内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第17讲 弯曲变形（Ⅰ）

材料力学教案第17讲教学方案弯曲变形（1）基本内中1.挠曲线。挠度与转角。2. 梁的刚度条件。容3．挠曲线的近似微分方程。4. 求弯曲变形的积分法

材 料 力 学 教 案 第 17 讲 教学方案 —— 弯曲变形（Ⅰ） 基 本 内 容 1. 挠曲线。挠度与转角。 2. 梁的刚度条件。 3. 挠曲线的近似微分方程。 4. 求弯曲变形的积分法

+七讲第教学1.梁的变形分析、挠曲线、挠度与转角的定义。目2：挠曲轴近似微分方程的建立的3．两次积分法求挠曲线方程、求指定截面的位移。4．求位移的例题分析。1.明确挠曲的连续、光滑的特点。重2.掌握在小变形情况下，挠度与转角之间的关系。点3．掌握利用小变形条件，推导出的挠曲线微分方程为近似难微分方程。点4．重点掌握在确定积分常数时，如何正确利用边界条件和连续条件。5．难点在于积分分段多时，积分常数的确定过于烦琐。本次教学计划学时：2学时。教课堂上应由工程中的弯曲实例引出问题，让学生了解在实际学安工程中，一方面要限制构件的变形，另一方面却利用构件的变形排来工作。讨论1.提出用哪些量去描述变形，这些量之间是否存在关系？2.求解变形通常用什么方法，怎样求？

第 十 七 讲 教 学 目 的 1. 梁的变形分析、挠曲线、挠度与转角的定义。 2． 挠曲轴近似微分方程的建立 3． 两次积分法求挠曲线方程、求指定截面的位移。 4． 求位移的例题分析。 重 点 、 难 点 1. 明确挠曲的连续、光滑的特点。 2．掌握在小变形情况下，挠度与转角之间的关系。 3．掌握利用小变形条件，推导出的挠曲线微分方程为近似 微分方程。 4． 重点掌握在确定积分常数时，如何正确利用边界条件和 连续条件。 5． 难点在于积分分段多时，积分常数的确定过于烦琐。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂上应由工程中的弯曲实例引出问题，让学生了解在实际 工程中，一方面要限制构件的变形，另一方面却利用构件的变形 来工作。讨论 1.提出用哪些量去描述变形，这些量之间是否存在 关系？2.求解变形通常用什么方法，怎样求？

材料力学教案第六章 弯曲变形s6-1挠度与转角梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为规度，用√表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用0表示。而0(x)=dh()，，可见确定梁的位移，关键是确定规曲线方程v(x)。dx图7-1梁的位移梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件[ ≤[>] [0] mx ≤[0] 式中的[]和[0]分别为梁的许用挑度和许用转角，可从有关设计手册中查得。$6-2挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：式（a）表明梁轴线上任一点的曲率Y。p(x)与该点处横截M(xM(x)面上的弯矩M(α)成正比，而与该截面的抗弯刚度EI成反比。如图7-2所示。d而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v(x)之间存图 7-2 微段聚的变形在下列关系：

材 料 力 学 教 案 第六章 弯曲变形 §6-1 挠度与转角 梁的刚度条件 梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。梁变形前后位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移，如图 7-1 所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移 是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用 v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角， 称为转角，用  表示。而 dx dv x x ( )  ( ) = ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程 v(x) 。 梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内， 即满足刚度条件 [ ] [ ] max max    v  v 式中的 [v] 和 [ ] 分别为梁的许用挠度和许用转角，可从 有关设计手册中查得。 §6-2 挠度曲线的近似微分方程 忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率 ( ) 1  x 与该点处横截 面上的弯矩 M (x) 成正比，而与该截面的抗弯刚度 EI 成 反比。如图 7-2 所示。 而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程 v(x) 之间存 在下列关系：

家++1M(x)(a)p(x)"ETdy1dx(b)()7p(x)(ax)将上式代入式（a)，得到d'M(x)dx?(c)[1+()]EI(dxdy小挠度条件下，=00M(x001-xC着尝的负值(图73b)，故式(d)左边(b)(a)图7-3微分方程正负与坐标系的关系的符号取正值dv_ M(x)(8-1)dx?EI式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。s6-3用积分法求弯曲变形将式（7-1）分别对x积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程：

第 十 七 讲 EI M x x ( ) ( ) 1 =  （a） 2 3 2 2 2 1 ( ) 1               +  dx dv dx d v  x （b） 将上式代入式（a），得到 EI M x dx dv dx d v ( ) 1 2 3 2 2 =               +  （c） 小挠度条件下， =   1 dx dv ，式（c）可简化为： EI M x dx d v ( ) 2 2  = （d） 在图 7-3 所示的坐标系中，正弯矩对 应着 2 2 dx d v 的正值（图 7-3a），负弯矩对应 着 2 2 dx d v 的负值（图 7-3b），故式（d）左边 的符号取正值 EI M x dx d v ( ) 2 2 = （8-1） 式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用 于线弹性范围内的平面弯曲问题。 §6-3 用积分法求弯曲变形 将式（7-1）分别对 x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程：

材料力学教索PPA10=0V(o)=V0-0(0=0图7-4梁的边界条件0()-- a+C(a)EIdx(a)= [[M()(b)dxdx + Cx + DEI其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。例6-1求图示简支梁的挠曲线方程，并求以和0mmuA+g例7-1图解：（1）求支座反力，列弯矩方程梁的支座反力和所选坐标系如图所示。因载荷在C处不连续，应分二段列出弯矩方程。AC段(0≤x≤)M,(x)= =qlxCB段(≤x≤1)M()--gx-9(x-2（2）列出挠曲线近似微分方程，并进行积分

材 料 力 学 教 案  = = dx + C EI M x dx dv x x ( ) ( )  ( ) （a） dxdx Cx D EI M x v x = + +  ( ) ( ) （b） 其中 C、D 为积分常数，由边界条件和连续条件确定。 对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式（a）和（b）中将仅 有两个积分常数，由梁的边界条件（即支座对梁的挠度和转角提供的限制）确定。两种典型 的边界条件如图 7-4 所示。 对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程需要分段描 述。对式（a）和（b）必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线 为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段 就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。 例 6-1 求图示简支梁的挠曲线方程，并求 max v 和 max  。 解：（1）求支座反力，列弯矩方程 梁的支座反力和所选坐标系如图所示。因载荷在 C 处不连续，应分二段列出弯矩方程。 AC 段 ( ) 2 0 l  x  M (x) qlx 8 1 1 = CB 段 ( x l) l   2 ( ) 2 2 2 2 1 8 1       = − − l M x qlx q x （2）列出挠曲线近似微分方程，并进行积分

讲A-o(≤xs y)(at)d?v2-11(≤x≤i)-(a2)272)0(a)=d11(bt)岁14+1[10.(a)= dh2=43-+C(b2)glrx-(g)=489*+Cx+D,(ct)2(g)=[1+C,x+Dqix9x-(c2)Ei48（3）确定积分常数根据连续条件X=处, 0,=02, Vi=V2求得C,=C,，D,=D,根据边界条件x=0, V=0, 求得D,=D, =07q13x=l, V, =0,求得C =C,=384EI将求得的4个积分常数代回(b）、(b,）、(c）、(c.)，求得两段梁的转角和挠度方程。0(0-[1-34](dt)0----(d2)-384913

第 十 七 讲 qlx dx EI d v 8 1 1 2 1 2 = ( ) 2 0 l  x  （a1）               = − − 2 2 2 2 2 2 1 8 1 1 l qlx q x dx EI d v ( x l) l   2 （a2） ( ) 1 1 2 1 16 1 1 qlx C dx EI dv  x = = + （b1） ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 6 1 16 1 1 qlx q x l C dx EI dv x +       = = − − （b2） ( ) 1 1 3 1 48 1 1 qlx C x D EI v x = + + （c1） ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 24 1 48 1 1 qlx q x l C x D EI v x + +       = − − （c2） （3）确定积分常数 根据连续条件 2 l x = 处， 1 = 2 ， 1 2 v = v 求得 C1 = C2 ， D1 = D2 根据边界条件 x = 0， v1 = 0 ，求得 D1 = D2 = 0 x = l ， v2 = 0 ，求得 EI ql C C 384 7 3 1 = 2 = − 将求得的 4 个积分常数代回 ( ) 1 b 、( ) 2 b 、( ) 1 c 、( ) 2 c ，求得两段梁的转角和挠度方程。 ( )       = − 2 3 1 384 7 16 1 1 qlx ql EI  x （d1） ( )          −      = − − 3 3 2 2 384 7 6 2 1 16 1 1 ql l qlx q x EI  x （d2）

才料力学教家1[1(n)=-E7[48943-(er)384913x2()=[1q(x-(e2)qbx3EI482110（4）求最大转角和最大挠度7q13（顺时针）将x=0代入式(d)，求得,=384EI9q13(逆时针）将x=1代入式(d,），求得9：=384EI9g13.: 0l* 384EI，发生在支座B处。ql3（顺时针）将x=代入式(d)，求得9。=-384EI故θ=0的截面位于CB段内，令θ,(x)=0，可解得挠度为最大值截面的位置，进而利用()求出最大挠度值。但对简支梁，通常以跨中截面的挠度近似作为最大度。Ma- A1-

材 料 力 学 教 案 ( )       = qlx − ql x EI v x 3 3 1 384 7 48 1 1 （e1） ( ) ( )       = − − − ql x l qlx q x EI v x 3 4 3 2 384 7 2 24 1 48 1 1 （e2） （4）求最大转角和最大挠度 将 x = 0 代入式 ( ) 1 d ，求得 EI ql A 384 7 3  = − （顺时针） 将 x = l 代入式 ( ) d2 ，求得 EI ql B 384 9 3  = （逆时针） EI ql 384 9 3 max  = ，发生在支座 B 处。 将 2 l x = 代入式 ( ) 1 d ，求得 EI ql c 384 3  = − （顺时针） 故  = 0 的截面位于 CB 段内，令  2 (x) = 0 ，可解得挠度为最大值截面的位置，进而利用 v (x) 2 求出最大挠度值。但对简支梁，通常以跨中截面的挠度近似作为最大挠度。 ( ) EI ql l v v 768 5 2 4 max  =