内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第11讲 平面图形的几何性质（Ⅱ）

材料力学教察第11讲教学方案平面图形的几何性质（II）基本内容平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩。1、熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式一平行移轴公式、转轴公式的应用。教学2、掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义目的及计算方法。3、掌握组合图形几何性质的计算方法。重点本节重点：平行移轴公式和转轴公式。、难点本节难点：组合图形几何性质的计算

材 料 力 学 教 案 1 第 11 讲 教学方案 ——平面图形的几何性质（Ⅱ） 基 本 内 容 平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴 及形心主惯性矩。 教 学 目 的 1、熟练掌握某些几何量在不同坐标系中的转换公式——平行移轴公 式、转轴公式的应用。 2、掌握主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩的定义 及计算方法。 3、掌握组合图形几何性质的计算方法。 重 点 、 难 点 本节重点：平行移轴公式和转轴公式。 本节难点：组合图形几何性质的计算

第sI-3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴(y。z）时，如图1-7所示，可得到如下平行移轴公式I,=ly+a’A1,=1. +b3A(1-13)Iyee+abA图1-17平行移轴公式简单证明之：I,-Jd4=J,(c+a) d4=J,cd4+2a],=cd4+a"Jd4其中「=cdA为图形对形心轴ye的静矩，其值应等于零，则得I,=ly+a'A同理可证（I-13）中的其它两式。结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a,b的正负号。例1-5由两个8号槽钢和两块10×lcm2钢板组成的截面，如图1-8，求1ye，I:c解：（1）计算1ye根据平行移轴公式，求得每一钢板对yc轴的惯性矩为10xPIe=+10×1×4.52= 203.3cm*图1-812从型钢表中查得每一槽钢对yc轴的惯性矩为1l, =101.3cm*则该组合截面对yc轴的惯性矩为2

第 十 一 讲 2 §Ⅰ-3 平行移轴公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯 性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴 ( ) c c y ,z 时，如图Ⅰ-7 所示，可得到如下平行移轴公式      = + = + = + I I abA I I b A I I a A C C C C yz y z z z y y 2 2 （Ⅰ-13） 简单证明之： ( )      = = + = + + A A C A C A C A I y z dA z a dA z dA a z dA a dA 2 2 2 2 2 其中 A zC dA 为图形对形心轴 C y 的静矩，其值应等于零，则得 I I a A C y y 2 = + 同理可证（I-13）中的其它两式。 结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积 移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。 例Ⅰ-5 由两个 8 号槽钢和两块 101 cm2 钢板组成的截面，如图 Ⅰ-8 ，求 C y I ， C z I 。 解：（1）计算 C y I 根据平行移轴公式，求得每一钢板对 C y 轴的惯性 矩为 10 1 4.5 203.3 12 10 1 2 3 +   =  = I yC I cm4 从型钢表中查得每一槽钢对 C y 轴的惯性矩为 =101.3 II yC I cm4 则该组合截面对 C y 轴的惯性矩为

材料力学教察Iye =2(I), +1,)=2(203.3 +101.3)=609.2 cmt（2）计算1每一钢板对zc轴的惯性矩为1, =1x10°=83.3 cm412从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为1.43cm，则该形心C，与zc轴的距离为b,=5-1.43=3.57cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴=的惯性矩1及面积A分别为I.=16.6cm，A=10.24cm2。故由平行轴公式得每一槽钢对zc轴的惯性矩为I', = 16.6 +10.24 ×(3.57) =146.6 cm*最终可得到整个组合截面对 zc 轴的惯性矩为SI-4转轴公式任意平面图形（如图1-9）对y轴和=轴的惯性短和惯性积，可由式（I-5）（I-9）求得，若将坐标轴y,z绕坐标原点O点旋转α角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之间应有如下关系J= ycosα+zsin α2=zcosα-ysin α图1-9转轴公式将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、旧转换关系，即转轴公式1, =2(I, + 1")=2(83.3 +146.6)= 459.8cm*I =Js'd-++/_l--cos 2α-1, sin 2α(1-14)I,+I,-1cos2α+/,sin2α

材 料 力 学 教 案 3 = 2( + ) = 2(203.3+101.3) = 609.2 II y I y y C C C I I I cm4 （2）计算 C z I 每一钢板对 C z 轴的惯性矩为 83.3 12 1 103 =  = I zC I cm4 从型钢表中查得，每一槽钢的形心到外侧边缘的距离为 1.43cm，则该形心 C2 与 C z 轴的距离为 b2 = 5−1.43 = 3.57 cm。又从型钢表中查得槽钢对其形心轴 z 的惯性矩 z I 及面 积 A 分别为 I z =16.6 cm4 ，A =10.24 cm2 。故由平行轴公式得每一槽钢对 C z 轴的惯 性矩为 16.6 10.24 (3.57) 146.6 2 = +  = II zC I cm4 最终可得到整个组合截面对 C z 轴的惯性矩为 §Ⅰ-4 转轴公式 任意平面图形（如图Ⅰ-9）对 y 轴和 z 轴的惯性矩和 惯性积，可由式（Ⅰ-5）—（Ⅰ-9）求得，若将坐标轴 y , z 绕 坐标原点 O 点旋转  角，且以逆时针转角为正，则新旧坐 标轴之间应有如下关系 y1 = y cos + zsin z1 = z cos − ysin 将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式，则可得相应量的新、 旧转换关系，即转轴公式 = 2( + ) = 2(83.3+146.6) = 459.8 II z I z z C C C I I I cm4 cos 2 sin 2 2 2 2 1 1 yz y z y z A y I I I I I I z dA − − − + = =  （Ⅰ-14） cos 2 sin 2 2 2 1 yz y z y z z I I I I I I + − − + =

讲_1_=sn 2α+1, os2α(I-15)IysI-5主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩若令α。是惯性矩为极值时的方位角，则由条件dl，/dα=0，可得21(1-16)tan 2α。 =I,-1.由式（I-16）可以求出α。和α+以确定一对主惯性轴y。和≥。。由（I-16）式求出sin2α。，cos2α。后代回式（1-14）与（I-15）即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性轴。主惯性矩的计算公式：I,+I.+V,-1.)+41.:1,-L+/_12V,-1.)+412而此时惯性积。因此也不可以说：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴称为主（惯性）轴。由（1-14）式尚可证明I,+1,=1,+1,(I-18)即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极小值。若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩称形心主惯性矩。例I-6确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩(如图 1-10)。图1-104

第 十 一 讲 4 sin 2 cos 2 2 1 1 yz y z y z I I I I + − = （Ⅰ-15） §Ⅰ-5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴及形心主惯性矩 若令 0 是惯性矩为极值时的方位角，则由条件 dI d 0 1 y  = ，可得 y z yz I I I − = − 2 tan 2 0 （Ⅰ-16） 由式（Ⅰ-16）可以求出  0 和 2 0   + 以确定一对主惯性轴 0 y 和 0 z 。由（I-16）式 求出 sin2  0 , cos2  0 后代回式（I-14）与（I-15）即可得到惯性矩得两个极值，称主惯性 轴。 主惯性矩的计算公式： ( ) 2 2 4 2 1 2 0 y z yz y z y I I I I I I + − + + = ( ) 2 2 4 2 1 2 0 y z yz y z z I I I I I I − − + + = 而此时惯性积。因此也不可以说：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴 称为主（惯性）轴。 由（I-14）式尚可证明 y z y z I I I I 1 1 + = + （I-18） 即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为 一常量，因而两个主惯性矩中必然一个为极大值，另一个为极 小值。 若主惯性轴通过形心，则称形心主惯性轴，相互主惯性矩 称形心主惯性矩。 例Ⅰ-6 确定图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯 性矩(如图 I-10)

材料力学教室解：（1）首先确定图形的形心。利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积矩形I×0.0593x0.011+0.07452×0.011×0.059=360.9cm*I,=1ye"+at'4 =10=1+b’4=×0.0590.01P+(0.035)*0.01×0.059=98.2cm*I, = I yc+a,b,4, = 0 +(-0.035)×0.0745×0.011×0.059 = -169cm矩形II：I," =/" -1×0.011×0.16 =3769 cmI," = /" =×0.16×0.011P=1.78cm*1," =0矩形IⅢI:1," =I'=360.9 cm*1, "="= 98.2 cm4I,"=I,=-169 cm（Ya,b与分图形I均反号）整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为1, =1,+1,"+1,"=1097.3 cm41,=1"+1,"+1"=198cmI, = I,+1," +I," =-338.4 cm（2）将求得的」，，1，「代入式（1-16）得-21.y-2×(-338)=0.752tan 2α。1,-1.1097.3-198则

材 料 力 学 教 案 5 解：（1）首先确定图形的形心。利用平行移轴公式分别求出各矩形对 y 轴和 z 轴 的惯性矩和惯性积 矩形 I 3 2 4 1 2 1 0.059 0.011 0.0745 0.011 0.059 360.9cm 12 1 1 = + =   +   =   I I a A C y y 3 2 4 1 2 1 0.059 0.011 ( 0.035) 0.011 0.059 98.2cm 12 1 1 I = I + b A =   + −   = C z z   4 1 1 1 = 1 1 + = 0 + (−0.035)0.07450.0110.059 = −169cm   I I a b A C C yz y z 矩形 Ⅱ： 0.011 0.16 3769 12 II II 1 3 1 = =   = C y y I I cm4 0.16 0.011 1.78 12 II II 1 3 1 = =   = C z z I I cm4 0 II I yz = 矩形 Ⅲ： 360.9 III = = I y y I I cm4 98.2 III = = I z z I I cm4 169 III = = − I yz yz I I 4 cm （Y a,b 与分图形 I 均反号） 整个图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩和惯性积为 = + + =1097.3     y y y y I I I I cm4 = + + = 198     z z z z I I I I cm4 338.4 II III = + + = −  yz yz yz yz I I I I cm4 （2）将求得的 y I ， z I ， yz I 代入式（Ⅰ-16）得 0.752 1097.3 198 2 2 ( 338) tan 2 0 = − −  − = − − = y z zy I I I  则

α=18.5°或108.5°α。的两个值分别确定了形心主惯性轴y。和z。的位置，则1097.3+1981097.3-1981cos37°-(-338)sin37°=1210 cm1097.3+1981097.3-198cos217°-(-338)sin217°= 85 cm22

第 十 一 讲 6  0 =18.5 或  108.5  0 的两个值分别确定了形心主惯性轴 0 y 和 0 z 的位置，则 cos 37 ( 338 )sin 37 1210 2 1097.3 198 2 1097.3 198 I 0 y − − = − + + =   cm4 cos 217 ( 338 )sin 217 85 2 1097.3 198 2 1097.3 198 I 0 z − − = − + + =   cm4