内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第8讲 圆轴扭转时的应力和强度条件

材料力学教案第8讲教学方案圆轴扭转时的应力和强度条件基本内容圆轴扭转时的应力计算、强度条件的建立与强度计算。1、掌握圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法教学2、理解圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。目3、掌握圆轴扭转时的强度条件，利用强度条件进行相关计算。的熟知圆轴和空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面系数。4、重点本节重点：圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。·难点本节难点：圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用

材 料 力 学 教 案 1 第 8 讲 教学方案 ——圆轴扭转时的应力和强度条件 基 本 内 容 圆轴扭转时的应力计算、强度条件的建立与强度计算。 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。 2、理解圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。 3、掌握圆轴扭转时的强度条件，利用强度条件进行相关计算。 4、熟知圆轴和空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面系数。 重 点 、 难 点 本节重点：圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。 本节难点：圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用

第讲S3-4圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆简相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：（1）各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变：(2）由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线：因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-9a取出图4-9b所示微段dx其中两截面 PP.99相对转动了扭转o角d，纵线ab倾斜小角度成为ab，而在半径p(od)处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd图4-9平面假设及变形儿何关系（其相应倾角为。，见图4-9c）由于是小变形，从图4-9c可知：da"=r,dx=pdg。于是dd(a)Yp=Pdx对于半径为R的圆轴表面（见图4-9b），则为Y=Rdp(b)dx2物理关系与受扭薄壁圆筒相同，在半径为p处截出厚为dp的薄圆筒（图4-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图49c此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得,=r,G=Gpde(c)dx图4-10剪应力分布图

第 八 讲 2 §3-4 圆轴扭转时的应力和强度条件 1． 平面假设及变形几何关系 如图 4-9a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成 一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律： (1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度  ，认为仍为直线；因而各小方格变形 后成为菱形。 平面假设：变形前横截面为圆 形平面，变形后仍为圆形平面，只 是各截面绕轴线相对“刚性地”转 了一个角度。 从图 4-9a 取出图 4-9b 所示微段 dx , 其中两截面 pp,qq 相对转动了扭转 角 d  ,纵线 ab 倾斜小角度  成为 ab’，而在半径  ( od )处的纵线 cd 根据平面假设，转过 d  后成为 cd’ （其相应倾角为   ，见图 4-9c）由于是小变形，从图 4-9c 可知： dd rdx d ' = =  。于是 dx d   =  （a） 对于半径为 R 的圆轴表面（见图 4-9b），则为 dx d R   = （b） 2． 物理关系 与受扭薄壁圆筒相同，在半径为  处截出厚为 d  的薄圆筒（图 4-9b），用一对相距 dy 而相交于轴 线的径向面取出小方块（正微六面体）如图 4-9c 此为 受纯剪切单元体。 由剪切胡克定理和式（a）得 dx d G G    =   =  （c）

材料力学教索这表明横截面上任意点的剪应力t。与该点到圆心的距离p成正比，即T,αp当p=0,t。=0：当p=R，t，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3.静力平衡关系在图4-11所示平衡对象的横截面内，有dA=2元p·dp，扭短T=「ptdA，由力偶矩平衡条件Zm。=0，得T=m-J,pf,d4-L,pa=L,p'dsO图4-11静力平等关系令I,=J,p'dA(4-9)此处d/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。1,为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m*或cm*。则Tdd_T=Gde,或(4-10)dpdxGI,（4-10）式代回（c）式，得fo0(4-11)1p则在圆截面边缘上，p为最大值R时，得最大剪应力为TR_T(4-12)Tmx"W3

材 料 力 学 教 案 3 这表明横截面上任意点的剪应力   与该点到圆心的距离  成正比，即     当  = 0,  = 0 ；当  = R ，   取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿 半径剪应力的分布如图 4-10。 3．静力平衡关系 在图 4-11 所示平衡对象的横截面内，有 dA = 2  d ，扭矩  = A T  dA ，由力偶矩平衡 条件 mo = 0 ，得    = = = = A A A dA dx d dA G dx d T m dA G 2 2       令  = A I p dA 2  （4-9） 此处 d  /dx 为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。 p I 为几何性质量，只与 圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为 m4 或 cm4。 则 p I dx d T G  = 或 GI p T dx d =  （4-10） （4-10）式代回（c）式，得 p I T   = （4-11） 则在圆截面边缘上，  为最大值 R 时，得最大剪应力为 Wt T I TR p  max = = （4-12）

第讲w-^此处(4-13)W,称为抗扭截面系数，单位为m或cm。由此得圆轴扭转强度条件m[(4-14)注意到此处许用剪应力[]不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力t。除以安全系数n得到，与拉伸时相类似：[]=J, /n，塑性材料ltg/n，脆性材料t：Tb由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料T=(0.5 ~ 0.6)o,脆性材料t,=(0.8 ~ 1.0)gb4.I、W计算dA= 2元p.dp对实心圆轴[,,p'4--2p32(4-15)W, =76对空心圆轴r(D* - d*)_ 元D4[,=J,p'd4= p-2plp=32(1-α)32(4-16)r(D-dl)Ip_元D3W,:-(1-α'),[ α=%D/2 16D16

第 八 讲 4 此处 R I W p t = （4-13） Wt 称为抗扭截面系数，单位为 m3 或 cm3。 由此得圆轴扭转强度条件  =    Wt T max （4-14） 注意到此处许用剪应力[  ]不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力 o  除以安全系 数 n 得到，与拉伸时相类似：    = = 脆性材料 塑性材料 b b o s s n n n / / [ ]      s  b 由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指 标有如下统计关系： 塑性材料 s s  = (0.5 ~ 0.6 ) 脆性材料 b b  = (0.8 ~ 1.0 ) 4. p I 、Wt 计算 对实心圆轴 dA = 2  d        = = = =  =   16 D 2 D I W 32 D I dA 2 d 3 p t 4 0 2 2 D A 2 p        （4-15） 对空心圆轴 ( ) ( )         = − = − = = = − − = =  =   D d D D D d D I W D d D I dA d p t D p A d             (1 ), 2 16 16 (1 ) 32 32 2 4 4 4 3 4 4 4 4 2 2 2 2 （4-16）

材料力学教案例3-2AB轴传递的功率为N=7.5kW，转速n=360r/min。如图4-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：（1）计算扭矩轴所受的外力偶矩为m=9550=955075=199N.m360由截面法T = m=199N m（2）计算极惯性矩AC 段和 CB段轴横截面的极惯性矩分别为元D47.95cm*n2Ip=(D*-d')=6.38cm*图4-12（3）计算应力AC段轴在横截面边缘处的剪应力为TDTMCTAC= 37.5×10°Pa= 37.5MPaIp/2TA-0CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为二.号=31.2×10° Pa= 31.2 MPaTCB-TSB:Ip2 2二.D= 46.8×10°Pa=46.8MPaMCB=TCBIp22

材 料 力 学 教 案 5 例 3-2 AB 轴传递的功率为 N = 7.5kW ，转速 n = 360r/min 。如图 4-12 所示，轴 AC 段 为实心圆截面，CB 段为空心圆截面。已知 D = 3cm，d = 2cm 。试计算 AC 以及 CB 段的最大 与最小剪应力。 解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为 199 N m 360 7.5 = 9550 = 9550 =  n N m 由截面法 T = m =199Nm （2）计算极惯性矩 AC 段和 CB 段轴横截面的 极惯性矩分别为 4 4 1 7.95cm 32 = = D I P  ( ) 4 4 4 2 6.38cm 32 I P = D − d =  （3）计算应力 AC 段轴在横截面边缘处的剪应 力为 0 37.5 10 Pa 37.5 MPa 2 D I T AC min 6 P1 AC AC max = = =  =  =    外 CB 段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为 31.2 10 Pa 31.2 MPa 2 d I T 6 P2 CB CB  min =  内 =  =  = 46.8 10 Pa 46.8 MPa 2 D I T 6 P2 CB CB  max =  外 =  =  =