内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第22讲 应力状态理论习题课（Ⅳ）

材料力学教第22讲教学方案应力状态理论习题课（IV）基本内容应力状态理论习题课

材 料 力 学 教 案 第 22 讲 教学方案 —— 应力状态理论习题课（Ⅳ） 基 本 内 容 应力状态理论习题课

第二十二讲1.掌握平面一般应力状态分析-解析法。教学2.会应用解析法确定一点应力状态中的主应力、主方向、主目剪应力、主剪平面方位及任意给定方位截面上的应力数值。的3.掌握用应力圆求任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面的位置的具体方法。掌握极点法，明确极点法的优越性。4.应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。1．重点掌握平面一般应力状态分析一解析法。重点2重点掌握平面一般应力状态分析图解法。难3.掌握极点法，明确极点法的优越性。点4：难点是应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：教学1.解析法、图解法及图解法中的极点法到底各具备什么样的安优、缺点？排2.如何应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。利用该方法解题的关键问题在什么地方？3.为什么说应力状态理论给描述材料破坏学说的强度理论打下了理论基础？

第 二 十 二 讲 教 学 目 的 1. 掌握平面一般应力状态分析——解析法。 2．会应用解析法确定一点应力状态中的主应力、主方向、主 剪应力、主剪平面方位及任意给定方位截面上的应力数值。 3．掌握用应力圆求任意斜截面上的应力、主应力和确定主平面 的位置的具体方法。掌握极点法，明确极点法的优越性。 4．应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握平面一般应力状态分析——解析法 。 2. 重点掌握平面一般应力状态分析——图解法 。 3. 掌握极点法，明确极点法的优越性。 4. 难点是应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 解析法、图解法及图解法中的极点法到底各具备什么样的 优、缺点？ 2.如何应用广义胡克定律来解决应力分析与应变分析问题。 利用该方法解题的关键问题在什么地方？ 3．为什么说应力状态理论给描述材料破坏学说的强度理论打 下了理论基础？

材料力学教案例7-3图a所示为内压薄壁圆筒。水压破坏实验的结果表明，当材料为压力容器用钢时，破坏截面的断口形状如图b所示；当材料为铸铁时，破坏截面的断口形状如图所示。试分析其破坏原因。DOe(a)题图9-10aD例图9-1解：对内压薄壁圆筒，破坏处的应力状态如图d所示，有c,=PD25,0,=PD4sg，=0。对于钢材（塑料材料）最大剪应力导致其届服并进一步剪断，此时断口如图e所示与,= PD/%s，，=0作用面成45°的面上（图）有01-0,_PDTmx=T13=482对于铸铁（脆性材料），最大拉应力导致其脆断，此时断口如图c所示，与，作用面垂直的面上（图f）有PDCmx=_=28例7-4图a所示为A3钢所制摇臂，截面为工字形。已知p=3KN，1=60mm，h=30mm，b=20mm,8=4mm,1=2mm,1,=2.92×10°mmW=1.94×10°mm2，[]-160MPa。试校核截面B的强度。解：（1）B截面内力，危险点应力计算Q=p=3×103N,M=3×103×60×10-=180N.mB截面上α、T分布如图b、c所示，可能危险点为C，D，E，相应应力状态如图d。c点为单向拉伸应力状态：

材 料 力 学 教 案 例 7-3 图 a 所示为内压薄壁圆筒。水压破坏实验的结果表明，当材料为压力容器用钢时，破坏 截面的断口形状如图 b 所示；当材料为铸铁时，破坏截面的断口形状如图 c 所示。试分析其破坏 原因。 解：对内压薄壁圆筒，破坏处的应力状态如图 d 所示，有   2 1 = PD ，   4 2 = PD ，  3 = 0 。对于钢材（塑料材料）最大剪应力导致其屈服并进一步剪断，此时断口如图 e 所示 与   2 1 = PD ， 3 = 0 作用面成 o 45 的面上（图 e）有      2 4 1 3 max 13 PD = − = = 对于铸铁（脆性材料），最大拉应力导致其脆断，此时断口如图 c 所示，与  1 作用面垂直的面上 （图 f）有    2 max 1 PD = = 例 7-4 图 a 所示为 A3 钢所制摇臂，截面为工字形。已知 p =3KN，l =60mm，h =30mm， b =20mm， =4mm，t =2mm， z I = 4 4 2.9210 mm 3 3 Wz =1.9410 mm ，[ ] = 160MPa 。试校核截面 B 的强度。 解：（1）B 截面内力，危险点应力计算 3 10 N 3 Q = p =  ， 3 10 60 10 180 N m 3 3 =    =  − M B 截面上  、 分布如图 b、c 所示，可能危险点为 C，D，E，相应应力状态如图 d。c 点为单 向拉伸应力状态：

180M= 92.8x10° Pa = 92.8MPa0, =0mx :W.1.94×10-6D点为纯剪应力状态，其静矩Sm和Tt分别为5m-ba+-0)~-20x4x 304+(-4)×2252222=1161mm2=1161x10-m2QSmx3×103×1161×10-99596×10 Pa=596MaTmextl.E点的正应力与剪应力分别为180×(20 4)×10-31CMyE= 67.8×10° Pa = 67.8MPaE=2.92×10-8I.庄KDa(b)()例图9-2

第 二 十 二 讲 92.8 10 Pa 92.8MPa 1.94 10 180 6 max 6 =  =  = = = − z c W M   D 点为纯剪应力状态，其静矩 max S 和 max  分别为 3 9 3 2 2 max 1161mm 1161 10 m 4) 2 2 30 ( 2 1 2 30 4 ) 20 4 2 ( 2 1 2 − = =  + −  − + − =   − = t h h S b    59.6 10 Pa 59.6MPa 2 10 2.92 10 3 10 1161 10 6 3 8 3 9 max max =  =       = = − − − z t I QS  E 点的正应力与剪应力分别为 67.8 10 Pa 67.8MPa 2.92 10 4) 10 2 30 180 ( 6 8 3 =  =   −  = = − − z E E I My 

家才料力学教_3 10 20420~ 0~O(boxh-)OSTE2×10-×2.92×10-8tl.t= 53.4×10° Pa = 53.4MPa（2）强度校核对 C点 0mx =92.8MPa<[0]=160MPa对 D点 Tmx =59.6MPa<[1]=16% =80MPaCRPONARPEA例图9-3对E点，可选用第三或第四理论第三、o+4t=V67.8°+4×53.42=126.5MPa<[0]第四、+3t=V67.8°+3×53.43=114.7MPa<[o]说明对于非标准的工字形梁，包括用三块钢板焊接而成的组合工字梁，除校核mxm外还应用强度理论校核腹板与翼缘交界处的点，因该点正应力、剪应力都足够大。从本例看此点是三个可能危险点中工作应力最大的。但对于标准型钢（如工字纲、槽钢），由于设计中让翼缘有1：6的斜度，与腹板交界处又有圆角，所以一般情况下E点可以不作为危险点来校核。例7-5图a所示为T字形截面铸铁。已知抗拉许用应力[α],=30MPa，抗压许用应力[o]=160MPa，截面的形心惯性矩1.=763×10-m*，形心y=52mm。试校核此梁的强度。解：按受力情况作弯矩图（图b)。由此分别画出C、B截面上正应力分布图（图c)。由此可知，对于铸铁梁可能危险点有：最大拉应力可能发生在B截面上缘（M=-4KN-m）和C

材 料 力 学 教 案 53.4 10 Pa 53.4MPa 2 10 2.92 10 ) 10 2 30 4 ) 3 10 (20 4 2 ( 6 3 8 3 9 =  =     −     = −  = = − − − z z E E t I h Q b t I QS    （2）强度校核 对 C 点 92.8MPa [ ] 160MPa  max =   = 对 D 点 80MPa 2 160 59.6MPa [ ]  max =   = = 对 E 点，可选用第三或第四理论 第三、 4 67.8 4 53.4 126.5MPa [ ] 2 2 2 2  E +  E = +  =   第四、 3 67.8 3 53.4 114.7MPa [ ] 2 2 2 2  E +  E = +  =   说明 对于非标准的工字形梁，包括用三块钢板焊接而成的组合工字梁，除校核  max 、 max  外还 应用强度理论校核腹板与翼缘交界处的点，因该点正应力、剪应力都足够大。从本例看此点是三 个可能危险点中工作应力最大的。但对于标准型钢（如工字纲、槽钢），由于设计中让翼缘有 1： 6 的斜度，与腹板交界处又有圆角，所以一般情况下 E 点可以不作为危险点来校核。 例 7-5 图 a 所示为 T 字形截面铸铁。已知抗拉许用应力 [ ] = 30MPa  t ，抗压许用应力 [ ] = 160MPa  c ，截面的形心惯性矩 8 4 763 10 m − I z =  ，形心 y1 = 52mm 。试校核此梁的强 度。 解：按受力情况作弯矩图（图 b）。由此分别画出 C、B 截面上正应力分布图（图 c）。由此 可知，对于铸铁梁可能危险点有：最大拉应力可能发生在 B 截面上缘（ MB = −4KNm ）和 C

讲截面下缘（Mc=2.5KNm）：最大压应力必发生在B截面下缘：B截面上翼缘和腹板交界处由于拉应力和剪应力都相对较大，因而也可能是危险点。（1）由截面尺寸可计算几何性质量：截面形心位置y=52mm，形心惯性矩1,=763x10m翼缘与腹板交界处的静矩Sz=67.2×10m（2）计算可能危险面上应力B截面上最大拉应力0/ = M_4×10 ×52×10-= 27.2 ×10° Pa = 27.2MPa763×10-81:B截面上最大压应力4×10°(120+20-52)×10-MBy2oB= 46.2 MPa763×10-81.C截面上最大拉应力= M.y2= 2.5×10 (120 +20 -52)×10-3=28.8MPaof=763×101:B截面上交界处的拉应力与剪应力Ms_4×10(52-20)×10-= 16.8 MPaa.763 ×108S_ 6.5×10 ×67.2×10-6 2.86 MPa20×10-×763×10-bl.（3）强度校核C截面上具有单向拉伸应力状态，满足α<[o],=30MPaB截面上具有单向压缩应力状态，满足α<[o]=160MPaB截面上交界处具有平面应力状态，主应力为-168 ±18) +2.86 =17.3,0.47MPa, 0, =001.3 22此为拉应力占优的混合型应力状态，可选用第一强度理论

第 二 十 二 讲 截面下缘（ MC = 2.5KNm ）；最大压应力必发生在 B 截面下缘；B 截面上翼缘和腹板交界处 由于拉应力和剪应力都相对较大，因而也可能是危险点。 （1）由截面尺寸可计算几何性质量： 截面形心位置 y1 = 52mm ，形心惯性矩 8 4 763 10 m − I z =  翼缘与腹板交界处的静矩 * 6 3 67.2 10 m − SZ =  （2）计算可能危险面上应力 B 截面上最大拉应力 27.2 10 Pa 27.2MPa 763 10 4 10 52 10 6 8 3 3 1 =  =     = = − − z B B t I M y  B 截面上最大压应力 46.2MPa 763 10 4 10 (120 20 52) 10 8 3 3 2 =   + −  = = − − z B B c I M y  C 截面上最大拉应力 28.8MPa 763 10 2.5 10 (120 20 52) 10 8 3 3 2 =   + −  = = − − z c c t I M y  B 截面上交界处的拉应力与剪应力 16.8MPa 763 10 4 10 (52 20) 10 8 3 3 =   −  = = − − z B t I M y  2.86 MPa 20 10 763 10 6.5 10 67.2 10 3 8 * 3 6 =       = = − − − z z bI QS  （3）强度校核 C 截面上具有单向拉伸应力状态，满足  [ ] = 30 MPa t c  t  B 截面上具有单向压缩应力状态，满足  [ ] = 160 MPa c B  c  B 截面上交界处具有平面应力状态，主应力为 ) 2.86 17.3, 0.47MPa 2 16.8 ( 2 16.8 2 2  1,3 =  + = − ， 2 = 0 此为拉应力占优的混合型应力状态，可选用第一强度理论

材料力学教索0, =17.3MPa<30 MPa如果选用莫尔强度理论，则有- 0], 0 =17.3 - %(-0.47)=17.430MPa9-[α].160可见与第一理论结果差别不大。结论：此铸铁梁安全。要点讨论由例3、4、5对强度计算步骤和注意事项总结如下：一般情况下，可根据构件的材料选用合适的强度理论；-2.对构件进行受力分析，根据内力图分析可能危险面，根据危险面上应力分布，找出可能危险点，并画出他们相应的应力状态（微元体），计算有关应力分量，对复杂应力状态计算其主应力：3.对危险点按选用的强度理论作强度校核或强度计算。特别注意不要漏掉可能的危险点和选错强度理论

材 料 力 学 教 案 17.3MPa 30MPa 1 =  如果选用莫尔强度理论，则有 ( 0.47) 17.4 30 MPa 160 30 17.3 [ ] [ ] 1 −  3 = − − =     c t 可见与第一理论结果差别不大。结论：此铸铁梁安全。 要点讨论 由例 3、4、5 对强度计算步骤和注意事项总结如下： 1．一般情况下，可根据构件的材料选用合适的强度理论； 2．对构件进行受力分析，根据内力图分析可能危险面，根据危险面上应力分布，找出可能 危险点，并画出他们相应的应力状态（微元体），计算有关应力分量，对复杂应力状态计算其主 应力； 3．对危险点按选用的强度理论作强度校核或强度计算。特别注意不要漏掉可能的危险点和选错 强度理论