内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第7讲 扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转

材料力学教察第7讲教学方案-扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转基本内容扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转。1、掌握外力偶矩的计算方法，扭矩的计算和扭矩图的绘制。2、理解薄壁圆筒的定义，掌握薄壁圆筒扭转时横截面上剪应力的计教学算。目的3、深入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律。4、剪切变形能和比能的定义和计算。重点本节重点：外力偶矩的计算和扭矩图的绘制，剪应力互等定理和剪切胡克定律。、难点本节难点：外力偶矩的计算，剪应力互等定理的理解

材 料 力 学 教 案 1 第 7 讲 教学方案 ——扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转 基 本 内 容 扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转。 教 学 目 的 1、掌握外力偶矩的计算方法，扭矩的计算和扭矩图的绘制。 2、理解薄壁圆筒的定义，掌握薄壁圆筒扭转时横截面上剪应力的计 算。 3、深入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律。 4、剪切变形能和比能的定义和计算。 重 点 、 难 点 本节重点：外力偶矩的计算和扭矩图的绘制，剪应力互等定理和剪切 胡克定律。 本节难点：外力偶矩的计算，剪应力互等定理的理解

第讲C第三章扭转s3-1概述工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图42所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶一扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转83-2外力偶矩与扭矩的计算扭矩图1.外力偶矩m如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩m不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率N和转速n 由下列关系计算得到的。m=9550(4-1a)如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功图4-3外力偶妞的计算为A=mΦ，由功率定义dA=m.deN==mの。角速度の与转速n（单位为转/分，即r/min）。关系为の=2m/60（单dt位为弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000N·m/s，N千瓦的功率相当于每秒钟作功W=1000×N，单位为N·m：而外力偶在1秒钟内所作的功为减速器马达Poo品(b)图4-1攻丝图4-2桥式起重机的传动辅W=m-0=2m·m/60 (N·m)2

第 七 讲 2 第三章 扭转 §3-1 概述 工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图 4-1 所示的攻丝丝锥，图 4-2 所示的桥式起重 机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点： 1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶— —扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。 2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。 §3-2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图 1．外力偶矩 m 如图 4-3 所示的传动机构，通常外力偶矩 m 不是直接给出的，而是通过轴所传递的功 率 N 和转速 n 由下列关系计算得到的。 n N m = 9550 (4-1a) 如轴在 m 作用下匀速转动  角，则力偶做功 为 A = m ，由功率定义   m dt d m dt dA N = =  = 。角速度  与转速 n（单位为转/分，即 r/min）。关系为  = 2n/ 60 （单 位为弧度/秒，rad/s）。由于 1kW=1000N·m/s，N 千瓦的功率相当于每秒钟作功 W =1000 N ， 单位为 N·m；而外力偶在 1 秒钟内所作的功为 W = m = 2nm /60 （N·m）

材料力学教室由于二者作的功应该相等，则有N×1000=2m.m/60由此便得（4-1）式。式中：N一传递功率（千瓦，kW）n一转速(r/min)如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5N·m/s，则有m= 7024\(N·m)(4-1b)式中：N一传递功率（马力，PS）转速（r/min）2.扭矩T求出外力偶矩m后，可进而用截面法求扭转内力扭矩。如图4-4所示圆轴，由Zm，=0，从而可得A一A截面上扭矩TT-m=0T=mT称为截面A—A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右h手螺旋法则，T矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢Tn(e)量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。周4-4起瓶例3-1传动轴如图4-5α所示，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为N，=N。=15马力，N=20马力，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩enm,= 7024N=1170 N·m6efmg = mc = 7024 NB=351N.mwmp = 7024 = 48 N- m（02周4-5从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。3

材 料 力 学 教 案 3 由于二者作的功应该相等，则有 N 1000 = 2nm /60 由此便得（4-1）式。式中： N —传递功率（千瓦，kW） n —转速（r/min） 如果传递功率单位是马力(PS)，由于 1PS=735.5 N·m/s，则有 n N m = 7024 （N·m） (4-1b) 式中： N —传递功率（马力，PS） n—转速（r/min） 2．扭矩 T 求出外力偶矩 m 后，可进而用截面法求扭转内力—— 扭矩。如图 4-4 所示圆轴，由 mx = 0 ，从而可得 A—A 截面上扭矩 T T − m = 0 ， T = m T 称为截面 A—A 上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右 手螺旋法则， T 矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢 量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。 例 3-1 传动轴如图 4-5a 所示，主动轮 A 输入功率 NA = 50 马力，从动轮 B、C、D 输出功率分别为 NB = NC =15 马力， ND = 20 马力，轴的转 速为 n = 300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 = 7024 =1170Nm n N m A A = = 7024 = 351Nm n N m m B B C = 7024 = 468Nm n N m D D 从受力情况看出，轴在 BC、CA、AD 三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根 据平衡方程计算各段内的扭矩

第七进在BC段内，以T,表示截面I-上的扭矩，并任意地把T,的方向假设为如图4-5b所示。由平衡方程m，=0，有T, +mg =0得5IN-mA02N-n17ON-T, =-mg =-351N-m负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在CA段内，由图4-5c，得Tr+mc+mg=0Tu =mc-mg =-702Nm在AD段内（图4-5d),Tm-mp=0Tm=mp=468N.m与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且Tmx= 702N.m。对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩T=1170N-m。显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。s3-3薄壁圆筒的扭转图4-1剪切五等理

第 七 讲 4 在 BC 段内，以 TI 表示截面 I—I 上的扭矩，并任意地把 TI 的方向假设为如图 4-5b 所示。由 平衡方程 mx = 0 ，有 T + mB = 0 得 T = −mB = −351Nm 负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在 BC 段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图 为一水平线（图 4-5e）。同理，在 CA 段内，由图 4-5c，得 TII + mC + mB = 0 TII = mC − mB = −702 N m 在 AD 段内（图 4-5d）， TIII − mD = 0 TIII = mD = 468Nm 与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图 4-5e 其中最大扭矩发生于 CA 段内，且 Tmax = 702Nm。 对上述传动轴，若把主动轮 A 安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图 4-6 所示。 这时，轴的最大扭矩 Tmax =1170Nm 。显然单从受力角度，图 4-5 所示轮子布局比图 4-6 合理。 §3-3 薄壁圆筒的扭转

当空心圆筒的壁厚t与平均直径D（即2）之比/D≤1/20时称为薄壁圆筒简。1.剪应力与剪切互等定理若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶m作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力t，因为筒壁的厚度1很小，可以认为沿简壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力t沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程m，=0，有m=2mt.t-rm(4-2)2元2t如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于47a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为dx，dy。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p.q-q圆周面的左、右侧面上有剪应力t，因此在这两个侧面上有剪力tdy，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反形成一个力偶，其力偶矩为（tdy)dx。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力T作用（据Y=0，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足Zm，=0，即(at dy)dx =- (ttdx)dy所以T=T(4-3)上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单无体。2.剪应变与剪切胡克定律与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图 4-7b 所示若为圆筒两端的相对扭转角，1为圆筒的长度，则剪应变为Y=r9(4-4)014薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力T图4-8男切变形能5

材 料 力 学 教 案 5 当空心圆筒的壁厚 t 与平均直径 D（即 2r）之比 t D 1 20 时称为薄壁圆筒. 1．剪应力与剪切互等定理 若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方 格，其中代表性的一个小方格如图 4-7a 所示。这时使筒在外力偶 m 作用下扭转，扭转后相邻圆 周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角  从而使方格变成菱形(见图 4-7b)，但 圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向 截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力  ，因为筒壁的厚度 t 很小，可以认为沿 筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力  沿圆环处处相等。根据如 图 4-7c 所示部分的平衡方程 mx = 0 ，有 m = 2rt  r r t m 2 2  = （4-2） 如图 4-7d 是从薄壁圆筒上取出的相应于 4-7a 上小方块的单元体，它的厚度为壁厚 t，宽度 和高度分别为 dx， dy 。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于 p-p,q-q 圆周面的左、右侧面 上有剪应力  ，因此在这两个侧面上有剪力 tdy ，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反， 形成一个力偶，其力偶矩为 (tdy)dx 。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应 力  ' 作用（据 Y = 0 ，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足 mz = 0 ，即 (t  dy)dx = (tdx)dy 所以  = （4-3） 上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背 离交线。这就是剪应力互等定理。图表-7d 所示单元体称纯剪切单无体。 2．剪应变与剪切胡克定律 与图 4-7b 中小方格（平行四边形）相对应，图 4-7e 中 单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直 的两个棱边的夹角改变了一个微量  ，此直角的改变量称为 剪应变或角应变。如图 4-7b 所示若  为圆筒两端的相对扭 转角， l 为圆筒的长度，则剪应变  为 l r  = （4-4） 薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变  与剪应力 

第讲七成正比，即(4-5)T=Gy式（4-5）为剪切胡克定律：G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料，弹性常数E,u,G三者有关系EG=(4-6)2(1+ μ)3.变形能与比能若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至tdydz，右侧面因错动沿t方向的位移由零增至ydx。因此剪力所作的功为dW - f" tdyd dydxdW等于单元体内储存的变形能dU，故剪切单元体的变形能为dU = dw =(l" rdy)dv(4-7)其中=(t)。以单元体的体积dV除dU得单位体积内的剪切变形能，即比能为"--a对图4-8所示线弹性情况，当剪应力T在剪切比例极限以内时，T=Gy，有Gy?(4-8a)u=_ty =2G对图48所示线弹性关系（比例极限以内），有dU==tdV对图4-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为mr9.2ml=jmoU-lr.V-!.(4-8b)2 2m216

第 七 讲 6 成正比，即  = G （4-5） 式（4-5）为剪切胡克定律； G 称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。 对各向同性材料，弹性常数 E, ,G 三者有关系 ( + ) = 2 1 E G （4-6） 3．变形能与比能 若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图 4-8 所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧 面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至 dydz ，右侧面因错动沿  方向的位移由零增至 dx 。因 此剪力所作的功为  =  1 0  dW dydz ddx dW 等于单元体内储存的变形能 dU ，故剪切单元体的变形能为 dU dW ( d )dV 1 0 = =    （4-7） 其中  =  ( )。 以单元体的体积 dV 除 dU 得单位体积内的剪切变形能，即比能为  = = 1 0  d dV dU u 对图 4-8 所示线弹性情况，当剪应力  在剪切比例极限以内时，  = G ，有 2 2 2 1 2 2 1    G G u = = = （4-8a） 对图 4-8 所示线弹性关系（比例极限以内），有 dU tdV 2 1 = 对图 4-7b 所示受扭薄壁圆筒， 由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为 U = r V 2 1 = rtl l r r t m    2 2 2 1 2    m 2 1 = （4–8b）