内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第24讲 组合变形（Ⅰ）

材料力学教案第24讲教学方案组合变形（I）基本1．组合变形的概念。A容2．斜弯曲。3. 拉（压）弯组合。教1.茶组合变形的概述及具体示例目2.、斜弯曲,的3、组合变形的分析方法和步骤1.重点掌握组合变形的分析方法和步骤。重重点掌握组合变形构件的强度计算。2.点3.要求掌握斜弯曲的基本概念。格4.要求掌握正确应用叠加原理。点5.难点在与中性轴位置的确定和截面核心的计算。本次教学计划学时：2学时。教课堂教学要：学1.引入生活、工程中的实例进行分析，让学生深安刻理解所学理论内容。排2．对典型例题的解题过程进行剖析，让学生掌握组合变形的分析方法。3．教师讲授、辅导与学生自学相结合

材 料 力 学 教 案 第 24 讲 教学方案 —— 组合变形（Ⅰ） 基 本 内 容 1. 组合变形的概念。 2. 斜弯曲。 3. 拉（压）弯组合。 教 学 目 的 1、 组合变形的概述及具体示例 2、 斜弯曲. 3、 组合变形的分析方法和步骤 重 点 、 难 点 1. 重点掌握组合变形的分析方法和步骤 。 2. 重点掌握组合变形构件的强度计算。 3. 要求掌握斜弯曲的基本概念。 4. 要求掌握正确应用叠加原理。 5． 难点在与中性轴位置的确定和截面核心的计算。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂教学要： 1. 引入生活、工程中的实例进行分析，让学生深 刻理解所学理论内容。 2． 对典型例题的解题过程进行剖析，让学生掌握组合变形 的分析方法。 3． 教师讲授、辅导与学生自学相结合

第十四讲

第 二 十 四 讲

材料力学教第八章 组合变形s8-1组合变形的概念1构件的受力情况分为本受力（或本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组食受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式组成。2．处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的叠加法。叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。pAv)图10-1a纵横弯曲梁1(x)M(x)IN图10-1b横截面上弯矩说明：①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。如10-1a图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-Ib）为N=P

材 料 力 学 教 案 第八章 组合变形 §8-1 组合变形的概念 1．构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平 面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式组成。 2．处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的 叠加法。 叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力 情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下 相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。 说明： ①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律； ②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载 次序无关。如 10-1a 图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图 10-1b ）为 N=P

第四M(x)=ql,+pu(x)。可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。58-2斜弯曲图10-2(a)所示构件具有两个对称面（y，=为对称轴），横向载荷P通过截面形心与y轴成α夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤DHATZPpyPy(d)(a)(b)(e)(e)图10-2叠加法求解两个相互垂直平面内弯矩问题(1)根据圣维南原理，将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将P沿横截面对称轴分解为Py、Pz，则有P,=Pcosα，P=Psinα（图a）(2)得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平面弯曲（图b,c)计算。Py，P,在危险面（固定端）处分别有弯矩：M,=(Psinα)e，M.=(Pcosα)（图d)。M,作用下产生以y轴为中性轴的平面弯曲，bd与ac边上分别产生最大拉应力与最大压应力M=± 6P/sin αGmx =(a)W,b"hM,作用下产生以=轴为中性轴的平面弯曲,ab与cd边上分别产生最大拉应力与最大压应力M.6Plcosα (b)omx =Wbh?(3)由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得Py，P,共同作用下危险点（b、c点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加）

第 二 十 四 讲 M(x)= ( ) 2 2 2 x p x q x ql − +  。可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不 能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与 P 的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。 除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。 §8-2 斜弯曲 图 10-2(a)所示构件具有两个对称面（y，z 为对称轴），横向载荷 P 通过截面形心与 y 轴 成  夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤： ⑴根据圣维南原理，将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将 P 沿横截面对 称轴分解为 Py、Pz，则有 Py = Pcos ， P z = Psin （图 a） ⑵得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平面弯 曲（图 b，c）计算。Py ，Pz 在危险面（固定端）处分别有弯矩： M (Psin ) y = ，M (Pcos) z = （图 d）。My 作用下产生以 y 轴为中性轴的平面弯曲，bd 与 ac 边上分别产生最大拉应力与 最大压应力 b h M Pl y y 2 ' max 6 sin W   =  =  (a) Mz 作用下产生以 z 轴为中性轴的平面弯曲,ab 与 cd 边上分别产生最大拉应力与最大压应力 2 '' max 6 cos bh M Pl z z   =  =  W (b) ⑶由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得 Py，Pz共同作 用下危险点（b、c 点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加）

材料力学教索M,+M= 6P1(10-1)[l+器(bsna+beosa)上述横向载荷P构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。它有以下两个特点：(1)构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线：(2)横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩失量重合（如为实心构件）。如图10-2(e)所示，横截面上任意点m（y，=）的正应力为Mz+Ma=g+g-(10-2)IV根据中性轴定义，令o-0，即得中性轴位置表达式10=岁--1gZMI当1.+l，，βα；现为矩形（h>b)，1.>l，，则β>α。形成斜弯曲，中性轴与M失量不重合。当1.=1，（如图10-2中为圆截面），0=α，即载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有--%Mg+M(10-3)68-3拉伸或压缩与弯曲的组合以图 10-3a 所示偏心压缩问题为例4XPN-PONLoM=PzpZPJV2amMz-PyS图10-3b图10-38

材 料 力 学 教 案 ( sin cos ) 6 max 2 2  h  b  b h M M Pl z z y y = + = + W W (10-1) 上述横向载荷 P 构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。它有以下两个特点： ⑴构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线； ⑵横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实心构 件）。如图 10-2(e)所示，横截面上任意点 m（y，z）的正应力为 y I M z I M z z y y = + = − + ' ''    (10-2) 根据中性轴定义，令=0，即得中性轴位置表达式  tg I I M M I I z y tg y z z y y z = = = 当 z y I  I ，  ；现为矩形（h>b）， z y I  I ，则   。形成斜弯曲，中性轴与 M 矢量不重合。 当 z y I = I （如图 10-2 中为圆截面），  = ，即载荷通过截面形心任意方向均形成平面 弯曲，若圆截面直径为 D，则有 2 2 max 3 32 M y Mz D M = = +   W (10-3) §8-3 拉伸或压缩与弯曲的组合 以图 10-3a 所示偏心压缩问题为例

第四1.求危险点应力可以用上述载荷处理法，将作用于点F（%，2）的偏心载荷P向构件轴线（或端面形心O）平移，得到相应于中心压缩和两个平面弯曲的外载荷。现直接用截面法（内力处理法）。如图10-3b所示，端面上偏心压缩力P在横截面上产生的内力分量为N=P, M,=PZp, M,=Pyp在该横截面上任意点m（y，2）的正应力为压应力和两个平面弯曲（分别绕y和=轴）正应力的叠加：o.=-P-Pz.Z_ Pyy(10-4)I.AIa点有最大压应力o，b点有最大拉应力P_PZ,_PY,0.=g黑=-AWW0,=o =-+PZ+PZ(10-5)AWW,W.=其中W、Ymux2.中性轴位置和截面核心1.让式(104）中0,=0，并定义截面惯性半径|，一。设中性轴上任意i.点坐标为y。，2。。则由式（10-4）得1++=0(10-6)这是一不通过形心O的中性轴方程（直线方程）。它在y轴和轴上截距分别为2(10-7)YotZ-2对于混凝土、大理石等抗拉能力比抗压能力小得多的材料，设计时不希望偏心压缩在构件中产生拉应力。满足这一条件的压缩载荷的偏心距p，z,应控制在横截面中一定范围内

第 二 十 四 讲 1．求危险点应力 可以用上述载荷处理法，将作用于点 F（yp ，zp）的偏心载荷 P 向构件轴线（或端面形 心 O）平移，得到相应于中心压缩和两个平面弯曲的外载荷。现直接用截面法（内力处理法）。 如图 10-3b 所示，端面上偏心压缩力 P 在横截面上产生的内力分量为 N=P，My=PZp，Mz=Pyp 在该横截面上任意点 m（y ，z）的正应力为压应力和两个平面弯曲（分别绕 y 和 z 轴）正应 力的叠加： z P y P m Py y I PZ Z A P I  = − − − (10-4) a 点有最大压应力  a ，b 点有最大拉应力  b z P y P a PY W PZ A P W = = − − − 压   max z P y P b PZ W PZ A P W = = − + + 拉   max (10-5) 其中 max W Z I y y = ， max W y I z z = 2．中性轴位置和截面核心 让式（10-4）中  m = 0 ，并定义截面惯性半径 A I i y y = ， A I i z z = 。设中性轴上任意 点坐标为 yo ，zo 。则由式（10-4）得 1 0 2 2 + + = z p o y p o i y y i z z （10-6） 这是一不通过形心 O 的中性轴方程（直线方程）。它在 y 轴和 z 轴上截距分别为 p z ot y i y 2 = − ， p y ot z i z 2 = − (10-7) 对于混凝土、大理石等抗拉能力比抗压能力小得多的材料，设计时不希望偏心压缩在构 件中产生拉应力。满足这一条件的压缩载荷的偏心距 yp ，zp 应控制在横截面中一定范围内

材料力学教案（使中性轴不会与截面相割，最多只能与截面周线相切或重合），由式（10-7）有i2(10-8)Yp=Zp=YotZo横截面上存在的这一范围称为截面核心，它由式（10-8）的偏心距轨迹线围成。式中yo，Zo现为横截面周边（轮廓线）上一点的坐标。例8-1短柱的截面为矩形，尺寸为bxh（图10-4a)。试确定截面核心。解：对称轴y，=即为截面图形的形心主惯12性热。号-号。 -号-。设中性轴与AB边重12V合，则它在坐标轴上截距为hYor=-or=00于是偏心压力P的偏心距为i25=-是分图10-4a矩形裁面核心=0Zp =Yor6'-即图10-4a中的α点。同理若中性轴为BC 边，142相应为b点，b0.）。余类推，由于中性轴方程为直线方程，最后可得图10-4a中矩形截面的截面核心为abcd（阴影线所示)。例8-2读者可证图10-4b所示半径为r的圆截面短柱，其截面核心为半径为y，=二的圆形。图10-4b圆形裁面核心

材 料 力 学 教 案 （使中性轴不会与截面相割，最多只能与截面周线相切或重合），由式（10-7）有 ot z p y i y 2 = − ， ot y p z i z 2 = − (10-8) 横截面上存在的这一范围称为截面核心，它由式（10-8）的偏心距轨迹线围成。式中 yot ， zot 现为横截面周边（轮廓线）上一点的坐标。 例 8-1 短柱的截面为矩形，尺寸为 bh （图 10-4a）。试确定截面核心。 解：对称轴 y，z 即为截面图形的形心主惯 性轴， 12 2 2 b i y = ， 12 2 2 h i z = 。设中性轴与 AB 边重 合，则它在坐标轴上截距为 2 h yot = − ， zot =  于是偏心压力 P 的偏心距为 6 2 h y i y ot z p = − = ， 0 2 = − = ot y p z i z 即图 10-4a 中的 a 点。同理若中性轴为 BC 边， 相应为 b 点，b(0 , 6 b ) 。余类推，由于中性轴 方程为直线方程，最后可得图 10-4a 中矩形截面 的截面核心为 abcd（阴影线所示）。 例 8-2 读者可证图 10-4b 所示半径为 r 的圆截 面短柱，其截面核心为半径为 4 r y p = 的圆形