内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第21讲 应力状态理论（Ⅲ）

才料力学教索第21讲教学方案应力状态理论（I）基本1.广义胡克定律。2.体积应变。材料弹性常数关系G=E/2(1+ )。内3.变形比能。体积改变比能与形状改变比能。家1.建立体积应变的计算关系式。教学目2. 导出材料弹性常数关系G=E/2(1+m)。3.建立变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算式。的4.阐明变形比能的关系式的导出为建立强度理论打下了基础。1重点掌握材料弹性常数关系G=E/2(1+μ）的推导方法。重点2掌握变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算形式。难3难点是平面应力状态的测定中的应力应变关系，应用应变花点测量时的计算关系。本次教学计划学时：2学时。教课堂讨论：学1.材料弹性常数关系式G=E/2(1+μ)的意义。安排2.体积改变比能与形状改变比能的计算式的导出的意义

材 料 力 学 教 案 第 21 讲 教学方案 —— 应力状态理论（Ⅲ） 基 本 内 容 1. 广义胡克定律。 2．体积应变。材料弹性常数关系 G = E / 2(1+ ) 。 3. 变形比能。体积改变比能与形状改变比能。 教 学 目 的 1. 建立体积应变的计算关系式。 2. 导出材料弹性常数关系 G = E / 2(1+ ) 。 3. 建立变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算式。 4．阐明变形比能的关系式的导出为建立强度理论打下了基础。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握材料弹性常数关系 G = E / 2(1+ ) 的推导方法。 2. 掌握变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算形式。 3. 难点是平面应力状态的测定中的应力应变关系，应用应变花 测量时的计算关系。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 材料弹性常数关系式 G = E / 2(1+ ) 的意义。 2. 体积改变比能与形状改变比能的计算式的导出的意义

第57-8广义胡克定律一、胡克定律1.拉压时=Ee或8=%，横向线应变"=-AG=-μ2.纯剪切时 =Gy或==舌3.一般三向应力状态九个应力分量有六个量是独立的，互等定理，剪切应力独立三个，看成是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。条件：1）各向同性材料：2）线弹性小变形范围内线应变只与正应力有关，而与剪应力无关，剪应变只与剪应力有关二与正应力无关。6. -(b -4(,+ .)]叠加：s,-6,-(o,+o.]6,=6.-4(, +0.)].%Yx=7.--当单元体六个面都是主平面时：

第 二 十 一 讲 §7-8 广义胡克定律 一、胡克定律 1. 拉压时  = E 或 E   = ，横向线应变 E    = − = − 2.纯剪切时  = G 或 G   = 3.一般三向应力状态 九个应力分量有六个量是独立的，互等定理，剪切应力独立三个，看成是三组单 向应力状态和三组纯剪切的组合。 条件：1）各向同性材料： 2）线弹性小变形范围内线应变只与正应力有关，而与剪应力无关，剪应变只 与剪应力有关二与正应力无关。 叠加：  ( ) x x y z E  =  −   + 1  ( ) y y x z E  =  −   + 1  ( ) z z y x E  =  −   + 1 G xy xy   = G yz yz   = G zx zx   = 当单元体六个面都是主平面时：

材料力学教察主应变：6) =[o, -μ(o, +0,)]2 =[o,-4(o, +,)]8, =-[03 -u(o1 +02)]体积改变量与应力分量的关系：变形前六面体体积：V=abc变形后 : V =(a+Aa)(b+ Ab)(c+Ac)= abc(1+e,)(1+ε, (1+6)体积应变，单位体积改变：0=-V1-24(0, +0, +0.)=8) +6, +6, =E写成: 0-30-2)(α+g,+)-;3E(o,+0, +,)体积弹性模量：k=平均值3(1-21) ; 0% 3二、各向同性材料弹性常数间的关系T求证:G=2(+ m)证明：取纯剪状态下的微分单元体αg =-45° ; αo =-135°,Q, =-3 = T -[o1 - 4o,]-(+ )直角xoy剪应变，=xy

材 料 力 学 教 案 主应变：  ( ) 1 1 2 3 1  =  −   + E  ( ) 2 2 1 3 1  =  −   + E  ( ) 3 3 1 2 1  =  −   + E 体积改变量与应力分量的关系： 变形前六面体体积：V=abc 变形后： ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 1 1 2 1 3 V = a + a b + b c + c = abc +  +  +  体积应变，单位体积改变： ( ) 1 2 3 1 2 3 1 1 2         + + − = + + = − = V E V V 写成： ( ) ( ) E k      m  = − + + = 3 3 1 2 1 2 3 ； 体积弹性模量： 3(1− 2) = E k ； ( ) 3  1  2  3  + + m = ——平均值 二、各向同性材料弹性常数间的关系 求证： ( + ) = 2 1 E G 证明：取纯剪状态下的微分单元体 = −45  0 ； = −135  0 ， = − = 1 3   1 1 3 1  =  −  E = ( )  1+ E 直角 xoy 剪应变， G xy xy   = = G 

第二对单元体abc来说：0,=0,=0,=0，8=6,=06)= 2G所以得：G(只适用于各向同性材料)2(1 + μ)-2T三、二向应力状态下主平面方位公式：tan2α=a.-g6,-4,];6,,-4](s, + μe,)0.=1E,+e,)1-Ty=Gyn-2T.则 : tan 2αg=01-0,6x-6,主应变与主应力方向是重合的，将主应变带入到广义胡克定律计算主应力。s7-9复杂应力状态下的变形比能体积应变比能与形状改变比能1．单向拉压时，变形比能u=c82．三向应力状态下：弹性变形能等于外力功，只决定外力最终数值，与外力作用次序无关，能量守恒原理，否则能量积累。线弹性范围内：

第 二 十 一 讲 对单元体 abc 来说：  x =  y =  z = 0， x =  y = 0 2G 1   = 所以得： ( + ) = 2 1 E G (只适用于各向同性材料) 三、二向应力状态下主平面方位公式： x y xy     − − = 2 tan 2 0   x x y E  =  −  1 ；   y y x E  =  −  1 ( ) x x y E     + − = 2 1 ( ) y y x E     + − = 2 1 xy G xy  =  则： x y xy x y xy        − − = − − = 2 tan 2 0 主应变与主应力方向是重合的，将主应变带入到广义胡克定律计算主应力。 §7-9 复杂应力状态下的变形比能 体积应变比能与形状改变比能 1. 单向拉压时，变形比能  2 1 u = 2. 三向应力状态下：弹性变形能等于外力功，只决定外力最终数值，与外力作用次 序无关，能量守恒原理，否则能量积累。 线弹性范围内：

1602620363[0? ++;2(00, +020,+0,0,)]2E(8—17)变形比能：体积变化储存的必能一一体积改变比能u体积不变，正方体成长方体本——形状改变比能u_(a1+0;+.)代替三个主应力，三个棱边变形相同以: Cm=u,=u=20mem+20mem+20mm=20mom由广义胡克定律：6-2。_1-2μ"(1 +0, +0,)?u,=6H[o7 +3+3-2(a0,+,0 +,0,)-2(a,+,+0,)2E6E[0-0,) +(0,-03) +(,-0)]u=6E用来建立复杂应力状态下的强度条件

材 料 力 学 教 案 [ 2 ( )] 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3                 = + + − + + = + + E u （8—17） 变形比能：体积变化储存的必能——体积改变比能 t u 体积不变，正方体成长方体——形状改变比能 x u 以： ( ) 3  1  2  3  + + m = 代替三个主应力，三个棱边变形相同 uv ut m m   2 1 = = m m   2 1 + m m   2 1 + = m m   2 3 由广义胡克定律： m m E    1− 2 = 2 1 2 3 ( ) 6 1 2     + + − = E ut  ( ) ( ) 6 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 2 2 2 1               + + − = + + − + + − E E ux ( ) ( ) ( )  2 3 1 2 2 2 1 2 3 6 1        − + − + − + = E u f 用来建立复杂应力状态下的强度条件