内蒙古科技大学：《材料力学》课程教学资源（习题辅导）应力应变状态分析

第八章应力状态分机第八章应力应变状态分析8.1何为单向应力状态?何为二向应力状态？圆轴受扭时，轴表面各点处于何种应力状态？梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态？答：只有一个主应力不为零的应力状态为单向应力状态，只有两个主应力不为零的应力状态为二向应力状态。圆轴受扭时，轴表面各点处于二向应力状态，梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点分别处于单向、单向和二向应力状态。8.2构件如图所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。d MMe3Me2Me(b)(d)(e)(a)答：（a）体内任意点都是危险点，（b）右段内外表面上任意点都是危险点，（c）固定端上顶点是危险点，4F/(d)(a)（d）构件内外表面上任意点都是危险点16M,(md3)32M,元d）6M,元d3)32Fl(md)4F (rd)(b)(c)(d)

第八章 应力状态分析 35 第八章 应力应变状态分析 8.1 何为单向应力状态?何为二向应力状态? 圆轴受扭时，轴表面各点处于何种应力状态? 梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态? 答：只有一个主应力不为零的应力状态为单向应力状态，只有两个主应力不为零的应力 状态为二向应力状态。圆轴受扭时，轴表面各点处于二向应力状态，梁受横力弯曲时， 梁顶、梁底及其他各点分别处于单向、单向和二向应力状态。 8.2 构件如图所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。 答：（a）体内任意点都是危险点， （b）右段内外表面上任意点都是危险点， （c）固定端上顶点是危险点， （d）构件内外表面上任意点都是危险点， (c) (d) (a) P F l d (b) d Me 3Me 2Me F d Me F Me d l Me F (a) 4 /( ) 2 F d 32 /( ) 3 Me d (b) 16 /( ) 3 Me d (c) 32 /( ) 3 Fl d 16 /( ) 3 Me d (d) 4 /( ) 2 F d

第八章应力状态分析8.3对图示构件，求A、B两点的应力分量，并用单元体表示。答：A点：所在横截面的内力Me=80kN.M, = 120.500 = 60000 kNmm160kN50Fs =120kN-M4 =-37.5MPa,0, =0,200B1oI.X50[120 ]（1-禁-)= 5.6MPaT,=2bh500/ 500/,500/500hB点：所在横截面的内力(a)Mg=40-500=2000kNmmF, =-40kN5.6MP.87MPMsyB=12.5MPa,o,=0.37.5MP12.5MP3(-4)=1.87MPaT=2bhh8.4在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力.应力的单位M70/[501003000M300300300E30°1b[bT b(a)(c)(b)(c)(d)解：α = 30,G, = 70,g, = -70, t,= 0-+cos(20) T, si(20)=35(a)30m22si(20)+T, cos(2) =35Ca(c)α=60°,0,=100,G, = 50, t, =0(b) α=30,,=70,0,=70, ,=0(d)α= 210°,a,=-100, 0, = 50, T, =00 30 = 70, t 30 = 0 (d)α=60,0, =30, , = 50, T, =-20

36 第八章 应力状态分析 8.3 对图示构件，求 A、B 两点的应力分量，并用单元体表示。 答：A 点：所在横截面的内力 Fs kN M A kNmm 120 120 500 60000 = =  = MPa h y bh F MPa I M y s A xy y z A A x ) 5.6 4 (1 2 3 37.5 , 0, 2 2 = − = = − = − =    B 点：所在横截面的内力 F kN M kNmm s B 40 40 500 20000 = − =  = MPa h y bh F MPa I M y s B xy y z B B x ) 1.87 4 (1 2 3 12.5 , 0, 2 2 = − = = = =    8.4 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面 ab 上的应力.应力的单位 MPa。 解： （a） sin( 2 ) cos(2 ) 35 2 cos(2 ) sin( 2 ) 35 2 2 30 , 70, 70, 0 30 30 + = − = − = − + + = = = = − =                   xy x y xy x y x y x y xy    （b） 70, 0 30 , 70, 70, 0 30 30 = = = = = =          x y xy (d) 60 , 30, 50, 20 (d) 210 , 100, 50, 0 (c) 60 , 100, 50, 0 = = = = − = = − = = = = = = x y xy x y xy x y xy                (a) Me=80kN· m 200 500 50 50 500 500 500 F = 160kN 120 A B P 300 70 0 b 70 (a) a 300 70 0 b a 70 (b) 300 50 b 100 a (c) 300 50 b a 100 (d) 300 b 20 50 (e) 30° a 30 37．5MPa 5．6MPa A 12．5MPa 1．87MPa B

第八章应力状态分析378.5对图示单元体(应力单位为MPa，试用解析法求解：(I)主应力与主方向；(2)在单元体上示出主应力。（ai=11.2MPa，02=0,，03=-71.2MPa，ao=-38(α1)）解：O,=-40,o,=-20,Tm=-40-2T,tan(2α)=-4, 2α。=-76°o,-o,α1=-38,αo2 = 52°o,+o,[-) -t, =11271.2Omex22o.+o.-) -t, =112Cmex..0, =11.2MPa, 0, = 0,0, =-71.2MPa,8.6二向应力状态如图所示(应力单位为MPa)，试求主应力。[(a)o1=80MPa，2=40MPa,03=0;(b)g1= 25MPa, 02=0, 0;=-25MPa,α0=-4550 180(b)(a)解： (a)(b)0,=80,0a=50,t,=00.--+++co(2a)2=g, =400} =-0, =25, 0, = 0 si 2) =17.32MPa,ta2..0, = 80,0, = 40,0, =0

第八章 应力状态分析 37 8.5 对图示单元体(应力单位为MPa)，试用解析法求解： (1) 主应力与主方向； (2) 在单 元体上示出主应力。(σ1 = 11.2MPa ，σ2 =0,，σ3 = -71.2MPa，α0= -38°(σ1) ) 解： 11.2MPa, 0, 71.2MPa, ) 11.2 2 ( 2 ) 11.2 2 ( 2 38 , 52 4, 2 76 2 tan(2 ) 40, 20, 40 1 2 3 2 2 max 2 2 max 01 02 0 0  = = = − − = − − + = − = − + + = = − = = − = − − − = = − = − = −                          xy x y x y xy x y x y x y xy x y xy    8.6 二向应力状态如图所示(应力单位为 MPa), 试求主应力。[(a)σ1 = 80MPa , σ2 = 40MPa, σ3 = 0;(b)σ1 = 25MPa , σ2 =0, σ3 = -25MPa,α0= -45°] 解：（a） （b） 80, 40, 0 sin( 2 ) 17.32MPa, 2 40 cos(2 ) 2 2 80, 50, 0  1 = 2 = 3 = = − =  = − + + = = = =                     x y y x y x y x xy 1 = − 3 = 25, 2 = 0 25 (b) 80 80 50 50 τ τ 60 0 (a) 40 40 20 52° 11.2 71.2

第八章应力状态分析8.7.锅炉直径D=1m,壁厚1=10mm,内受蒸汽压力p=3MPa.是求：(1）壁内主应力及一点的最大剪应力：（2）斜截面ab上的正应力及剪应力。[(1) 01= 150 MPa, 02 = 75MPa, 03=0 ,tmax= 75 Mpa,(2) g=131MPaTa=-32.5 Mpa]1 30°2 PD _3-1000 150MPaα=60,0,=02,0,=09_=2·102t0.+0, +0.-) cos(2a)PD =75MPa, 0 ~0解：（1)0,=(2)41=131MPa 0, -02 =37.5MPa_ si( 2a)=-32MPaTmexTa8.8边长为a=10mm的正方体钢块恰好置入刚性模孔中，上面受合力F=9kN的均布力作用.钢块中各点的应力状态相同，钢块的弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，求钢块中各点的主应力、主应变和最大剪应力。(1=02=-38.57MPa,03= -90MPa,E1= 2=0, c3= -3.3410-4,tmax=25.72MPa)G91(d)-F9000=90MPa0, =￥A 100④ Tm =℃=25.7MPa62 =6, =0, 0, =01解：(1).62[0, -μ(a, +o,)](2) 6=8, =05, -0-4(g-02) 3.3 10-HC3 = -38.6MPa10,=0,E1-μ; =-90MPa

38 第八章 应力状态分析 8.7．锅炉直径 D =1m,壁厚 t =10mm,内受蒸汽压力 p = 3MPa.是求： (1) 壁内主应力及一 点的最大剪应力；(2) 斜截面 ab 上的正应力及剪应力。 [(1) σ1 = 150 MPa , σ2 = 75MPa , σ3 =0 ,τmax= 75 Mpa; (2) σα = 131MPa , τα= -32.5 Mpa ] 解：（1） 37.5MPa 2 75MPa, 0 4 150MPa 2 10 3 1000 2 1 2 max 2 3 1 = − = = =  =   = =       t pD t pD （2） sin( 2 ) 32MPa 2 131MPa cos(2 ) 2 2 60 , , 2 1 = − − = = − + + = = = =                  x y x y x y x y  8.8 边长为 a = 10mm 的正方体钢块恰好置入刚性模孔中，上面受合力 F = 9kN 的均布力 作用.钢块中各点的应力状态相同， 钢块的弹性模量 E = 200GPa，泊松比  = 0.3， 求 钢块中各点的主应力、主应变和最大剪应力。 (σ1 =σ2 = -38.57MPa ,σ3 = -90MPa ,ε1= ε2= 0 , ε3 = -3.3410-4 ,τmax= 25.72 MPa) 解：（1） 90MPa 38.6MPa 1 [ ( )] 1 0, 90MPa 100 9000 3 3 1 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 = − = − −  = =  = − + = = = = = − =                E A F  （2） 3 1 2 4 3 1 2 1 3 max 3.3 10 ( ) 0 25.7MPa 2 − =  − − =  = = = −  = E           p 30° b a σ1 σ2 F  3 (d)  2  1

第八章应力状态分析298.9空心圆轴外径为D，内径是外径的一半，在图示力偶矩作用下，测得表面一点A与轴线成45°方向的线应变ε45°。已知材料的弹性系数E、U，求力偶矩Me。(M。=15元D’E84 /[256(1+μ)))解：A点应力状态如图所示。0116M_256M(1)=-0,=T:元D(1-α)15元D3E4s =(0 -10,)=I+)0(2)E联立式（1）和（2)：15E元D64sM=256(1 + μ)8.10求图示单元体的主应力和最大剪应力。（61=110MPa，2=60MPa，10MPa.t50 MPa)解：分析：因为三个主应力的大小和方向是确定的，所以z方向的正应力就是一个主应力，于是只要把垂直于z方向的平面内的应力状态作为平面应力状态处理即可。,=100,a,= 20, T,=30(MPa)O,+oyy +, -110MPax-+, =50MPao,+o,Omin=1n:: ,=110MPa, , =60MPa, 0,=10MPa01- = 50MPTmex =2

第八章 应力状态分析 39 8.9 空心圆轴外径为 D，内径是外径的一半， 在图示力偶矩作用下， 测得表面一点 A 与 轴线成 45°方向的线应变 ε45°。已知材料的弹性系数 E、  ，求力偶矩 Me。 ( M D E /[ ( )] e =15  256 1+  45 3  ) 解：A 点应力状态如图所示。 1 3 3 4 3 15 256 (1 ) 16 D M D M       = − = − = = （1） E E 1 45 1 3 (1 ) ( ) 1      +  = − = （2） 联立式（1）和（2）： 256(1 ) 15 45 3    + = E D  M 8.10 求图示单元体的主应力和最大剪应力。( σ1 = 110MPa , σ2 = 60 MPa , σ3 = 10MPa ,τmax= 50 MPa) 解：分析：因为三个主应力的大小和方向是确定的，所以 z 方向的正应力就是一个主应力，于是只要把垂直于 z 方向的平 面内的应力状态作为平面应力状态处理即可。 50MP 2 110MPa, 60MPa, 10MPa ) 50MPa 2 ( 2 ) 110MPa 2 ( 2 100, 20, 30 1 3 max 1 2 3 2 2 min 2 2 max = − =  = = = + = − − + = + = − + + = = = =                      xy x y x y xy x y x y x y xy A 45° Me D 60 30 100 20 (MPa) 45°  3  1 

第八章应力状态分析8.11已知应力状态如图所示(应力单位为MPa)，试画三相应力圆，并求单元体的主应力，最大正应力和最大剪应力。[(a)1=60MPa,02=30 MPa,03=-70MPa,Tmax=65 MPa;(b)oi=50MPa,02=30 MPa,03=-50MPa,tmx=50 MPal308.12已知图示单元体材料的弹性模量E=200GPa，泊松比u=0.3，（应力单位为MPa试求该单元体的形状改变比能。(ur=12.99kN·m/m2)1.求主应力, = 70, 0, =30, T, =-40C,+o,) +t=94.7MPa2600+o-- ++, =5.3MPa厂2O::0, =94.7MPa,02 =50MPa,0; =5.3MPa2.求形状改变比能[(0 -0, P +(0 -0,) +(, -0)a6E= 15.2kNm/m2

40 第八章 应力状态分析 8.11 已知应力状态如图所示(应力单位为 MPa)，试画三相应力圆，并求单元体的主应力， 最大正应力和最大剪应力。[(a)σ1 = 60MPa , σ2 = 30 MPa , σ3 = -70MPa ,τmax= 65 MPa;(b) σ1 = 50MPa , σ2 = 30 MPa , σ3 = -50MPa ,τmax= 50 MPa] 8.12 已知图示单元体材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比  = 0.3，(应力单位为 MPa) 试求该单元体的形状改变比能。(uf = 12.99kN·m/m3 ) 1.求主应力 MPa, MPa, MPa MPa MPa 94 7 50 5 3 5 3 2 2 94 7 2 2 70 30 40 1 2 3 2 2 2 2 . . ( ) . ( ) . , , xy x y x y min xy x y x y max x y xy  = = = + = − − + = + = − + + = = = = −                   2. 求形状改变比能 3 2 2 2 kNm/m [( ) ( ) ( ) ] 15 2 6 1 1 2 2 3 3 1 . E vd = − + − + − + =        50 40 70 30 70 60 30 (a) 30 50 (b) 70 30 65 30 σ τ 50 30 50 20 σ τ