内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第26讲 压杆稳定（Ⅰ）

材料力学教案第26讲教学方案压杆稳定（1）一基1.压杆稳定的概念；2.细长杆的临界力；3.欧拉公式本内4.欧拉公式的适用范围；5.临界应力与柔度。容6.扩展内容：工程结构稳定破坏简介

材 料 力 学 教 案 第 26 讲 教学方案 —— 压杆稳定（Ⅰ） 基 本 内 容 1．压杆稳定的概念；2.细长杆的临界力；3.欧拉公式； 4．欧拉公式的适用范围；5. 临界应力与柔度。 6. 扩展内容：工程结构稳定破坏简介

第十六教学1了解受压杆件的失稳，可导致整个机器或结构的损坏。2 2．通过对本章的学习，理解平衡、不平衡的稳定性与压杆失稳目的的概念，理解并能熟练地应用细长压杆的临界载荷－欧拉公式、超过比例极限时压杆的临界力一经验公式，临界应力总图。掌握压杆稳定性设计的步骤、提高压杆稳定性的措施。1、压杆稳定的基本概念；重2、细长压杆临界荷载的欧拉公式及其应用。重点讲解中心点受压直杆失稳概念、实际压杆与中心受压直杆的区别、强度破难坏与失稳破坏的区别。重点：压杆稳定的概念；欧拉公式。点3．难点：欧拉公式的推导。4：要求：掌握压杆稳定的概念；熟练使用欧拉公式；掌握欧拉公式的推导方法。本次教学计划学时：2学时。教学采用实例演示，先让学生按强度条件计算承压，然后演示不安排大的压力就把尺压弯，通过对两个力大小比较，引导学生注意到稳定性问题。通过实例演示，可采用提问方式，让学生回答如何才能让卡片纸上端可放的住一些小重物。大多数学生都会想到通过改变卡片横截面形状来提高卡片承压能力。让学生进一步意识到改变受压杆件弯曲刚度可提高其承压能力

第 二 十 六 讲 教 学 目 的 1． 了解受压杆件的失稳，可导致整个机器或结构的损坏。 2． 通过对本章的学习，理解平衡、不平衡的稳定性与压杆失稳 的概念，理解并能熟练地应用细长压杆的临界载荷－欧拉公 式、超过比例极限时压杆的临界力—经验公式，临界应力总 图。掌握压杆稳定性设计的步骤、提高压杆稳定性的措施。 重 点 、 难 点 1、压杆稳定的基本概念； 2、细长压杆临界荷载的欧拉公式及其应用。重点讲解中心 受压直杆失稳概念、实际压杆与中心受压直杆的区别、强度破 坏与失稳破坏的区别。 重点：压杆稳定的概念；欧拉公式。 3． 难点：欧拉公式的推导。 4． 要求：掌握压杆稳定的概念；熟练使用欧拉公式；掌握 欧拉公式的推导方法。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 采用实例演示，先让学生按强度条件计算承压，然后演示不 大的压力就把尺压弯，通过对两个力大小比较，引导学生注意到 稳定性问题。通过实例演示，可采用提问方式，让学生回答如何 才能让卡片纸上端可放的住一些小重物。大多数学生都会想到通 过改变卡片横截面形状来提高卡片承压能力。让学生进一步意识 到改变受压杆件弯曲刚度可提高其承压能力

材料力学教案第九章压杆稳定s9-1压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a)，致使结构丧失承载能力：又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c)。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或属曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎图15-1 受压构件的失稳现象拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原INT来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡N=WN=W是不稳定的。(a)(b)受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。例如，图15-3a图 15-2 稳定平街与不稳定平街所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力P小于某一临界值P。时，杆件的直线平衡形式是稳定的。此时，PPar杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b)；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直干扰力线平衡位置（图15-3c）。但当压力P超过临界值P。时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形TT式下保持平衡（图15-3d)，这表明原有的直线平衡形式(b)(a)(c)(d)是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定图15-3压杆的平衡形式与临界力的关系

材 料 力 学 教 案 第九章 压杆稳定 §9-1 压杆稳定的概念 构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超 过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图 15-1a），致使结构丧失承载能力；又 如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式 将突然变为弯曲和扭转（图 15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不 能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图 15-1c）。上述各种关于平衡形式 的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工 程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在 有压力存在时，都可能发生失稳。 由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性 也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事 故。如 1907 年加拿大劳伦斯河上，跨长为 548 米的奎 拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类 事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。 “稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如， 图 15-2a 所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微 小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原 来的平衡位置。图 15-2b 所示处于凸面的球体，当球受到微小 干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡 是不稳定的。 受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。例如，图 15-3a 所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力 P 小于某 一临界值 Pcr 时，杆件的直线平衡形式是稳定的。此时， 杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产 生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直 线平衡位置（图 15-3c）。但当压力 P 超过临界值 Pcr 时， 撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形 式下保持平衡（图 15-3d），这表明原有的直线平衡形式 是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定

平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用P。表示为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提高压杆承载能力的措施。s9-2两端铰支细长压杆的临界力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI，杆件长度1和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。PP两端铰支中心受压的直杆如图15-4a所示。设压杆处雄NT于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b所示。P建立-x坐标系，任意截面（x）处的内力（图15-4c）M为M= PvN = P(压力),P在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程(b)(a)()d?yM“一号，得到图15-4两璃铰支压杆的失稳d?yPdx?EI令k?=，得微分方程d'y.+h'v=0(a)此方程的通解为V = Asin kx+ Bcos kx利用杆端的约束条件，x=0,v=0，得B=0，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：v= Asin kx(b)

第 二 十 六 讲 平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用 Pcr 表示。 为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其 极限承载能力。可见，临界力的确定是非常重要的。 本章主要讨论中心受压直杆的稳定问题。研究确定压杆临界力的方法，压杆的稳定计算和提 高压杆承载能力的措施。 §9-2 两端铰支细长压杆的临界力 根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响 弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度 EI ，杆件长度 l 和两端的约束情况，都会影响压杆的临界 力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例， 说明确定临界力的基本方法。 两端铰支中心受压的直杆如图 15-4a 所示。设压杆处 于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图 15-4b 所示。 建立 v − x 坐标系，任意截面（ x ）处的内力（图 15-4c） 为 N = P(压力), M = Pv 在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程 EI M dx d v = − 2 2 ，得到 v EI P dx d v = − 2 2 令 EI P k = 2 ，得微分方程 0 2 2 2 + k v = dx d v （a） 此方程的通解为 v = Asin kx+ Bcoskx 利用杆端的约束条件， x = 0, v = 0 ，得 B = 0 ，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数： v = Asin kx （b）

材料力学教案利用约束条件，x=1,v=0，得Asin kl=0这有两种可能：一是A=0，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是kl=nπ，n=1、2、3.。由此得出相应于临界状态的临界力表达式P=n'aE12实际工程中有意义的是最小的临界力值，即n=1时的P。值：P=R'EI(15-1)12此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的P。也称为欧拉临界力。此式表明，P与抗弯刚度（EI）成正比，与杆长的平方（12）成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的I应为截面最小的形心主轴惯性矩。将k=代入式（b）得压杆的挠度方程为V= Asin Zx(c)1在x=%处，有最大挑度m=A。在上述分析中，的值不能确定，其与P的关系A曲线如图15-5中的水平线AA所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的：如采用挠曲线的精确微分方程，则得P-Vmx曲线如图15-5中AC所示。这种P-Vmx曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当P<P时，压杆只有一条平衡路径OA，它对应着直线平衡形式。当图15-5压杆的P-Dmax关系曲线P≥P。时，其平衡路径出现两个分支（AB和AC)，其中一个分支（AB）对应着直线平衡形式，另一个分支（AC）对应着弯曲平衡形式。前者是不稳定的，后者是稳定的。如AB路径中的D点一经干扰将达到AC路径上同一P值的E点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的P值即为临界力P，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压真杆的情况。对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是

材 料 力 学 教 案 利用约束条件， x = l, v = 0 ，得 Asin kl = 0 这有两种可能：一是 A = 0 ，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡 形式）不符；二是 kl = n π， n = １、２、３.。由此得出相应于临界状态的临界力表达 式 2 2 2 l n EI Pcr  = 实际工程中有意义的是最小的临界力值，即 n =1 时的 Pcr 值： 2 2 l EI Pcr  = （15-1） 此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的 Pcr 也称为欧拉临界力。此 式表明， Pcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比，与杆长的平方（ 2 l ）成反比。压杆失稳时，总是 绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束）， 式（15-1）中的 I 应为截面最小的形心主轴惯性矩。 将 l k  = 代入式（ b ）得压杆的挠度方程为 l x v A  = sin （c） 在 2 l x = 处，有最大挠度 vmax = A。 在上述分析中， max v 的值不能确定，其与 P 的关系 曲线如图 15-5 中的水平线 AA' 所示，这是由于采用挠曲 线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分 方程，则得 max P − v 曲线如图 15-5 中ＡＣ所示。这种 max P − v 曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的 稳定性及失稳后的特性。可以看出，当 P < Pcr 时，压杆 只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。当 P  Pcr 时，其平衡路径出现两个分支（AＢ和 AＣ），其 中一个分支（AＢ）对应着直线平衡形式，另一个分支（AＣ）对应着弯曲平衡形式。前者 是不稳定的，后者是稳定的。如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一 P 值的 E 点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的 P 值即为 临界力 Pcr ，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。 对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是

讲存在的，为非理想受压真托。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图 15-5中的O FGH曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力P<Pmx，处于路径OFG段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降路径GH段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。压力Pmx称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力P。小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近Pr。因P。的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。69-3不同杆端约束情况压杆的临界力A··R(c)(a)(b)图15-6不同杆端约束的压杆失稳后的挑曲线形状用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：D一端固定、一端自由的压杆（图15-6a）元?EIP. =(21)2）两端固定的压杆（图15-6b）元”EIPar(0.51)23）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c）元EIP."(0.7T)

第 二 十 六 讲 存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图 15-5 中的ＯＦＧ Ｈ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳 定与不稳定之分。当压力 P < Pmax ，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微 增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如 已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。而下降 路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能 维持平衡而被压溃。压力 Pmax 称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力 Pcr 小，且随 压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近 Pcr 。因 Pcr 的计算比较简单，它对非 理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。 §9-3 不同杆端约束情况压杆的临界力 用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下： 1）一端固定、一端自由的压杆（图 15-6a） 2 2 (2l) EI Pcr  = 2）两端固定的压杆（图 15-6b） 2 2 (o.5l) EI Pcr  = 3）一端固定、一端铰支的压杆（图 15-6c） 2 2 (0.7l) EI Pcr  

材料力学教索综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为P-'El(15-2)(ul)式中，μ1称为相当长度。u称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支μ=1一端自由一端固定、μ=2两端固定μ = 0.5~0.7一端固定、一端铰支由此可知，杆端的约束愈强，则μ值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则μ值愈大，压杆的临界力愈低。事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。从15-6中挠曲线形状可以看出：长为1的一端固定、另端自由的压杆，与长为21的两端铰支压杆相当；长为1的两端固定压杆（其挑曲线上有A、B两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.51的两端铰支压杆相当；长为1的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.71的两端铰支压杆相当。需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种μ值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，μ值一般在0.5与1之间通常将μ值取接近于1。对于工程中常用的支座情况，长度系数μ可从有关设计手册或规范中查到

材 料 力 学 教 案 综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为 2 2 ( l) EI Pcr   = （15-2） 式中，  l 称为相当长度。  称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响： 两端铰支  = 1 一端固定、一端自由  = 2 两端固定  = 0.5 一端固定、一端铰支   0.7 由此可知，杆端的约束愈强，则  值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则  值 愈大，压杆的临界力愈低。 事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果 将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求 出它们的临界力。从 15-6 中挠曲线形状可以看出：长为 l 的一端固定、另端自由的压杆， 与长为 2l 的两端铰支压杆相当；长为 l 的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点， 该处弯矩为零），与长为 0.5l 的两端铰支压杆相当；长为 l 的一端固定、另端铰支的压杆， 约与长为 0.7l 的两端铰支压杆相当。 需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定 问题。另外，上述各种  值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的， 例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，  值一般在 0.5 与 1 之间， 通常将  值取接近于 1。对于工程中常用的支座情况，长度系数  可从有关设计手册或规 范中查到