内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第34讲 能量法（Ⅲ）

材料力学教案第34讲教学方案能量法（川）基本内1.图乘法。容教1.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。学目2掌握图乘法的基本原理与推导过程的掌握图乘法的应用条件。34.能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。5．了解并掌握图乘法的计算与应用技巧：重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。1.重点2重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。难3.要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。点难点是如何正确理解虚功原理。4.5．在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。本次教学计划学时：2学时。教学安排课堂讨论：1．单位载荷法与莫尔积分之间的关系2.虚位移与虚功的基本概念。3.如何理解莫尔积分的另一种推导方法。4.莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？

材 料 力 学 教 案 第 34 讲 教学方案 —— 能量法（Ⅲ） 基 本 内 容 1. 图乘法。 教 学 目 的 1. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 掌握图乘法的基本原理与推导过程。 3. 掌握图乘法的应用条件。 4. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 5． 了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 3. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 4. 难点是如何正确理解虚功原理。 5． 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 2. 虚位移与虚功的基本概念。 3. 如何理解莫尔积分的另一种推导方法。 4．莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？

讲第+

第 三 十 四 讲

1才料力学教$13-7单位载荷法、莫尔al积分laA单位裁荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图11-18刚架A点a-a方向的位移△，可将该系统（图11-18a）真实位移作为虚位，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b)，(b)窗 11-18 单位载荷法则应用虚功原理有：1.= [N(x)d()+[M(x)d0 +[,2(x)da(13-23)其中，N(x)，M(x)，O(x)是单位力系统的内力，而d(△I)，d 、dΛ是原系统的变形，现在被看作是虚变形△是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。对于以拉压杆件，则只保留（13-23）式的第一项：(13-24)= [N(x)d()若杆的内力N(x)=常数，则上式改为：A=N[=N对于有n根杆组成的桁架，则有：A-ZNA,(13-25)i=l对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：A=JM(x)do(13-26)仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩T(x)，以原结构引起微段两端截面相对扭转角dp为虚位移，则：A= [T(x)dp(13-27)以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。若结构材料是线弹性的，则有：

材 料 力 学 教 案 §13-7 单位载荷法、莫尔 积分 单位载荷法：用于求结构上某一点某 方向上位移的方法。如要求图 11-18 刚架 A 点 a-a 方向的位移△，可将该系统（图 11-18a）真实位移作为虚位移，而将单位 力（广义力）作用于同一结构上 A 点 a-a 方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b）, 则应用虚功原理有：     =  + + l l l 1 N(x)d( l) M(x)d Q(x)d （13-23） 其中， N(x)， M (x) ，Q(x) 是单位力系统的内力，而 d(△l)，dθ、dλ是原系统的变形， 现在被看作是虚变形；△是原系统上 A 点沿 a-a 方向的真实位移。 对于以拉压杆件，则只保留（13-23）式的第一项：   =  l N(x)d( l) （13-24） 若杆的内力 N(x) =常数，则上式改为： N d l N l l  =  =   对于有 n 根杆组成的桁架，则有： =  =  n i i Ni l 1 （13-25） 对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：   = l M(x)d （13-26） 仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭 矩 T (x) ，以原结构引起微段两端截面相对扭转角 d 为虚位移，则：   = l T(x)d （13-27） 以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。 若结构材料是线弹性的，则有：

讲AArALBAACh图11-19求两点相对移位d(dv))d-d-ddo=EIdx(dx)dx2N,.4l, =(EA),do=TdrGI,则式（13-25）、（13-26）、（13-27）分别化为4=[M(n)M(x)dr(13-28)EIA=ZNN(13-29)台(EA),4=[7(07()dt(13-30)GI,这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移△,+△B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b)，然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的△=1·△+1-AB，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷Pi，P，作用下的位移△（图11-20a），可在C点假想先只有单位力Po=1作用（图11-20b)，由应变能公式（13-12）（对线弹性材料）得Po作用的应变能：PLP2PoTi金人图11-20莫尔积分另一推导方法

第 三 十 四 讲 dx dx dv dx d d        = dx EI M x dx dx d v ( ) 2 2 = = i i i i EA N l l ( )  = dx GI T x d   ( ) = 则式（13-25）、（13-26）、（13-27）分别化为  = l EI M (x)M (x)dx  （13-28） i n i i i i l EA N N =  = 1 ( ) （13-29）  = l GI T x T x dx   ( ) ( ) （13-30） 这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。 当需要求两点的相对位移时，如图 11-19a 所示截面 A 与 B 的相对位移△A+△B，则只要 在 A，B 两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图 11-19b），然后用单位载荷法计算， 即可求得相对位移，因为这时的  =1A +1B ，即是 A，B 两点的相对位移。同理，如 需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。 莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上 C 点在载荷 P1，P2，.作用下的位移△（图 11-20a），可在 C 点假想先只有单位力 P0=1 作用（图 11-20b），由应变能公式（13-12）（对 线弹性材料）得 P0 作用的应变能：

材料力学教案U=M(a)adr(13-31)2EIM°(x)dx此后将P，P2，作用于梁（图11-20c)，由于Pi，P2，作用的变形能为U=2EI这时，梁的总变形能为：U, =U+U+1-A其中1.△是因为已作用在梁上的单位力在P，P，…作用后引起的位移△上所做的功。如果将P，Pa，与Po=1共同作用（图11-20c)，则梁内弯矩为M(x)+M(x)，此时应变能为：U.- i()+Mla2EI此两最后状态的应变能相等，故有：lM() + M(ol daU+U+1·A-2EI比较以上诸式，不难得到：4=J M(wM(na(13-32)此即（13-28)。例题13-8图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力图11-21简单桁架应变关系为：=C。试求结点B的垂直位移△v解：由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力α1、应变8,及伸长N,分别为：p2P219g.=,N, =,61CA'siacosa""CA'sin'a”Asinαcosα同样可求得BE杆的应力2，应变6,及伸长N,分别为p?cos?αP?Icos"αPcosαa92,N,8""CA"sin'aAsin α"C"A’ sin"α

材 料 力 学 教 案 ( )  = EI M x dx U 2 ( ) 2 （13-31） 此后将 P1，P2，.作用于梁（图 11-20c），由于 P1，P2，.作用的变形能为  = l EI M x dx U 2 ( ) 2 。 这时，梁的总变形能为： U1 = U +U +1  其中 1  是因为已作用在梁上的单位力在 P1，P2，.作用后引起的位移△上所做的功。 如果将 P1，P2，.与 P0=1 共同作用（图 11-20c），则梁内弯矩为 M (x) + M (x) ，此时 应变能为：   dx EI M x M x U l + = 2 ( ) ( ) 2 1 此两最后状态的应变能相等，故有： U +U +1   dx EI M x M x l + = 2 ( ) ( ) 2 比较以上诸式，不难得到：  = l EI M (x)M (x)dx  （13-32） 此即（13-28）。 例题 13-8 图 11-21 简单桁架，两杆截面积为 A，材料应力— 应变关系为： 2 1  = C 。试求结点 B 的垂直位移△V。 解：由结点 B 的平衡条件可解得 BD 杆的应力  1 、应变 1  及 伸长 1 l 分别为：   sin 1 A P = ,    2 2 2 2 2 2 1 1 C A sin P C = = ,    cos sin cos 2 2 2 2 1 1 C A l P l l =  = 同样可求得 BE 杆的应力  2 ，应变 2  及伸长 2 l 分别为：    sin cos 2 A P = ,     2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos C A P C = = ,   2 2 2 2 2 2 sin cos C A P l l =

设B点作用有单位力，则与单位力相应的BD、BE内的轴力分别为：cosaNt=-sinαsinα由单位载荷法莫尔积分，得B点的垂直位移为：p211+costα4r=2N,4, = N14I +N24l, ="CA sinacosa若材料是线弹性的，弹性模量为E，则有：Plag1=8=E"EAsmα4/ =AsinαcosαEAsinαcosαPcosaoal=16Plcosa092=,6,:AsinαEEAsinαEAsinα而单位载荷引起的内力不变，故得：4-ZN_P[ cos’αl_ Pl sin'α+cos’α台(EA),EAsinαcosαsinαEAsinαcosα$13-8图形互乘法莫尔积分（13-28）中的EI（或GI。）为常量，可提到积分号外，只需计算积分：[M(x)M(x)dxM(a)，M(α)如有一个是x的线性函数，即可采用图乘法简化积分计算。图11-22表示直杆AB的M(x)图与M(x)图，其中M(x)可用直线式表达：M(x) = x tan α则莫尔积分可写成：MoS[,M(x)M(x)dx = tanαJ xM(x)dxdx右边积分中，M(x)dx为微面积，整个积分为M(x)所围面积对y轴的静矩，若x。为M(x)面积的形心到y轴WO的距离，则：JxM(x)dx= x,0图11-22图法于是：JM(x)M(x)dx= tanα: x 0=o.M.(13-33)

第 三 十 四 讲 设 B 点作用有单位力，则与单位力相应的 BD、BE 内的轴力分别为： sin  1 N1 = ，   sin cos N 2 = 由单位载荷法莫尔积分，得 B 点的垂直位移为：        sin cos 1 cos 3 4 2 2 2 2 2 1 1 2 1 + =  = + = = C A P l N l N l N l i i i V 若材料是线弹性的，弹性模量为 E，则有：   sin 1 A P = ,    sin 1 EA P E = = ,    cos sin cos 1 1 EA l Pl l = =    sin cos 2 A P = ,     sin cos 2 EA P E = = ,    sin cos 2 1 EA Pl l = l = 而单位载荷引起的内力不变，故得：          sin cos sin cos sin cos sin cos 1 ( ) 2 2 3 2 2 2 1 +  =      =  = + = EA Pl EA Pl EA N N l n i i i i i V 。 §13-8 图形互乘法 莫尔积分（13-28）中的 EI（或 GIρ）为常量，可提到积分号外，只需计算积分： l M(x)M(x)dx M (x) , M (x) 如有一个是 x 的线性函数，即可采用图乘法简化积分计算。 图 11-22 表示直杆 AB 的 M (x) 图与 M (x) 图，其中 M (x) 可用直线式表达： M (x) = x tan 则莫尔积分可写成： M x M x dx xM x dx l l ( ) ( ) = tan ( ) 右边积分中，M(x)dx 为微面积，整个积分为 M(x)所围 面积ω对 y 轴的静矩，若 xc为 M(x)面积的形心到 y 轴 的距离，则：  xM(x)dx = xc 于是： c l  M(x)M(x)dx = tan  xc  =  M （13-33）

材料力学教案其中M。是M(x)图中与M(x)图的形心C所对应的纵坐标，故（13-32）可写成[M()M() d =.M.(13-34)EI这就是计算莫尔积分的图乘法常用的几种图形的面积及形心位置计算公式见图11-23。使用（13-34）时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图（6）二次地物线一店（）三角形11-23 的标准图形叠加求和。有时 M(x)为连续光滑曲线，而M(x）图为折线，则应以折线的转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。例题13-9均布载荷作用下简支梁如图(d)#次抛物线（)二次抛物线0一十h11-24，EI为已知常量，试求跨度中点C的挠遇11-23常用图形的参度f.。解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图b），求中点挠度时，单位载荷作用于中点，故单位载荷BG的弯矩图为一折线（图d)。用图乘法时应分为两段，以a:M(x)折点为界。AC、CB两段弯矩图的面积1、2为：g2.g125249101 =0, C8①1、の2的形心ci、2所对应的M(x)图的纵坐标为：0AaMe=Me-SL号MC4MCd按图乘法，跨中挠度为：图11-24均布载荷简支梁1.-e+e-2%-EI2432384EIEY

材 料 力 学 教 案 其中 M c 是 M (x) 图中与 M (x) 图的形心 C 所对应的纵坐标，故（13-32）可写成 EI M dx EI M x M x c l  =  ( ) ( )  （13-34） 这就是计算莫尔积分的图乘法。 常用的几种图形的面积及形心位置计算 公式见图 11-23。 使用（13-34）时，为了计算方便，可将 弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图 11-23 的标准图形叠加求和。有时 M(x)为连续 光滑曲线，而 M (x) 图为折线，则应以折线的 转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图 乘法，然后求和。 例题 13-9 均布载荷作用下简支梁如图 11-24，EI 为已知常量，试求跨度中点 C 的挠 度 fc。 解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图 b），求中点挠度时，单位载荷作用于中点，故单位载荷 的弯矩图为一折线（图 d）。用图乘法时应分为两段，以 M (x) 折点为界。AC、CB 两段弯矩图的面积ω1、ω2为： 3 2 1 2 24 1 3 8 2 2 ql ql l  = =   = ω1、ω2的形心 c1、 c2 所对应的 M (x) 图的纵坐标为： l l M C M C 32 5 8 4 5 1 = 2 =  = 按图乘法，跨中挠度为： EI M EI M f C C c 1 1  2 2 = + 384 5 32 5 24 1 2 3 4 ql l ql EI =   =