压杆的变形与变形能 基 本 内 容 拉压杆的变形与变形能。 教 学 目 的 1、熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算 方法。 2、掌握横向变形和泊松比的概念。 3、掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。 4、理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定 行架结构变形的方法。 重 点 、 难 点 本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计 算。 本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形

讲s2-8拉伸或压缩时的变形1.沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为1，横截面面积为A。在轴向力P作用下，长度由/变为1。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为PP4PP图2-23轴向变形N=l,-1(1)由于杆内各点轴向应力α与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长△/除以原长l：Y(2) 由α=Es得N-EN所以A/=NPI(2-6)EA"EA式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长△/与拉力P和杆件的原长度I成正比，与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中EA是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。2.横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为b，变形后相应尺寸变为b，则横向变形为Ab= b, -b横向线应变可定义为5A6b由实验证明，在弹性范围内2

第 四 讲 2 §2-8 拉伸或压缩时的变形 1．沿杆件轴线的轴向变形 如图 2-23，设等直杆的原长为 l ，横截面面积为 A 。在轴向力 P 作用下，长度由 l 变为 1 l 。 杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为 l = l − l 1 （1） 由于杆内各点轴向应力  与轴向应变  为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长 l 除 以原长 l ： l l  = （2） 由  = E 得 l l E A N  = 所以 EA Pl EA Nl l = = （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长 l 与拉力 P 和杆件的原长度 l 成正比， 与横截面面积 A 成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中 EA 是材料弹性模量与拉压杆件 横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将 EA 称为抗拉（压）刚度。 2．横向变形 若在图 2-23 中，设变形前杆件的横向尺寸为 b ，变形后相应尺寸变为 1 b ，则横向变形为 b = b1 −b 横向线应变可定义为 b b   = 由实验证明，在弹性范围内

学教索材料力_-±(2-7)u为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号μ，称为泊松比或横向变形系数。 与的关系为=(2-8)三0(z)=)3.变截面杆的伸长变形A(g)dxAtdAALXAP例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？dAx+Co: A=Ce"(A+ dA)o = αA + yAdx :积分：In A=Ix在x=0处A=Ao，所以：C。=A。:A-Aoea即：A按指数函数变化。例2-6图2-25所示为变截面杆，已知BD段MA0A =2 cm2，DA 段 A, =4 cm2,P=5 kN,P,=10kN。求AB杆的变形NAB。（材料的P2E=120×10°’MPa)-50十5050-解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力N，，N2，周2-25N,为N,=-5kN:N,=-5kN:N,=5kN

材 料 力 学 教 案 3    =  （2-7）  为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于  为反映材料横向变形能力的材料弹性常 数，为正值，所以，一般冠以负号     = − ，称为泊松比或横向变形系数。  与  的关系为   = − （2-8） 3．变截面杆的伸长变形 ( ) ( ) A(x) N x  x = 例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？ (A+ dA) =A+Adx ； dx A dA   = 积分： 0 ln A = x + C   ； x A C e   = 0 在 x = 0 处 A = A0 ，所以：  P C0 = Ao = ； x x e P A A e      = 0 = 即： A 按指数函数变化。 例 2-6 图 2-25 所示为变截面杆，已知 BD 段 A1 = 2 cm2 ， DA 段 A2 = 4 cm2 ， P1 = 5 kN ， P2 =10 kN 。 求 AB 杆的 变 形 AB l 。（材 料 的 3 E = 12010 MPa） 解：首先分别求得 BD、DC、CA 三段的轴力 N1，N2 ， N3 为 N1 = −5 kN ； N2 = −5 kN； N3 = 5 kN

第四讲N-5×10×0.5=-1.05×10-4 (m)NBD = N, =EA120×10°×2×10-=5x10×0.5N,l,Npc = Nl, ==-0.52×10-4（m)EA120×10×4×10-45×10×0.5N.l3lc = Nl, ==0.52×10-4（m）120×10°×4×10-EA,NIAB =AI, +Al, + A, = -1.05×10- (m)AAs的负号说明此杆缩短。变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中因为8=0，则NAB=Og。对a于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使变形和位移之间还应满足一定的几何关系。例2-7图2-26a所示杆系结构，已知BC杆圆截R.M面d=20mm，BD杆为8号槽钢，[o]=160MPaE=200GPa，P=60kN。求B点的位移。图2-26解：（1）计算轴力，取节点B（图b）由ZX=0，得(1)N, cosα-N, =0由ZY=0，得(2)N, sinα-P=0所以(压)N, = 75kNN, = 45kN(拉)(2）计算变形由BC:CD:BD=3:4:5,得BD=l,=2m。4

第 四 讲 4 4 9 4 3 1 1 1 1 1.05 10 120 10 2 10 5 10 0.5 − − = −     −    =  = = EA N l l l BD （m） 4 9 4 3 2 2 2 2 0.52 10 120 10 4 10 5 10 0.5 − − = −     −    =  = = EA N l l l DC （m） 4 9 4 3 3 3 3 3 0.52 10 120 10 4 10 5 10 0.5 − − =        =  = = EA N l l l CA （m） 4 1 2 3 1.05 10− lAB = l + l + l = −  （m） AB l 的负号说明此杆缩短。 变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明 确，如例 2-6 中因为  A = 0 ，则 AB B l =  。对 于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使 变形和位移之间还应满足一定的几何关系。 例 2-7 图 2-26a 所示杆系结构，已知 BC 杆圆截 面 d = 20 mm，BD 杆为 8 号槽钢，  =160 MPa， E = 200 GPa， P = 60 kN。求 B 点的位移。 解：（1）计算轴力，取节点 B（图 b） 由  X = 0 ，得 N2 cos − N1 = 0 （1） 由 Y = 0 ，得 N2 sin − P = 0 （2） 所以 N2 = 75kN （压） N1 = 45kN （拉） （2）计算变形 由 BC ：CD： BD = 3: 4 : 5 ，得 BD = l 2 = 2 m

材料力学教索BC杆圆截面的面积A,=314×10~m2，BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积A=1020×10~m2，由胡克定律求得N45×10×1.2BB, = N,=0.86x10-3（m）EA200×10°×314×10-675×10×2B, =AI, = Nh=-0.732×10-3 (m)200×10°×1020×10-6EA,1)确定 B 点位移。已知△I,为拉便变形，,为压缩变形。设想将托架在节点B拆开（图a)，BC杆伸长变形后变为 BiC，BD 杆压缩变形后变为 B2D。分别以 C点和 D点为圆心，CB,和DB,为半径，作圆弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为是小变形，BiB;和B2B3是两段极其微小的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3。BB，即为B点的位移。也可以用图解法求位移BB，。这里用解析法来求位移BB，。注意到三角形BCD三边的长度比为3:4:5，由图c可以求出B,B, =NI, ×+NB,B, =B,B,+B,B,BB,×+B,B,×=4/×+(4l+4)=1.56×10mB点的水平位移BB,= N, =0.86×10-m最后求出位移BB,为BB, =(B,B,) +(BB,) =1.78×10- m

材 料 力 学 教 案 5 BC 杆圆截面的面积 6 2 1 314 10 m − A =  ，BD 杆为 8 号槽钢，由型钢表查得截面面积 6 2 2 1020 10 m − A =  ，由胡克定律求得 3 9 6 3 1 1 1 1 1 0.86 10 200 10 314 10 45 10 1.2 − − =       =  = = EA N l BB l （m） 3 9 6 3 2 2 2 2 2 0.732 10 200 10 1020 10 75 10 2 − − = −       =  = = EA N l BB l （m） 1）确定 B 点位移。 已知 1 l 为拉伸变形， 2 l 为压缩变形。设想将托架在节点 B 拆开（图 a），BC 杆伸长变形 后变为 B1C，BD 杆压缩变形后变为 B2D。分别以 C 点和 D 点为圆心， CB1 和 DB2 为半径，作 圆弧相交于 B3。B3 点即为托架变形后 B 点的位置。因为是小变形，B1B3 和 B2B3 是两段极其微小 的短弧，因而可用分别垂直于 BC 和 BD 的直线线段来代替，这两段直线的交点即为 B3。BB3 即 为 B 点的位移。 也可以用图解法求位移 BB3 。这里用解析法来求位移 BB3 。注意到三角形 BCD 三边的长度比为 3: 4 : 5 ，由图 c 可以求出 2 4 2 1 5 3 B B = l  + l 4 3 5 4 B1B3 = B1B4 + B4B3 = BB2  + B2B4  1.56 10 m 4 3 ) 5 3 ( 5 4 3 2 2 1 − = l  + l  + l =  B 点的水平位移 0.86 10 m 3 1 1 − BB = l =  最后求出位移 BB3 为 ( ) ( ) 1.78 10 m 2 3 1 2 3 1 3 − BB = B B + BB = 

s2-9轴向拉（压）杆件的变形能变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。对于始终处于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作的外力功W几乎全部转化为物体的弹性变形能U，则由能量守恒原理：U=W(1)下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形tp能。对轴向拉压（杆)，拉力 P 作功为W=↓PI(2)所以，由期克定律4=号得EAA2(2-10)三(a)32EA图2-27轴向拉仲时的变形能定义比能（或应变能密度）u为单位体积的变形能，即UPN082A=V(2-11)由胡克定律α=Eε，则得J0e-Ee"-?2E2单位为焦/米，J/m。1例 2-9简易起重机如图2-28所示。BD撑杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长/=3m。弹性模量E=210GPa。BC是两条横截面面积为172mm的钢索，弹性模量E,=177GPa。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设P=30kN。解：从三角形BCD中解出 BC和 CD的长度分别为BC =l, =2.20m,CD=1.55m算出BC和BD两杆的横截面面积分别为A = 2x172 = 344 mm2A= (902 -85°)=687mm2由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为

第 四 讲 6 §2-9 轴向拉（压）杆件的变形能 变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。对于始终处 于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作 的外力功 W 几乎全部转化为物体的弹性变形能 U，则由能量守恒原理： U =W （1） 下面以图 2-27 来讨论轴向拉伸或压缩的变形 能。对轴向拉压（杆），拉力 P 作功为 W Pl 2 1 = （2） 所以，由胡克定律 EA Pl l = ，得 EA P l U W P l 2 2 1 2 = =  = （2-10） 定义比能（或应变能密度） u 为单位体积的变形能，即  2 1 2 =  = = Al P l V U u （2-11） 由胡克定律  = E ，则得 E E u 2 2 2 1 2 2   =  = = 单位为焦/米 3，J/m3。 例 2-9 简易起重机如图 2-28 所示。BD 撑杆为无缝 钢管，外径 90mm，壁厚 2.5mm，杆长 l = 3m 。弹性 模量 E = 210GPa 。BC 是两条横截面面积为 172mm2 的钢索，弹性模量 177GPa E1 = 。若不考虑立柱的变 形，试求 B 点的垂直位移。设 P = 30kN。 解：从三角形 BCD 中解出 BC 和 CD 的长度分别为 BC = l 1 = 2.20m ， CD =1.55m 算出 BC 和 BD 两杆的横截面面积分别为 2 A1 = 2172 = 344mm ( ) 2 2 2 90 85 687mm 4 = − =  A 由 BD 杆的平衡方程，求得钢索 BC 的拉力为

材料力学教索N, =1.41PBD杆的压力为N, =1.93P当载荷P从零开始缓慢地作用于由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系上时，P所作的功是W=-PS它在数值上应等于杆系的叭形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。故IPS-Mt+N2E,42E,4将各数值代入，由此求得8=14.93x10p=4.48×10-m关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论

材 料 力 学 教 案 7 N1 =1.41P BD 杆的压力为 N2 =1.93P 当载荷 P 从零开始缓慢地作用于由 BC 和 BD 两杆组成的简单弹性杆系上时，P 所作的功是 W P 2 1 = 它在数值上应等于杆系的叺形能，亦即等于 BC 和 BD 两杆变形能的总和。故 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 E A N l E A N l P = + 将各数值代入，由此求得 14.93 10 p 4.48 10 m −8 −3  =  =  关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论