内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第9讲 圆轴扭转时的变形和刚度条件

材料力学教索第9讲教学方案圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截载面杆扭转时的应力与变内形。容1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。教学掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。2、目3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。的4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。重点本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。难点本节难点：对圆轴变形程度的理解

材 料 力 学 教 案 1 第 9 讲 教学方案 ——圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 本 内 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变 形。 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。 重 点 、 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建 立及相关计算。 本节难点：对圆轴变形程度的理解

进s3-5圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）do=TdGI,所以TIITΦ=[d=(4-17)(rad)dxJoGI.GI.式中GI称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模景与极惯性短乘积。GI,越大，则扭转角越小。7让9=4%/%，为单位长度相对扭角，则有=(rad/m)GI.扭转的刚度条件：9m=l, ≤[0l rad/m)(4-18)二×180 ≤[0] (° /m)或(4-19)Pmar"Gl*元例3-3如图4-13的传动轴，n=500T/min，N,=500马力，N,=200马力，N，=300马力，已知[]=70MPa，[o]-1°/m，G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。解：1）计算外力偶矩N2Nm,=7024N7024(N·m)m =7024=2809.6 (N·m)400200(a)me- 7024-42144 (N m)4214.4N.m作扭矩T图，如图4-13b所示。2）计算直径d7024N·m(b)AB段：由强度条件，图4-13

第 九 讲 2 §3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） GI p Tdx d = 所以 p l 0 p l GI Tl dx GI T = d = =     （rad） （4-17） 式中 GI p 称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。 GI p 越大，则扭转角  越小。 让 dx d  = ，为单位长度相对扭角，则有 GI p T  = （rad/m） 扭转的刚度条件：  =   P max GI T （rad/m） （4-18） 或    =   180 GI T P max （°/m） （4-19） 例 3-3 如图 4-13 的传动轴， n = 500 r/min，N1 = 500 马力， N2 = 200 马力， N3 = 300 马力，已知   = 70 MPa，=1°/m，G = 80 GPa。求：确定 AB 和 BC 段直径。 解： 1）计算外力偶矩 7024 7024 1 = = n N mA （N·m） 7024 2809.6 2 = = n N mB （N·m） 7024 4214.4 3 = = n N mC （N·m） 作扭矩 T 图，如图 4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件

材料力学教索16T≤[]Taw"W."d16T16×7024d,>~80 (mm)=元×70×10%V元[]由刚度条件Tx180° ≤[0]β=Gd元3232×7024×/8032T×180=84.6(mm)d,≥Gn'[0]=80×10x元×l取d,=84.6mmBC段：同理，由扭转强度条件得d,≥67mmd,≥74.5mm由扭转刚度条件得取d,=74.5mmCmomo例3-4如图414所示等直圆杆，已知aaam。=10KN·m，试绘扭矩图。(a)解：设两端约束扭转力偶为ma，m（1）由静力平衡方程Zm=0得(b)ma-mo+mo-mg=0(a)ma=mBo此题属于一次超静定。一m（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠Imo图4-14加法有

材 料 力 学 教 案 3     = =  3 1 max 16 d T W T t   80 70 10 16 16 7024 3 6 3 1      =    T d （mm） 由刚度条件     =    180 32 d G T 4 1 84.6 80 10 1 32 7024 180 G [ ] 32T 180 d 4 9 2 4 1 2 =      =      （mm） 取 d1 = 84.6 mm BC 段：同理，由扭转强度条件得 d2  67 mm 由扭转刚度条件得 d2  74.5 mm 取 d2 = 74.5 mm 例 3-4 如 图 4-14 所 示 等 直 圆 杆 ， 已 知 m0 = 10 KN·m，试绘扭矩图。 解：设两端约束扭转力偶为 mA， mB （1）由静力平衡方程 mx = 0 得 mA − m0 + m0 − mB = 0 mA = mB （a） 此题属于一次超静定。 （2）由变形协调方程（可解除 B 端约束），用变形叠 加法有

第九讲(b)中n =中, -中, +中, =0（3）物理方程-mg-3a-mo'a +m2a(c)中B,=", ΦB, =中BGI,GI,GI,由式（c)，(b）得- moa+ mg-2a_ "g:3a =0GI,"GI,GI,即-mg+2mo-3mg=0并考虑到（a)，结果m,=ma=m13假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示s3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a 所示。当螺旋角α<5°时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力(d)0图4-15爆设弹簧如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪由Q引起的剪应=只，需且认为"均匀分布于横截面上（图410）：荐支整力更另视为直样的我扭转引起的最大应力（图415）一18一岁Q=P，扭短T=_PD。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。4

第 九 讲 4 0 B B1 B2 B3  =  − + = （b） （3）物理方程 p 0 B GI m a 1 −   = ， p 0 B GI m 2a 2 +   = ， p B B GI m 3a 3 −   = （c） 由式（c），（b）得 0 GI m 3a GI m 2a GI m a p B p 0 p 0 =  −  +  − 即 − m0 + 2m0 − 3mB = 0 并考虑到（a），结果 3 m m m 0 A = B = 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图 4-14c 所示。 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 螺旋弹簧如图 4-15a 所示。当螺旋角    5 时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面 内 1．弹簧丝横截面上的应力 如图 4-15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面 上剪力由 Q 引起的剪应力 1 2 4 d P A Q   = = ，而且认为 1  均匀分布于横截面上（图 4-15c）；若将 簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由 T 引起的最大剪应力（图 4-15d） 2 3 3 16 8 d PD d T W T t    = = = Q = P ，扭矩 T PD 2 1 = 。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧

材料力学教索所以在簧丝横截面内侧A点有8PDG1+=^8PD(4-20)Tmx =t,+t,d3+2DJdh=/+d其中(4-21)2D当%</10，略去剪应力t,所引起的误差T<5%，可用近似式8PD(4-22)元d3对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，%的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是Tm ≤[3](4-23)式中：[]一弹簧丝材料的许用剪应力2(b)(c)(a)图4-16弹簧变形2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为入，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功W=P入。簧丝横截面上，距圆心为p的任意点的扭转剪应力为

材 料 力 学 教 案 5 所以在簧丝横截面内侧 A 点有 max 1 2 3 3 8 2 1 8 d PD k D d d PD       =      = + = + （4-20） 其中 2D d k = 1 + （4-21） 当 10 1 D d  ，略去剪应力 1  所引起的误差 0 0   5 ，可用近似式 max 3 d 8PD   = （4-22） 对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧， D d 的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还 要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数 k 的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是     max （4-23） 式中：  —弹簧丝材料的许用剪应力 2. 弹簧的变形 设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为  ，这是弹簧的整 体的压缩（或拉伸）变形。如图 4-16a、b，外力对弹簧做功 P 2 1 W = 。簧丝横截面上，距圆心 为  的任意点的扭转剪应力为

讲- Te-2Pp_ 16PDe(a)T.=ndtnd4Ipi32如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是t_ 128p2D’p?(b)G元'ds2G弹簧的变形能应为U=Judv(c)此处dV=dAds，其中dA=2元p.dp，弹簧丝总长为S=元D·n，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得% 128P*Dp24P’D'nU = πDn [(d).2元pdp=GdtG元'ds由U=WP入，则得到- 8PD"n_ 64PR"n(4-24)GdtGdGdt号是弹簧圈的平均半径。若引入记号c=式中R=8D'n2则式（4-24）可写成1=(4-25)c代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与c成反比，c越大则入越小。例3-5某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径R=59.5mm，簧丝直径d=14mm，有效圈数n=5。G=80GPa。弹簧工作时受Pma=3KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量=4PRn_64×2.5×10(59.5×10-)x5=54x10-3m=54.8mm80×10°(14×10-)4Gd4

第 九 讲 6 4 4 16 32 2 1 d PD d PD I T P        = = = （a） 如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是 2 8 2 2 2 2 128 2 G d P D G u     = = （b） 弹簧的变形能应为  = V U udV （c） 此处 dV = dA ds ，其中 dA = 2  d ，弹簧丝总长为 S =D n，n 为弹簧有效圈数。 于是积分式（c）得 4 2 3 2 d 0 2 8 2 2 2 Gd 4P D n 2 d G d 128P D U = Dn  =        （d） 由 U W P 2 1 = = ，则得到 4 3 4 3 8 64 Gd PR n Gd PD n  = = （4-24） 式中 2 D R = 是弹簧圈的平均半径。若引入记号 D n Gd c 3 4 8 = 则式（4-24）可写成 c P  = （4-25） c 代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见  与 c 成反比， c 越大则  越小。 例 3-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径 R = 59.5mm ，簧丝直径 d =14mm ，有效圈 数 n = 5。G = 80GPa 。弹簧工作时受 P max = 3 KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略 去弹簧曲率的影响） 解：由变形公式求最大压缩量 9 3 4 3 3 3 4 3 80 10 (14 10 ) 64 2.5 10 ( 59.5 10 ) 5 Gd 64PR n − −        = = 54 10 m 54.8mm 3 =  = −

材料力学教案考虑剪切力时d8PD8×2.5×10x2×59.5×10-314Tmar=(1+2D=(1+4×59.5元(14×10-= 1.059×276 = 292MPa不考虑剪力影响时m=276MPa，相差5.9%。由于%=11.8>%lo，还应考虑曲率影响，此处从略。s3-7非圆截面杆的扭转问题O4图4-17郑形栽面杆扭转图4-17c工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。杆件受扭转力慢作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b)。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c)：1）边缘各点的剪应力t与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）Tmx发生在矩形长边中点处，大小为：

材 料 力 学 教 案 7 考虑剪切力时 3 3 3 3 max 3 (14 10 ) 8 2.5 10 2 59.5 10 ) 4 59.5 14 (1 d 8PD ) 2D d (1 − −        = + = +    = 1.059276 = 292MPa 不考虑剪力影响时 276MPa '  max = ，相差 5.9% 。由于 10 11.8 1 D d =  ，还应考虑曲率影 响，此处从略。 §3-7 非圆截面杆的扭转问题 工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图 4-17a。 杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图 4-17b）。 扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维 的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上 剪应力规律如下（图 14-7c）： 1）边缘各点的剪应力  与周边相切，沿周边方向形成剪流。 2） max  发生在矩形长边中点处，大小为：

第 讲W=αhb(4-26)TmarW次大剪应力发生在短边中点，大小为t,=VTma四个角点处剪应力T=0。TL3）杆件两端相对扭转角Φ=GII= βhb?(4-27)其中系数α,β.v与有关，可查表（见有关参考书)。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当>10时，被面成为狭长矩形，此时α=β若以-6-表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为TTmax(4-28)Φ=GL.周4-18其中W=h8，I=h8"，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；8（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍图4-17d按自由扭转处理

第 九 讲 8 k max W T  = ， 2 W k= hb （4-26） 次大剪应力发生在短边中点，大小为 1 max  = v 四个角点处剪应力  = 0。 3）杆件两端相对扭转角  GI k Tl  = ， 2 I k= hb （4-27） 其中系数 , ,v 与 b h 有关，可查表（见有关参考书）。 注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴 公式形式。 当  10 b h 时，截面成为狭长矩形，此时 3 1  =   ，若以  表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为        = = k k max GI Tl W T   （4-28） 其中 2 k h 3 1 W =  ， 3 k h 3 1 I =  ，此时长边 上应力趋于均匀，如图 4-17d 所示。 在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加 载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横 截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示： （1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口 薄壁杆件约束扭转”专题； （2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍 按自由扭转处理

材料案力学教例3-6某柴油机曲轴的曲柄截面I一【可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若b=22mm，h=102mm，已知曲柄所受扭矩为T=281N-m，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面1－「的尺寸求得h =102 =4.64622查表，并利用插入法，求出α=0.287于是得281T = 19.8MPaTmex=ahb30.287x102×10-(22×10)

材 料 力 学 教 案 9 例 3-6 某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图 4-18。在实用计算中， 其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若 b = 22mm ，h =102mm ，已知曲柄所受扭矩 为 T = 281Nm ，试求这一矩形截面上的最大剪应力。 解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得 4.64 22 102 = = b h 查表，并利用插入法，求出 a = 0.287 于是得 ( ) 19.8MPa 0.287 102 10 22 10 281 2 3 3 max 2 =    = = ahb − − T 