内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第27讲 压杆稳定（Ⅱ）

材料力学教案第27讲教学方案压杆稳定（II）/基本内容1.非细长杆的经验公式;2.临界应力总图3.压杆的稳定校核；4.安全系数法与稳定系数法；5．提高压杆稳定性的措施

材 料 力 学 教 案 第 27 讲 教学方案 —— 压杆稳定（Ⅱ） 基 本 内 容 1.非细长杆的经验公式;2.临界应力总图; 3.压杆的稳定校核; 4. 安全系数法与稳定系数法; 5. 提高压杆稳定性的措施

A+七茶教学1.明确欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的;目的2.了解非细长杆的经验公式的导出方法；3.掌握临界应力总图的概念及其应用;4.说明提高压杆稳定性的每一项措施都是结合欧拉公式给出的。对每一措施给出具体的示例。1.重点掌握欧拉公式只有在弹性范围。重点2.掌握提高压杆稳定性的每一项措施的理论根据。难3．掌握细长杆、中长杆、短粗杆的划分界限。点4。难点是安全系数法与稳定系数法的应用。本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：教学1.将细长压杆由低碳钢材料改变为中碳钢、高碳钢或合金钢安会提高临界载荷吗？为什么？简单复习钢材的力学性能。排2.截面的合理设计在梁的问题中已经讲过，主要是增加惯性矩这里要考虑对不同坐标轴的惯性矩，给出思考题，复习一遍3.加强约束，即减小长度系数μ；减小长度，可加中间支撑分别给出实例

第 二 十 七 讲 教 学 目 的 1. 明确欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的; 2. 了解非细长杆的经验公式的导出方法; 3. 掌握临界应力总图的概念及其应用; 4. 说明提高压杆稳定性的每一项措施都是结合欧拉公式给出 的。对每一措施给出具体的示例。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握欧拉公式只有在弹性范围。 2. 掌握提高压杆稳定性的每一项措施的理论根据。 3. 掌握细长杆、中长杆、短粗杆的划分界限。 4. 难点是安全系数法与稳定系数法的应用。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1.将细长压杆由低碳钢材料改变为中碳钢、高碳钢或合金钢， 会提高临界载荷吗？为什么? 简单复习钢材的力学性能。 2.截面的合理设计在梁的问题中已经讲过，主要是增加惯性 矩,这里要考虑对不同坐标轴的惯性矩,给出思考题,复习一遍。 3.加强约束，即减小长度系数  ；减小长度，可加中间支撑； 分别给出实例

材料力学教案$9-4欧拉公式的适用范围如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用。表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：Pa元EI元EP_元E(15-3)dr2-2A(ul)"A(μl)?式中允称为柔度，i为截面的惯性半径，即EE(15-4)i=NA式中I为截面的最小形心主轴惯性矩，A为截面面积。柔度元又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。柔度入在稳定计算中是个非常重要的量，根据入所处的范围，可以把压杆分为三类：（1）细长杆（≥）当临界应力小于或等于材料的比例极限，时，即元ECar≤aA压杆发生弹性失稳。若令E(15-5)p=op则入≥入，时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量E和比例极限α，各不相同，入，的数值亦不相同。例如A3钢，E=210GPa，，=200MPa，用式（15-5）可算得入，=102。（2）中长杆（≤≤）这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：o.=a-ba(15-6)

材 料 力 学 教 案 §9-4 欧拉公式的适用范围 如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹 性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。 压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用  cr 表示。 压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为： 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )        E l Ei l A EI A Pcr cr = = = = （15-3） 式中  称为柔度， i 为截面的惯性半径，即 i l  = ， A I i = （15-4） 式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。 柔度  又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状 对临界力的影响。柔度  在稳定计算中是个非常重要的量，根据  所处的范围，可以把压 杆分为三类： （1）细长杆（    p ） 当临界应力小于或等于材料的比例极限  p 时，即 cr p E     =  2 2 压杆发生弹性失稳。若令 p p E    2 = （15-5） 则    p 时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量 Ｅ和比例极限  p 各不相同，  p 的数值亦不相同。例如 A3 钢， E = 210GPa ， = 200MPa  p ，用式（15-5）可算得  p = 102 。 （2）中长杆（ s     p ） 这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑 性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：  cr = a − b （15-6）

+七讲式中a、b为与材料性能有关的常数。当c。=c,时，其相应的柔度2,为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：A=a-o.例如A3钢，，=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，代入上式算得入,=61.6。（3）粗短杆（≤）这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故0.=0,Ccl9=0上述三类压杆临界应力与元的关系，可画出OECr=a-baC。－元曲线如图15-7所示。该图称为压杆的临界应Of力图。Gr=年5需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式=α -b,（α, 和b, 也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。图15-1压杆的临界应力图常用材料的a、b和~值表9-1材料pa(MPa)b(MPa)3041.12102A3钢,=235MPa4612.56895优质碳钢，=306MPa332.21.4540铸铁木材28.70.190

第 二 十 七 讲 式中 a、b 为与材料性能有关的常数。当  cr =  s 时，其相应的柔度 s 为中长杆柔度 的下限，据式（15-6）不难求得： b a s s   − = 例如Ａ3 钢，  s = 235MPa，a = 304MPa，b =1.12MPa ，代入上式算得 s = 61.6。 （3）粗短杆（   s ） 这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故  cr =  s 上述三类压杆临界应力与  的关系，可画出  cr −  曲线如图 15-7 所示。该图称为压杆的临界应 力图。 需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工 程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力， 如抛物线公式 2  cr = a1 − b1 （ 1 a 和 1 b 也是和材料 有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。 表 9-1 常用材料的 a、b 和  p 值 材 料 a(MPa) b(MPa)  p A3 钢 = 235MPa  s 304 1.12 102 优质碳钢 = 306MPa  s 461 2.568 95 铸 铁 332.2 1.454 70 木 材 28.7 0.190 80

材料力学教案S9-5压杆的稳定计算工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。1.安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为(15-7)n-≥n式中P为压杆的工作载荷，P。是压杆的临界载荷，n，是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。n，值一般比强度安全系数要大些，并且入越大，n，值也越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。2.稳定系数法压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为α-P≤[0].(15-8)A，它总式中的P为压杆的工作载荷，A为横截面面积，[o]，为稳定许用应力。[o]，=nst是小于强度许用应力[0]。于是式（15-8）又可表达为Pa:≤0[0](15-9)A其中β称为稳定系数，它由下式确定：[o]_.n_a.n<1@：[o]o式中α,为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图15-7）可看出，。<α，且n<nst故β为小于1的系数，也是柔度的函数。表92所列为几种常用工程材料的－对应数值。对于柔度为表中两相邻入值之间的β，可由直线内插法求得。由于考虑了杆件的初曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数。在土建工程中，一般按稳定系数法进行稳定计算还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即

材 料 力 学 教 案 §9-5 压杆的稳定计算 工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。 1．安全系数法 为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为 st cr n P P n =  （15-7） 式中 P 为压杆的工作载荷， Pcr 是压杆的临界载荷， st n 是稳定安全系数。由于压杆存在初曲 率和载荷偏心等不利因素的影响。 st n 值一般比强度安全系数要大些，并且  越大， st n 值也 越大。具体取值可从有关设计手册中查到。在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况 复杂，一般都采用安全系数法进行稳定计算。 2．稳定系数法 压杆的稳定条件有时用应力的形式表达为 st A P  =  [ ] （15-8） 式中的 P 为压杆的工作载荷， A 为横截面面积， st [] 为稳定许用应力。 st cr st n  [] = ，它总 是小于强度许用应力 [ ] 。于是式（15-8）又可表达为  =  [ ] A P （15-9） 其中  称为稳定系数，它由下式确定： 1 [ ] [ ] = =  =   u st cr st u st cr n n n n        式中  u 为强度计算中的危险应力，由临界应力图（图 15-7）可看出，  cr   u ，且 n  nst ， 故  为小于 1 的系数，  也是柔度  的函数。表 9.2 所列为几种常用工程材料的  −  对应 数值。对于柔度为表中两相邻  值之间的  ，可由直线内插法求得。由于考虑了杆件的初 曲率和载荷偏心的影响，即使对于粗短杆，仍应在许用应力中考虑稳定系数  。在土建工程 中，一般按稳定系数法进行稳定计算。 还应指出，在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被削弱的情况，如杆上有开孔、 切糟等。由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的削弱对整 体变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。但强度计算是根据危险点的应力进 行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，即

讲第+七P≤(0](15-10)a=An式中的 A,是横截面的净面积。表 9-2压杆的稳定系数-43号钢铸铁木材16Mn 钢1.0001.0001.001.000100.9950.9930.970.991200.9810.9730.910.97300.9580.9400.810.93400.9270.8950.690.87500.8880.8400.570.80600.440.8420.710.776700.7890.340.600.7050.260.48800.6270.731900.6690.200.380.5460.6041000.4620.160.311100.5360.3840.261200.4660.3250.221300.4010.2790.181400.3490.2420.161500.3060.140.2131600.2720.1880.121700.2430.110.1681800.2180.100.1511900.1970.1360.092000.1800.1240.08

第 二 十 七 讲  =  [ ] An P （15-10） 式中的 An 是横截面的净面积。 表 9-2 压杆的稳定系数 i l  =  3 号钢 16Mn 钢 铸 铁 木 材 0 10 ]20 1.000 0.995 0.981 1.000 0.993 0.973 1.00 0.97 0.91 1.00 0.99 0.97 30 40 0.958 0.927 0.940 0.895 0.81 0.69 0.93 0.87 50 60 0.888 0.842 0.840 0.776 0.57 0.44 0.80 0.71 70 80 0.789 0.731 0.705 0.627 0.34 0.26 0.60 0.48 90 100 0.669 0.604 0.546 0.462 0.20 0.16 0.38 0.31 110 120 0.536 0.466 0.384 0.325 0.26 0.22 130 140 0.401 0.349 0.279 0.242 0.18 0.16 150 160 0.306 0.272 0.213 0.188 0.14 0.12 170 180 0.243 0.218 0.168 0.151 0.11 0.10 190 200 0.197 0.180 0.136 0.124 0.09 0.08

学教案才料s9-6提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度元减小时，则临界应力提高，而元=丝，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度，选用合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下1.减小压杆的长度减小压杆的长度，可使降低，从而提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。2.选择合理的截面形状压杆的承载能力取决于最小的惯性矩1，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对OO北O两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等是压杆合理截面的基本原则。因此，薄壁圆管（图15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图15-8b）(b)(d)是理想截面，它们各个方向的惯性矩相同，且图15-8压杆的合理裁面形状惯性矩比同等面积的实心杆大得多。但这种薄壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常用几个型钢，通过缓板组成一个组合截面，如图（15-8c、d)所示。并选用合适的距离a,使1.=ly，这样可大大的提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控制两缀板之间的长度1，以保证单个型钢的局部稳定性3.增加支承的刚性对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固IA定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因此，杆P端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数AVL就越小，图15-9所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。4.合理选用材料图15-9增加支承刚度的措施对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的E基本相同，所

材 料 力 学 教 案 §9-6 提高压杆承载能力的措施 压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度  减小时，则临 界应力提高，而 i l  = ，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度，选用 合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。现分述如下： 1．减小压杆的长度 减小压杆的长度，可使  降低，从而提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的 长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成 支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支 点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的 4 倍。 2．选择合理的截面形状 压杆的承载能力取决于最小的惯性矩 I， 当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对 两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等， 是压杆合理截面的基本原则。因此，薄壁圆管 （图 15-8a）、正方形薄壁箱形截面（图 15-8b） 是理想截面，它们各个方向的惯性矩相同，且 惯性矩比同等面积的实心杆大得多。但这种薄 壁杆的壁厚不能过薄，否则会出现局部失稳现象。对于型钢截面（工字钢、槽钢、角钢等），由 于它们的两个形心主轴惯性矩相差较大，为了提高这类型钢截面压杆的承载能力，工程实际中常 用几个型钢，通过缀板组成一个组合截面，如图（15-8c、d）所示。并选用合适的距离 a，使 z Y I = I ， 这样可大大的提高压杆的承载能力。但设计这种组合截面杆时，应注意控制两缀板之间的长度 1 l ， 以保证单个型钢的局部稳定性。 3．增加支承的刚性 对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固 定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因 此，杆 端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数 就越小，图 15-9 所示压杆，若增大杆右端 止推轴承的长度 a，就加强了约束的刚性。 4．合理选用材料 对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模 量 E 成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的 E 基本相同，所

以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。对中柔度杆，由临界应力图可以看到，材料的屈服极限α，和比例极限α越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载能力。至于小柔度杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度高，其承载能力的提高是显然的。最后尚需指出，对于压杆，除了可以采取上述几方面的措施以提高其承载能力外，在可能的条件下，还可以从结构方面采取相应的措施。例如，将结构中的压杆转换成拉杆，这样，就可以从根本上避免失稳问题，以图 15-10所示的托架为例，在不影响结构使用的条件下，若图a所示结构改换成图 b 所示结构，则 AB 杆由承受压力变为承受拉力，从而避免了压杆的失1a12(b)稳问题。图15-10压杆转换成拉杆

第 二 十 七 讲 以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。对中柔度杆，由临界应力图可以看到，材料 的屈服极限  s 和比例极限  p 越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载 能力。至于小柔度杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度高，其承载能力的提高是显然的。 最后尚需指出，对于压杆，除了可以采取上述几方面的措施以提高其承载能力外，在可能的条件 下，还可以从结构方面采取相应的措 施。例如，将结构中的压杆转换成拉杆， 这样，就可以从根本上避免失稳问题， 以图 15-10 所示的托架为例，在不影响 结构使用的条件下，若图 a 所示结构改 换成图 b 所示结构，则 AB 杆由承受压 力变为承受拉力，从而避免了压杆的失 稳问题