内蒙古科技大学：《材料力学》课程教学资源（习题解答）压杆稳定

10.2.某型柴油机的挺杆长为I=257mm，圆形横截面的直径d=8mm。所用钢材的E=210GPaOp=240MPa。挺杆所受的最大压力P=1.76kN。规定ns=2~5。试校核挺杆的稳定性。解：（1）求挺杆的柔度挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，H=1，=d/4计算柔度_4l_ 4x1x0.257 = 128.542.=0.008d210×10°E =192.9元240×10°Vap.1v元挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力(2）校核挺杆的稳定性元×0.008*1=d2.01x10-1°mt6464P-E-x210x10~x201×10-m=-631N(ul)(1x0.257)工作安全系数 Pe = 631 -3.59Pmx1.76所以挺杆满足稳定性要求。10.4.图示蒸汽机活塞杆AB所受压力为P=120kN，7=1.8m，截面为圆形d-75mm。材料为Q275 钢，E=210GPa，0=240MP。规定ns=8。试校核活塞杆的稳定性。E.EXKBEE解：（1）求柔度极限值210×10°92.9M=元元240×10%Vo压杆的柔度1x1.81=u=960.075/4压杆是大柔度杆(2) 压杆的临界压力_元×0.0754元dI ==1.553x10-6m664元EL元×210×10×1.553×10-=993kNP.r(ul)(1x1.8)2

10.2. 某型柴油机的挺杆长为l=257 mm，圆形横截面的直径d=8 mm。所用钢材的E=210 GPa， σp=240 MPa。挺杆所受的最大压力P=1.76 kN。规定nst=2~5。试校核挺杆的稳定性。 解：(1) 求挺杆的柔度 挺杆的横截面为圆形，两端可简化为铰支座，μ=1，i=d/4 计算柔度 9 1 6 1 4 4 1 0.257 128.5 0.008 210 10 92.9 P 240 10 l l i d E μ μ λ λπ π σ λ λ × × == = = × == = × ∴ ; 挺杆是细长压杆，使用欧拉公式计算临界压力 (2) 校核挺杆的稳定性 ( ) ( ) 4 4 10 4 22 9 10 2 2 0.008 2.01 10 64 64 210 10 2.01 10 6.31 1 0.257 cr d I m EI P KN l π π π π μ − − × = = =× × ×× × = = = × 工作安全系数 max 6.31 3.59 1.76 Pcr n P === 所以挺杆满足稳定性要求。 10.4. 图示蒸汽机活塞杆AB所受压力为P=120 kN，l=1.8 m，截面为圆形d=75 mm。材料为 Q275 钢，E=210 GPa，σs=240 MP。规定nst=8。试校核活塞杆的稳定性。 B A P P l p 解：(1) 求柔度极限值 9 1 6 210 10 92.9 240 10 P E λπ π σ × == = × 压杆的柔度 1 1 1.8 96 0.075 / 4 l i μ λ λ × = == = ; 压杆是大柔度杆 (2) 压杆的临界压力 ( ) ( ) 4 4 6 4 22 9 6 2 2 0.075 1.553 10 64 64 210 10 1.553 10 993 1 1.8 cr d I m EI P kN l π π π π μ − − × == = × × ×× × = = = ×

(3）压杆的稳定性P993=8.275>nm12压杆稳定。10.6.三根圆截面压杆，直径均为d=-160mm材料为Q235钢，E=200GPa，Gp=200MPa，α=240MPa。三杆均为两端铰支，长度分别为1、l和13，且/=2=4l=5m。试求各杆的临界压力P解：(1)求柔度极限值查表得Q235钢：α=304MPa,b=1.12MPaE200x10%2 --_ 304-240 = 57=99.3元=V200×10%1.12(2）求各杆的临界压力Per1杆：1x5=丝= 0.16/4 =125 × 元_元×0.16=3.22×10~m164.64元×200×10°×3.22×10~元EI= 2542 kNPer()(ul)(1×5)2杆：42)=M=八0=62.5M2:0。=a-ba2)=304-1.12×62.5=234 MPaXπ×0.162 = 4705 kNPer(2)=αgA=234×10%3杆:&E31.25元23).0.=0,:. Per(o)=0sA=240×10%)×元×0.162 = 4825 kN10.8.无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆长/=4.5m，横截面直径d=150mm。材料为低合金钢，E=210GPa，op=200MPa。顶杆两端可简化为铰支座，规定稳定安全系数ns=3.3。试求顶杆的许可载荷。顶杆上海理工大学力学教研室

(3) 压杆的稳定性 993 8.275 120 cr st P n n P == = ; 压杆稳定。 10.6. 三根圆截面压杆，直径均为d=160 mm材料为Q235 钢，E=200 GPa，σp=200 MPa，σs=240 MPa。三杆均为两端铰支，长度分别为l1、l2和l3，且l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临界 压力Pcr。 解：(1) 求柔度极限值 查表得 Q235 钢：a = 304MPa, b = 1.12MPa 9 1 2 6 200 10 304 240 99.3 57 200 10 1.12 S P E a b σ λπ π λ σ × − − == = == = × (2) 求各杆的临界压力Pcr 1 杆： ( ) ( ) 1 (1) 1 4 4 5 4 22 9 5 (1) 2 2 1 5 125 0.16 / 4 0.16 3.22 10 64 64 200 10 3.22 10 2542 1 5 cr l i d I m EI P kN l μ λ λ π π π π μ − − × == = × = = =× × ×× × = = = × ; 2 杆： 2 2 (2) (1) 1 2 (2) 1 (2) 6 2 (2) 62.5 304 1.12 62.5 234 1 234 10 0.16 4705 4 cr cr cr l l i l a b MPa P A k μ λ λ λλ λ σ λ σ π = = ×= ∴ =− = − × = = = × ××× = ∵≺ ≺ N 3 杆： 3 3 (3) (1) 2 1 6 2 (3) 31.25 1 240 10 0.16 4825 4 cr s cr S l l i l P A kN μ λλ λ σ σ σ π = = ×= ∴ = ∴ = = × ××× = ≺ 10.8. 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆长l=4.5 m，横截面直径d=150 mm。材料为低合金 钢，E=210GPa，σp=200MPa。顶杆两端可简化为铰支座，规定稳定安全系数nst=3.3。 试求顶杆的许可载荷。 l P d 顶杆 上海理工大学 力学教研室 1

解：（1）求顶杆的临界载荷210×10°=101.81x452=元=120×元=元200×10%0.15/4Op1x015-2.485×10~ mP.x210×10x248x10-=2434 N(1×4.5)*(ul)(2)求顶杆的许可压力[P]-α 25434- 707 N3.3na10.10.在图示铰接杆系中，AB和BC皆为大柔度杆，且截面相同材料一样。若杆系由于在ABC平面内丧失稳定而失效，并规定0<Kπ2，试确定P为最大值时的e角。ple解：由铰B的平衡可得PANP, = Ptge由己知条件可知，Isc=lantgβ Ean=Enc Lan=IBcμAB = μBc =1AB和BC皆为细长压杆Pa=T'Ealm元'EnclBcPra =TABIBc欲使P为最大值，则两杆的压力同时达到各自的临界值，即Per2 = Peritge(LRPa2=tgo==ctgβPertIBC..0= arctg(ctg" p)10.12.蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为Q235钢，入i-100，连杆的最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内两端可认为铰支；而在与摆动平面2上海理工大学力学教研室

解：(1) 求顶杆的临界载荷 ( ) ( ) 9 1 6 1 4 4 5 4 2 2 EI 9 5 2 2 210 10 1 4.5 101.8 120 200 10 0.15 / 4 0.15 2.485 10 64 64 210 10 2.485 10 2543.4 1 4.5 P cr E l i d I m P kN l μ λ π π λ λ σ π π μ − − × × = = = == = × × == = × × ×× × = = = × ; (2) 求顶杆的许可压力 π π 2543.4 [ ] 770.7 3.3 cr st P P kN n == = 10.10. 在图示铰接杆系中，AB 和 BC 皆为大柔度杆，且截面相同材料一样。若杆系由于在 平面内丧失稳定而失效，并规定 0<θ<π/2，试确定 P 为最大值时的θ角。 ：由铰 B 的平衡可得 ABC P B θ 90o A β C 解 P P1 B P2 θ 90o P1 P2 θ P P P tg 2 1 = θ 由已知条件可知， 1 BC AB AB BC AB BC AB BC l l tg E E I I = == = β μ μ = AB 和 BC 皆为细长压杆 2 2 1 2 2 2 AB AB BC BC cr cr AB BC E I E I P P l l π π = = 欲使 P 为最大值，则两杆的压力同时达到各自的临界值，即 2 1 2 2 2 1 2 ( ) cr cr cr AB cr BC P P tg P l tg ctg P l arctg ctg θ θ β θ β = ⎛ ⎞ == = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∴ = 10.12. 蒸汽机车的连杆如图所示。截面为工字形，材料为Q235 钢，λ1=100，连杆的最大轴 向压力为 465 kN。连杆在摆动平面（xy平面）内两端可认为铰支；而在与摆动平面 上海理工大学 力学教研室 2

垂直的x-平面内，两端则可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。解：（1）计算截面的几何性质A= 0.14×0.096-0.085×(0.096-0.014)=6.47×10- m050.0400.045I=-x0.096×0.143×(0.096-0.014)×0.085=1.7755×10~mI.11F,40745×10~0.025 mi,==6.47×10-F1.7755×10=0.052mAV6.47×10-3在平面和在x平面内弯曲时的柔度值1x3.1=_0.5x3.1=M=59.6= 620.0520.025I.连杆容易在x平面内失稳对于Q235钢a=304MPa b=1.12MPa c,=235MPa1-. 304-25-6161.12连杆为中长杆，用直线公式计算临界压力P。=αgA=(α-ba)A=(304-1.12×62)×10°×6.47×10-=1517.6kN工作安全系数 Pe_ 1517.6 =3.261=465Pmax10.13.两端铰支木柱的横截面为120mmx200mm的矩形，F-4m，木材的E=10GPa，g,=20MPa。计算临界应力的公式有：(a)欧拉公式(b）直线公式o-28.7-0.19%上海理工大学力学教研室3

垂直的xz平面内，两端则可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。 ：(1) 计算截面的几何性质 x y I I y 85 140 96 z 14 3100 解 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 3 6 3 0.14 0.096 0.085 0.096 0.014 6.47 10 1 1 0.085 0.014 0.14 0.085 0.096 4.0745 10 12 12 1 1 0.096 0.14 0.096 0.014 0.085 1.7755 10 12 12 4.0745 10 0.025 6.47 10 1.7 y z y y z z A m 6 4 5 4 I m I m I i = m A I i A − − − − − =× − × − =× =× × +× − × = × =× × −× − × = × × = = × = = 5 3 755 10 0.052 6.47 10 m − − × = × 在 xy 平面和在 xz 平面内弯曲时的柔度值 1 1 2 2 1 3.1 0.5 3.1 59.6 62 0.052 0.025 xy xz z y l l i i μ μ λ λ × × == = = = = 连杆容易在 xz 平面内失稳 对于 Q235 钢 s 2 2 1 304 1.12 235 30 s a 4 235 61.6 1.12 xz a MPa b MPa MPa b σ σ λ − = = λλ λ == = − = ∴ ≺ ≺ 连杆为中长杆，用直线公式计算临界压力 ( ) ( ) 6 3 304 1.12 62 10 6.47 10 1517.6 P A cr cr = = σ xz ab A λ kN − − = − ××× × = 工作安全系数 max 1517.6 3.26 465 Pcr n P == = 10.1 m的矩形，l=4 m，木材的E=10 GPa，σp=20 MPa。计算临界应力的公式有： (a) 欧拉公式 (b) 直线公式σcr=28.7-0.19λ 3. 两端铰支木柱的横截面为 120 mm×200 m 上海理工大学 力学教研室 3

解：（1）求柔度极限值10×10=70.25V20×106V压杆的柔度1×41=M=115.5×^0.12/V12压杆是大柔度杆(2）用欧拉公式计算压杆的临界应力元2×10×10%元E=7.40 MPaPer-22115.5210.15.某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢，2i=100，2=62。最大起重量P=40kN。若规定nst=5，试校核杆BD的稳定性。30解：(1)受力分析以整体为研究对象，由平衡方程可求得ZM,=0 Ro Cos30°×AD-P×AC=0PxAC40×2.0= 106.7 kNRBpcos30°×ADcos30°×1.5×tg30°(2) BD 压杆的柔度查型钢表，20号槽钢：i, =2.09cm I,=144cm4A=32.837cm2Isp=1.5/cos30°=1.732mμ=11x1.732=BD=82.872.09×10.nnnstRBD106.7上海理工大学力学教研室4

解：(1) 求柔度极限值 9 1 6 10 10 70.25 20 10 P E λπ π σ × == = × 压杆的柔度 1 1 4 115.5 0.12 / 12 l i μ λ × = == = ; λ 压杆是大柔度杆 (2) 用欧拉公式计算压杆的临界应力 22 9 2 2 10 10 7.40 115.5 cr E P M π π Pa λ × × == = 10.15. 某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为 20 号槽钢，材料为 35 钢，λ1=100，λ2=62。 最大起重量P=40kN。若规定nst=5，试校核杆BD的稳定性。 ：(1) 受力分析 以整 Q2 解 体为研究对象，由平衡方程可求得 0 cos30 0 40 2.0 106.7 cos30 cos30 1.5 30 o MA BD BD o oo R AD P AC P AC R kN AD tg − × = × × == = × ×× ∑ (2) BD 压杆的柔度 20 号槽钢： = × 查型钢表， 2 4 0 2 2 1 32.837 2.09 y 144 1, 1.5 / cos30 1.732 1 1.732 82.87 2.09 10 y BD BD y A = = cm i cm I cm l m l i μ μ λ λ λλ − = == = × == = × ∴ ≺ ≺ (3) 计算临界压力 BD 杆为中长杆 ( ) ( ) 6 4 304 1.12 82.87 10 32.837 10 693.5 P A ab A cr cr σ λ k − = =− = − × × × × = N (4) 稳定性校核 693.5 6.5 106.7 cr st BD P n n R == = ; P B C 30o A 1.5m 0.5m D XA YA y z RBD 上海理工大学 力学教研室 4

满足稳定要求。10.17图示结构中的杆AD和AG材料均为Q235钢，E=206GPa，O,=200MPa，G,=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，[o]=160MPa。两杆均为圆截面，杆AD的直径为d=40mm杆AG的直径为d=25mm。横梁ABC可视为刚体，规定的稳定安全系数ns=3，试求P的许可值。解：（1）分析ABC受力R列平衡方程ZM,=0 (Ran+Rc)×1-Px1=0 Ran+RAc=P变形谐调条件AD ×1.2_ RAG ×1.2NAD =NIAGEAADEAAG(40)RAD - AAD -()=2.56(25）RAGAAG(d2)解方程组得RAD=0.719PRAG=0.281P(2）杆AG受拉，考虑强度条件RAG_0.281P≤[α]GAGAAG元d;/40022795 4×0.2814x0.281(3）杆AD受压，考虑稳定问题AD杆的柔度=以_ 1x1.2,1207-0.04/4柔度极限值上海理工大学力学教研室

满足稳定要求。 10.17 图示结构中的杆AD和AG材料均为Q235 钢，E=206 GPa，σp=200 MPa，σs =235 Pa， a=304 MPa，b=1.12 MPa，[σ]=160 MPa。两杆均为圆截面，杆AD的直径为d1=40 mm d2=25 mm。横梁ABC可视为刚体，规定的稳定安全系数nst=3，试求P 的许可值。 (1) 分析 ABC 受力 列平衡方程 = P 变形谐调条件 M 杆AG的直径为 解： 0 ( ) 1 1 0 ∑ M RR P RR B A = + ×− ×= + D AG AD AG 2 2 1.2 1.2 40 AD AG AG AD AG R R EA EA d1 2 2.56 25 AD AD AD AG AG l l R A RA d × × Δ = ⎛ ⎞ Δ = ⎛ ⎞ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 解方程组得 R PR AD = 0.719 0.281 AG = P (2) 杆 AG 受拉，考虑强度条件 2 2 2 26 2 0.281 [ ] / 4 [ ] 0.025 160 10 279.5 4 0.281 4 0.281 AG AG AG R P A d d P kN σ σ π πσ π == ≤ × ×× ≤ = = × × (3) 杆 AD 受压，考虑稳定问题 AD 杆的柔度 1 1.2 120 0.04 / 4 l i μ λ × == = 柔度极限值 A B C D G 1 1.2m 1.2m m 1m P A B C RB RAG RAD P 上海理工大学 力学教研室 5

E206×109元=元=100.8-7V200x10%Vp11压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界压力1=_元×0.04=1.257×10-7 m64 64P- 206x1012712-175 N(ul)(1x1.2)根据稳定性条件Per177.51:RD=0.719p≥n.P≤_177.5177.5=82.3 kN0.719n.0.719×3(4)P的许可值P=82.3 kN上海理工大学力学教研室

9 1 6 1 206 10 100.8 200 10 P E λπ π σ λ λ × == = × ; 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界压力 ( ) ( ) 4 d 0. 4 1 7 4 22 9 7 2 2 04 1.257 10 64 64 206 10 1.257 1 177.5 1 1.2 cr I m EI 0 P kN l π π μ − − == = × × ×× × = = = × 根据稳定性条件 π π × 177.5 0.719 177.5 177.5 82.3 0.719 0.719 3 cr st AD st P n n R P P ≤ = kN n == ≥ = × (4) P 的许可值 P = 82.3 kN 上海理工大学 力学教研室 6