内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第18讲 弯曲变形（Ⅱ）

材料力学教案第18讲 教学方案弯曲变形（Ⅱl）一基本内店1．求弯曲变形的叠加法。容2．提高梁的抗弯刚度措施1.要求会应用叠加法求复杂外力作用或复杂结构状态下的指教学定截面处的位移。目2．了解小挠度近似微分方程，反映了梁微段受力与变形的关系的是叠加原理的理论基础。3．应用提高梁的抗弯刚度措施来解决梁设计中三方面问题。1重点掌握应用叠加法求梁指定截面的位移。重点2掌握提高梁的抗弯刚度的每一项措施的理论根据。难3掌握用变形比较法求解简单静不定梁。点难点是安全系数法与稳定系数法的应用。4本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：教学安1.在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形并且忽略剪力的影响、平面假设仍然成立会给计算结果带来多排大的影响。2.注意梁的挠度曲线既与受力有关，又与梁的支承条件有关。3.提高梁的刚度的主要措施如何综合利用？

材 料 力 学 教 案 第 18 讲 教学方案 —— 弯曲变形（Ⅱ） 基 本 内 容 1. 求弯曲变形的叠加法。 2. 提高梁的抗弯刚度措施。 教 学 目 的 1. 要求会应用叠加法求复杂外力作用或复杂结构状态下的指 定截面处的位移。 2. 了解小挠度近似微分方程，反映了梁微段受力与变形的关系 是叠加原理的理论基础。 3. 应用提高梁的抗弯刚度措施来解决梁设计中三方面问题。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握应用叠加法求梁指定截面的位移 。 2. 掌握提高梁的抗弯刚度的每一项措施的理论根据。 3. 掌握用变形比较法求解简单静不定梁。 4. 难点是安全系数法与稳定系数法的应用。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽 略剪力的影响、平面假设仍然成立会给计算结果带来多 大的影响。 2.注意梁的挠度曲线既与受力有关，又与梁的支承条件有关。 3.提高梁的刚度的主要措施如何综合利用？

讲+s6-4用叠加法求弯曲变形在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果（表7-1（孙训芳教材P.224表6.1))，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是登叠加法。例 6-2车床主轴如图a所示。在图示平面内，已知切削力P=2kN，啮合力P=1kN：主轴的外径D=80mm，内径d=40mm，1=400mma=200mm；C处的许用挠度[]=0.0001]，轴承B处的许用转角[0]=0.001rad；材料的弹性模量E=210GPa。试校核其刚度。解：将主轴简化为如图b所示的外伸梁，外伸部分的抗弯刚度EI近似地视为与主轴相同)(00)(d)（1）计算变形主轴横截面的惯性矩为例7-2图I=(D -d')-(80*-40)=1885000mm*=1885x10-9m由表7-1查得，因P而引起的C端的挠度和截面B的转角（图c）分别为：Pa(+a)(ve)p =3EI2×10×2002×10-6= 0.0404×10-3 m= 0.0404mmP,al_2×103×200×10-3×400×10-3= 0.1347×10- rad(0b)p =3EI3×210×10×1885×10-9因P,而引起的截面B的转角（图d）为P,121×103 ×400°×10-6=-0.0253×10- rad(0B)A16×210×10×1885×10-%16EI

第 十 八 讲 §6-4 用叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠 度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关 系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种 简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果 （表 7-1（孙训芳教材 P.224 表 6.1）），叠加后得到梁 在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。 例 6-2 车床主轴如图 a 所示。在图示平面内， 已知切削力 P1 = 2kN ，啮合力 P2 =1kN ；主轴的外 径 D = 80mm ，内径 d = 40mm ， l = 400mm ， a = 200mm ； C 处的许用挠度 [v] = 0.0001l ，轴承 B 处的许用转角 [ ] = 0.001rad ；材料的弹性模量 E = 210GPa 。试校核其刚度。 解：将主轴简化为如图 b 所示的外伸梁，外伸部 分的抗弯刚度 EI 近似地视为与主轴相同。 （1）计算变形 主轴横截面的惯性矩为 ( ) ( ) 4 9 4 4 4 4 4 1885000mm 1885 10 m 80 40 64 64 − = =  = − = −   Ⅰ D d 由表 7-1 查得，因 P1 而引起的 C 端的挠度和截面 B 的转角（图 c）分别为： (l a) EI Pa vc P = + 3 ( ) 2 1 1 ( ) 3 3 9 9 3 2 6 400 10 200 10 3 210 10 1885 10 2 10 200 10 − − − −  +         = 0.0404 10 m 0.0404mm 3 =  = − 0.1347 10 rad 3 210 10 1885 10 2 10 200 10 400 10 3 ( ) 3 9 9 3 3 3 1 1 − − − − =           = = EI Pal  B P 因 P2 而引起的截面 B 的转角（图 d）为 0.0253 10 rad 16 210 10 1885 10 1 10 400 10 16 ( ) 3 9 9 2 3 2 6 2 2 − − − = −         = − = − EI P l  B P

材料力学教案因P,而引起的C端的挠度为(vc) =(@g)p=a=-0.0253×10-3×200=-0.00506mm最后由叠加法可得，C端的总挠度为vc =(vc), +(vc) =0.0404-0.00506=0.0353mmB处截面的总转角为0g=(@g), +(0g)=0.1347×10-30.0253×10- =0.1094×10- rad（2）校核刚度主轴的许用挠度核许用转角为：[]= 0.00011= 0.0001×400=0.04mm[0]= 0.001=1x10-′ rad而v。=0.0353mm<[v]=0.04mmg=0.1094×10- rad<[0]=1×10- rad故主轴满足刚度条件。本题要点：（1）叠加法求梁的变形（2）刚度计算例6-3梁受力如图a所示，试绘出其内力图。解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座C去掉，以简支梁作为静定基（图b)。在静定基上作用均布载荷q和多余约束力Rc，成为原静不定梁的相当系统（图c)。(2)相当系统在c点的挠度应为零，即v。=0。根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程a十业式:LAR,135gl41048EI384EI(C)ARe求得Re=ql（3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图海信d)9fig(e)R,=Re-1ogl19q录量M(t)g例7-3图

材 料 力 学 教 案 因 P2 而引起的 C 端的挠度为 ( ) ( ) 0.0253 10 200 0.00506mm 3 2 2 =  = −   = − − vC P  B P a 最后由叠加法可得， C 端的总挠度为 vC = (vC ) P1 + (vC ) P2 = 0.0404 − 0.00506 = 0.0353mm B 处截面的总转角为 ( ) ( ) 0.1347 10 0.0253 10 0.1094 10 rad 3 3 3 1 2 − − −  B =  B P +  B P =  −  =  （2）校核刚度 主轴的许用挠度核许用转角为： [v] = 0.0001l = 0.0001 400 = 0.04mm [ ] 0.001 1 10 rad −3  = =  而 vc = 0.0353mm  [v] = 0.04mm 0.1094 10 rad [ ] 1 10 rad −3 −3  B =    =  故主轴满足刚度条件。 本题要点： （1）叠加法求梁的变形 （2）刚度计算 例 6-3 梁受力如图 a 所示，试绘出其内力图。 解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座 C 去掉，以简支梁作为静定基（图 b）。在静定基 上作用均布载荷 q 和多余约束力 RC ，成为原静不定梁的相当系统（图 c）。 （2）相当系统在 c 点的挠度应为零，即 vc = 0 。 根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程 式： 0 384 5 48 3 4 − = EI ql EI R l c 求得 R ql C 8 5 = （3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图 d） R R ql A B 16 3 = =

第 十八讲画出静不定梁的α、M图，如图e、 所示。静不定梁的[Ml“ gF，而简支梁的[M=gr，前者仅为后者的本题要点用变形比较法求解简单静不定梁。要点讨论1．平面弯曲时，梁变形后的位移用挠度和转角度量。在小变形和材料为线弹性的条件下，且忽略剪力对变形的影响，则挠度曲线上任一点切线的斜率即为该处截面的转角，因此分析梁变形的关键是，求出梁轴线变形后的挠度曲线方程v(x)2.小挑度近似微分方程=M()，反映了梁微段受力与变形的关系。将各微段的变形dx?EI叠加起来即为梁的整体变形0()-崇-[dx+CdrIM(x)dxdx+ Cx+D(x)= [EI但梁变形后的位移还与支承条件有关，这反映在根据边界条件和连续条件确定积分常数CD上3．用叠加法求梁的变形时，要注意到梁的挠度曲线既与受力（弯矩）有关，又与梁的支承条件有关。4.用变形比较法解静不定梁时，n次静不定必有n个多余约束，除去这些多余约束，则有n个多余约束力，必须有n个补充方程才能解出这些多余约束力。由于相当系统的受力（包括载荷和多余约束力）和变形与原静不定梁相同，在那里拆除约束，则在那里找变形条件和建立相应的补充方程式。$6-5简单静不定梁静不定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统

第 十 八 讲 画出静不定梁的 Q 、 M 图，如图 e、f 所示。静不定梁的 2 max 32 1 M = ql ，而简支梁的 2 max 8 1 M = ql ，前者仅为后者的 4 1 。 本题要点 用变形比较法求解简单静不定梁。 要点讨论 1．平面弯曲时，梁变形后的位移用挠度和转角度量。在小变形和材料为线弹性的条件下， 且忽略剪力对变形的影响，则挠度曲线上任一点切线的斜率即为该处截面的转角，因此分析梁变 形的关键是，求出梁轴线变形后的挠度曲线方程 v(x)。 2．小挠度近似微分方程 ( ) EI M x dx d v = 2 2 ，反映了梁微段受力与变形的关系。将各微段的变形 叠加起来即为梁的整体变形， ( ) ( )  = = dx + C EI M x dx dv  x ( ) ( )  = dxdx + Cx + D EI M x v x 但梁变形后的位移还与支承条件有关，这反映在根据边界条件和连续条件确定积分常数 C 、 D 上。 3．用叠加法求梁的变形时，要注意到梁的挠度曲线既与受力（弯矩）有关，又与梁的支承 条件有关。 4．用变形比较法解静不定梁时， n 次静不定必有 n 个多余约束，除去这些多余约束，则有 n 个多余约束力，必须有 n 个补充方程才能解出这些多余约束力。由于相当系统的受力（包括载荷 和多余约束力）和变形与原静不定梁相同，在那里拆除约束，则在那里找变形条件和建立相应的 补充方程式。 §6-5 简单静不定梁 静不定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目 的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。 静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得 到的“静定基本系统

案才料力学教相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统中与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补充方程可联立求解静不定问题。例如图7-5a中，车削工件的左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图7-5b所H示。此为一次静不定问题。图7-5c为静定基。图7-5d为相当系统，支座反力由R，表示，静力平衡方程为ZX=0, H,=0ZY=0, P-R-R =0Zm,=0, Pa-Rgl-M,=0在多余约束B处建立变形协调条件Vg =(vB),+(vB)R =0利用表7-1可知Pa (31 - a)(vs)p6EIR.3(vs)R。 =-E3EI3%-g)因此R=3元-元利用平衡方程可解得，R和M，画出其弯矩图如图7-5g所示。S6-6提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩、材料的弹性模量E有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩M；（2）增加支承，减小跨度1：（3）选用合适的材料，增加弹性模量E。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩1，如工字形截面、空心截面等

材 料 力 学 教 案 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便 得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统 与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而 得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补 充方程可联立求解静不定问题。例如图 7-5a 中，车削工件的 左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图 7-5b 所 示。此为一次静不定问题。图 7-5c 为静定基。图 7-5d 为相当 系统，支座反力由 RB 表示，静力平衡方程为 X = 0， HA = 0 Y = 0， P − RA − RB = 0 mA = 0， Pa − RB l − M A = 0 在多余约束 B 处建立变形协调条件 = ( ) + ( ) = 0 RB B B P B v v v 利用表 7-1 可知 ( ) ( l a) EI Pa vB P = 3 − 6 2 ( ) EI R l v B B RB 3 3 = − 因此         = − 3 3 2 2 3 2 l a l P a RB 利用平衡方程可解得， RA 和 M A ，画出其弯矩图如图 7-5g 所示 。 §6-6 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条 件，梁截面的惯性矩 I 、材料的弹性模量 E 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩 M ； （2）增加支承，减小跨度 l ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量 E 。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为 提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著； （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩 I ，如工字形截面、空心截面等

+讲第本章小结1．本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度V：横截面变形前后的夹角称为转角。梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线v(x)。挠度曲线v(x)的一阶 dv(x),导数即为转角 0(x)=x2.根据小挑度微分方程"rM(m，对M(x)积分一次，求得dx?EI=-[d+CdxEI积分二次，求得()= dd+Cx+DR若M(s)分为n段，则应分n段进行积分，出现 2n个积分常数。积分常数根据边界条件和连续条件确定。由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：受力（弯矩）和边界条件。3．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移：将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。4．若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。两者数目的差值n为静不定次数。n次静不定必须列出n个补充方程。根据相当系统的挠曲线和原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。5.根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为：减小梁的跨度和弯矩：提高梁的抗弯刚度EI

第 十 八 讲 本章小结 1．本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假 设仍然成立。 变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度 v ；横截面变形前后的夹角称为转 角  。梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线 v(x) 。挠度曲线 v(x) 的一阶 导数即为转角 dx dv x x ( )  ( ) = 。 2．根据小挠度微分方程 EI M x dx d v(x) ( ) 2 2 = ，对 M (x) 积分一次，求得  = = dx + C EI M x dx dv x x ( ) ( )  ( ) 积分二次，求得  = dxdx + Cx + D EI M x v x ( ) ( ) 若 M (x) 分为 n 段，则应分 n 段进行积分，出现 2n 个积分常数。积分常数根据边界条件 和连续条件确定。 由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：受力（弯矩）和边界条件。 3．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移： 将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷 产生的位移。 4．若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。两者数 目的差值 n 为静不定次数。 n 次静不定必须列出 n 个补充方程。根据相当系统的挠曲线和 原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立 补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。 5．根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为：减小梁的跨度和弯 矩；提高梁的抗弯刚度 EI