内蒙古科技大学：《材料力学》课程教学资源（习题辅导）压杆稳定

第十章压杆稳定第十章压杆稳定10.1图示为支撑情况不同的圆截面细长杆,各杆直径和材料相同,哪个杆的临界力最大。(d)解：在材料相同、截面相同的情况下，相当长度最小的压杆的临界力最大。(a)=2./=21(b) u =1-1.3 =1.31(a)(b)c)(d)(c)μl = 0.7-1.71 =1.191（d）川=0.5.21=1，临界力最大。10.2图示为支撑情况不同的两个细长杆，两个杆的长度和材料相同,为使两个压杆的临界力相等，b2与bi之比应为多少？（J2：1）h=2bh2=21R(a)(b)解：Fo1='El(1)74元'El,(2)Fa=(2令(1)=(2)4=4)：答=4婴212b, = V2b

第十章 压杆稳定 45 第十章 压杆稳定 10.1 图示为支撑情况不同的圆截面细长杆,各杆直径和材料相同,哪个杆的临界力最大。 （d） 解：在材料相同、截面相同的情况下， 相当长度最小的压杆的临界力最大。 （a） l = 2 l = 2l （b） l = 11.3l = 1.3l （c） l = 0.7 1.7l = 1.19l （d） l = 0.5 2l = l ，临界力最大。 10.2 图示为支撑情况不同的两个细长杆, 两个杆的长度和材料相同,为使两个压杆的临界 力相等 , b2 与 b1 之比应为多少?.( 2 : 1 ) 解： 2 1 2 1 l EI Fcr  = （1） 2 2 2 2 (2l) EI Fcr  = （2） 令（1）=（2）： 2 1 4 1 4 2 2 1 2 12 8 4 12 8 4 b b b b I I = = : = l ( a ) 1.3l ( b ) 1.7l ( c ) 2l ( d ) l ( a ) ( b ) l h1=2b1 b1 b2 h2=2b2

第十章压杆稳定10.3铰接结构ABC由截面和材料相同的细长杆组成，若由于杆件在ABC平面内失稳而引起破坏，试确定荷载 F为最大时(两个杆同时失稳时)的 (0<0<元/2)角。(0-arctan(1/3)=18.44°)解：元EI=Fcose(1)For(21,)2元EIFsine(2)Far2"(21,)(1)2=(lsin30~) =tano=(2)cos30°)1,@ = arctan(1/3)10.4图示压杆，型号为20a工字钢，在xo=平面内为两端固定，在xoy平面内为一端固定一端自由，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限op=200MPa，试求此压杆的临界力，(Fe= 402.2kN)解：(1)柔度计算查表知：+=81.5mm,i, ==21.1mm,A=3558mmi=FAt-1. -4 --05=-60主2=opb0.51 _2000 94.780(2)xoz平面内失稳：2,=21.1i为中柔度杆，。=α-ba,=197.8MPa,F。=α。A=704kN(2)_21 _ 00 = 98.16(2)xoy平面内失稳：Mz=81.511为中柔度杆，。=α-b2=194.1MPa,F。=。A=690kN

46 第十章 压杆稳定 10.3 铰接结构 ABC 由截面和材料相同的细长杆组成，若由于杆件在 ABC 平面内失稳而 引起破坏，试确定荷载 F 为最大时(两个杆同时失稳时)的 θ (0＜θ＜π/2)角。(θ=arctan (1/3)=18.44°) 解：   F cos l EI Fcr = = 2 1 2 1 (2 ) （1）   F sin l EI Fcr = = 2 2 2 2 (2 ) （2） (1/3) : ( ) (2) (1) arctan l cos l sin l l tan = = = =   3 1 30 30 2 2 2 2 1   10.4 图示压杆，型号为 20a 工字钢，在 xoz 平面内为两端固定，在 xoy 平面内为一端固定， 一端自由，材料的弹性模量 E = 200GPa，比例极限 σp= 200MPa ，试求此压杆的临界力。 (Fc r= 402.2kN ) 解：(1)柔度计算 查表知： 100 60 81 5 21 1 2 2 = − = = = = = = = = = b a E , E . A I . i A I i s p y y z z      p 0 s 2 mm, mm, A 3558mm （1） (2)xoz 平面内失稳： 94 78 21 1 0 5 2000 . i . . l y  y = = = 为中柔度杆，  cr = a − b y = 197.8MPa, Fcr =  cr A = 704kN （2） (2)xoy 平面内失稳： 98 16 81 5 2 8000 . i . l Z Z = = = 为中柔度杆，  cr = a − bz =194.1MPa, Fcr =  cr A = 690kN 4m x F O z z y 30° F θ 90° A C B

第十章压杆稳定10.5结构如图，二杆的直径均为d=20mm，材料相同，材料的弹性模量E=210GPa，比例极限ap=200MPa，届服极限,=240MPa，强度安全系数rF2，规定的稳定安全系数 ns=-2.5，试校核结构是否安全。(Per=45.2kN,压杆安全,拉杆a=67.52MPa，安全)解：（1）受力分析：AN杆受拉力FNI=1.414F=21.21KnKBC杆受压力FN2=F=15KnFNI(2）强度计算：[0] = =120MPanFM_ 4.21.1-103=67.5MPans47.70e220满足稳定性条件。10.6图示二圆截面压杆的长度、直径和材料均相同，已知/=1m，d=40mm，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限gp=200MPa，屈服极限o,=240MPa，直线经验公，Gg304-1.122（MPa)，试求二压杆的临界力。解：参考题五：元E=100,%=15-a-0’E= 602bVop，元=1-100-4=-100≥(a) i=2,400010=197MPaF。=0=247.6k(b)q=1002元=_0.7-1000.4(b) i==70≥元40.= 303-1.121 = 225.6MPa, F,=Q.A= 283.5kN

第十章 压杆稳定 47 10.5 结构如图，二杆的直径均为 d=20mm，材料相同，材料的弹性模量 E = 210GPa， 比 例极限 σP = 200MPa ，屈服极限 σs = 240MPa ，强度安全系数 n=2 ，规定的稳定安全系 数 nst=2.5 ，试校核结构是否安全。(Pcr=45.2kN,压杆安全,拉杆 σ = 67.52MPa, 安全) 解：(1) 受力分析： AN 杆受拉力 FN1=1.414F=21.21Kn BC 杆受压力 FN2=F=15Kn (2) 强度计算： MPa [ ] MPa [ ] [ ] MPa s         =     = = =     = = = = 47 7 20 4 15 10 67 5 20 4 21 1 10 120 2 3 2 2 2 3 1 1 . A F . . A F n N N ,强度够; (3) 稳定性分析： p p 0 s          =    = = = − = = = = 120 20 1 600 4 100 60 2 2 i l b a E , E s p       st c cr cr . n . . n . E = = =  = = 3 0 47 7 143 9 143 9 2 2 2      MPa 满足稳定性条件. 10.6 图示二圆截面压杆的长度、直径和材料均相同，已知 l = 1m，d = 40mm，材料的弹 性模量 E = 200GPa， 比例极限 σP = 200MPa ，屈服极限 σs = 240MPa，直线经验公， σcr= 304-1.12λ (MPa)，试求二压杆的临界力。 解: 参考题五: , F A . k N E i l , d i b a E , E cr cr cr s p 197 247 6 100 200 10 100 40 1 1000 4 4 100 60 2 2 3 2 2 2 2 = = =   = = =    = = = = − = = = =               MPa (a) p 0 s . . , F A . k N . i l , d i cr 303 1 12 225 6 cr cr 283 5 70 40 0 7 1000 4 4 0 = − = = = =    = = =       MPa (b) l l ( b ) ( a ) F=15kN 600 C B A 45° FN1 FN2

第十章压杆稳定10.7材料相同的两个细长压杆皆为一端固定一端自由，每个杆各轴向平面的约束相同两杆的横截面如图所示，矩形截面杆长为1，圆形截面杆长为0.81，试确定哪根杆临界应力小，哪根杆临界力小。[α 第=3.464(ul/d)>入m=3.2(u/d)，矩形截面杆临界应力小，Fer,=0.1E(元d/μl)>Perm=0.0767E(元P/ul)?，圆形截面杆临界力小)元E元EI解：对细长杆，α。1F(ul)RPdLdlL.[(1.2d)-d3=3.4644矩形：计21.2d22/312dnd44(0.8) =3.2 片a圆形：1=-64i：：矩形截面杆临界应力小。-"E (12d)=0.1"d元"E(nd)=0.0772"Ed*Far.r=>Farc=12(1)264(0.81)211210.8图中两压杆，一杆为正方形截面，一杆为圆形截面，a=3cm,d=4cm.两压杆的材料相同，材料的弹性模量E=200GPa比例极限op=200MPa，屈服极限os=240MPa,直线经验公式ac=304-1.12(MPa)，试求结构失稳时的竖直外力 F.。（F=213kN)解：（1）受力分析：2/3FV2V3F0.732F,FN2= 0.896FFNI1+V31+ V3（2）稳定性分析：PE_-100. =1-0E.30°=602=Va.3m-4-51004-163 120/(2/3)Fu=0a-4: 0.896F-=F=742kN2-412100-200>个,401Fuz=0m2-4:0.732F=.= F, = 47.6kN4取[F]-F2=47.6kN

48 第十章 压杆稳定 10.7 材料相同的两个细长压杆皆为一端固定,一端自由，每个杆各轴向平面的约束相同, 两杆的横截面如图所示, 矩形截面杆长为 l，圆形截面杆长为 0.8l，试确定哪根杆临界应 力小，哪根杆临界力小。[ λ 矩=3.464(μl/d)＞ λ 圆=3.2(μl/d), 矩形截面杆临界应力小, Fcr 矩 =0.1E (π d 2 /μl) 2＞Pcr 圆= 0.0767E (π d 2 /μl) 2 ，圆形截面杆临界力小] 解: 对细长杆, 2 2 2 2 ( ) , l EI F E cr cr      = = 矩形: d l . i l , d . d . d d A I i r r    3 464 1 2 2 3 1 12 1 2 2 3  = = =  = = ( ) r 圆形: d l . i . l , d d d A I i c r      3 2 0 8 4 4 64 2 4 = =  = = = ( ) c 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 0 1 0 077 1 2 l Ed . l E d F l Ed . l E . d Fcr r cr C r c        = =  = =   12( ) 64(0.8 ) （ ） （ ） 矩形截面杆临界应力小。 ， ，  10.8 图中两压杆, 一杆为正方形截面，一杆为圆形截面, a=3cm,d=4cm.两压杆的材料相同, 材料的弹性模量 E = 200GPa, 比例极限 σp = 200MPa , 屈服极限 σs = 240MPa,直线经验公 式 σcr= 304-1.12λ (MPa), 试求结构失稳时的竖直外力 F.。（F =213kN） 解：（1）受力分析： . F F . F, F F FN N 0 896 1 3 2 3 0 732 1 3 2 3 1 2 = + = = + = （2）稳定性分析： F . k N E d F A F i l a F . k N E F A . i / l b a E , E N cr N cr s p 47 6 4 200 40 1 2 1000 4 74 2 163 3 20 1 2 1000 4 100 60 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 =  =   = =     = = =  =   = =     = = = − = = = =                    : 0.732 : 0.896F (2 3) p p p 0 s 取 [F]=F2=47.6kN d d 1.2d d F A 45° 30° C B a a 1m FN1 FN2 ② ① 3m FB 1m

第十章压杆稳定10.9图示钢柱由两根10号槽钢组成，材料的弹性模量E=200GPa,比例极限cp200MPa，试求组合柱的临界力为最大时的槽钢间距α及最大临界力。（α≥43.2mm，Fe=489kN)解:(1）令ly=lz1,=2×1980000mmtly, = 2(lyo +(zo+ a/2) x1275)4a=43.2mm(2）临界力计算（参考题10.5)4-件-14000-101.3>1,39.504N400F.:101.3210.10图示正方形架，由五根圆钢杆组成，正方形边长为1m，各杆直径均为50mm。已知：入1 =100,入2 =60, a= 304MPa, b = 1.12MPa, E = 200GPa,[] = 80MPa。规定的安全系数为nst=3（1）求结构在图（a）工况下的许可载荷。(2）当F=150kN时，校核结构在图（b）工况下的稳定性。解：(1)受力分析各杆轴力如图示F/V2F/2F/V2(2)图（a）工况下的许可载荷强度计算：周边各杆受拉4F4FN5.093x10~Fg=2元dF/V2-F/V2F/V2由。 =[o],-F/V, -0- 50 221N(b)(a)稳定性分析：内杆受压-_4-2:1001131>500。=E.A4=154MPa大柔度杆！154n=00=N,=35.093.10-F=F, =100.8kN取[F]=100.8kN(3）图（b）工况下的稳定性

第十章 压杆稳定 49 10.9 图示钢柱由两根 10 号槽钢组成, 材料的弹性模量 E = 200GPa, 比例极限 σp = 200MPa , 试求组合柱的临界力为最大时的槽钢间距 a 及最大临界力。( a≥43.2mm, Fcr=489kN ) 解: (1) 令 Iy = Iz a 43.2mm ( ( a/2) ) mm y y0 0 z = = + +  =  2 1275 2 1980000 2 4 I I z I (2) 临界力计算 (参考题 10.5) N N 9.5 p . k . A E F . i l cr 2 1274 490513 490 5 101 3 200000 101 3 3 1 4000 2 2 2 2   = = • =  = =   = =       10.10 图示正方形架，由五根圆钢杆组成，正方形边长为 1m，各杆直径均为 50mm。已知： λ1 = 100，λ2 = 60，a = 304MPa，b = 1.12MPa，E = 200GPa，[σ] = 80MPa。 规定的安全系数为 nst = 3。 （1） 求结构在图（a）工况下的许可载荷。 （2） 当 F =150kN 时，校核结构在图（b）工况下的稳定性。 解: (1)受力分析 各杆轴力如图示 (2)图（a）工况下的许可载荷 强度计算:周边各杆受拉 F . kN . F d F d FN 222 1 4 2 80 50 5 093 10 2 4 4 2 1 4 2 2 =     = = = = =  −       由 [ ], 稳定性分析: 内杆受压 F . kN N . F n A E . i l st cr cr 100 8 3 5 093 10 154 154 113 1 50 4 2 1000 2 4 2 2  = = =  = = =  = =    = = −         MPa p 大柔度杆! 取[F]=100.8kN (3) 图（b）工况下的稳定性 F a 4m y z y0 z0 F F d c a b (a) d F F c a b (b) F / 2 − F / 2 F -F F / 2 F / 2 F / 2 − F / 2 − F / 2 − F / 2

第十章压杆稳定50__4-1000=80≤/g2-50。=304-1.121=214MPa中柔度杆！76.39MPa = F2 =100.8kN_214=2.8<nst76.3稳定性不够内杆受拉,不存在稳定性问题

50 第十章 压杆稳定 st cr cr . n . . F . kN d F . i l = =  = =  = = − = =   = = 2 8 76 3 214 76 39 100 8 4 304 1 12 214 80 50 4 1000 2 2          MPa MPa p 中柔度杆! 稳定性不够. 内杆受拉,不存在稳定性问题