内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第5讲 拉压静不定问题、应力集中

材料力学教第5讲教学方案拉压静不定问题、应力集中基本拉压静不定问题、温度应力与装配应力、应力集中。内容1、掌握各种拉压静不定问题的特点，熟练利用三方程法求解各种静不定问题。教学2、比较温度应力和装配应力这两种静不定问题变形协调方程和物理目的方程的不同。3、了解应力集中的概念、发生部位及其危害。重点本节重点：利用三方程法求解各种静不定问题。、难点本节难点：变形协调方程的建立

材 料 力 学 教 案 1 第 5 讲 教学方案 ——拉压静不定问题、应力集中 基 本 内 容 拉压静不定问题、温度应力与装配应力、应力集中。 教 学 目 的 1、掌握各种拉压静不定问题的特点，熟练利用三方程法求解各种静 不定问题。 2、比较温度应力和装配应力这两种静不定问题变形协调方程和物理 方程的不同。 3、了解应力集中的概念、发生部位及其危害。 重 点 、 难 点 本节重点：利用三方程法求解各种静不定问题。 本节难点：变形协调方程的建立

第进s2-10拉伸和压缩时的静不定问题超静定问题：单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。此时未知力个数多于平衡方程式个数，其差数称为超静定次数。一般超静定问题的解法为：1）解除“多余”约束，使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基），建立静力平衡方程。2）根据“多余”约束性质，建立变形协调方程。3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。4）联解静力平衡方程以及2）和3）所建立的补充方程，求出未知力（约束力或内力）。变形协调条件应使静定基变形与原超静定结构相一致。例2-10如图2-29a，已知等截面直杆的EA，求A，B处的约束反力R，Rg。解：此结构的约束力个数为2，独立平衡方程数为1，属于一次超静定问题（1）静力平衡方程如图b所示解除B处约束，即得相应静定基，静定基上RA除B处给以相应约束力RB外，还作用有P，R。由ZX=0得R,-P+Rβ=0即R+R= P(a)（2）变形协调方程RNAc + NcB = 0(b)图2-29（b)（3）物理方程Nac-a_RaNBc-b-_Rb由胡克定律/BC=(c)AC:EAEAEAEA将（c）式代入（b）式得补充方程Raa=Rs-b或2

第 五 讲 2 §2-10 拉伸和压缩时的静不定问题 超静定问题：单凭静力学平衡方程不能解出全部未知力的问题，称为超静定问题。 此时未知力个数多于平衡方程式个数，其差数称为超静定次数。 一般超静定问题的解法为： 1）解除“多余”约束，使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基），建立静力 平衡方程。 2）根据“多余”约束性质，建立变形协调方程。 3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀规律等）。 4）联解静力平衡方程以及 2）和 3）所建立的补充方程，求出未知力（约束力或内力）。 变形协调条件应使静定基变形与原超静定结构相一致。 例 2-10 如图 2-29a，已知等截面直杆的 EA，求 A，B 处的约束反力 RA ， RB 。 解：此结构的约束力个数为 2，独立平衡方程数为 1，属于一次超静定问题 （1）静力平衡方程 如图 b 所示解除 B 处约束，即得相应静定基，静定基上 除 B 处给以相应约束力 RB 外，还作用有 P，RA。 由  X = 0 得 RA − P + RB = 0 即 RA + RB = P （a） （2）变形协调方程 lAC + lCB = 0 (b) （3）物理方程 由胡克定律 EA N a l AC AC   = = EA R aA ， EA N b l BC BC   = = EA RB b − （c） 将（c）式代入（b）式得补充方程 RA  a = RB b 或

材料力学教察R,=Raib(d)a（4）求解（a)、（d）式得Rg=Pa(口)a+b'Pb，(口)RA =a+h例2-11图2-30a所示杆系结构中AB杆为刚性AXN杆，①、②杆刚度为EA，载荷为P，求①、②杆的轴力。解：（1）静力平衡方程alaa.如图b所示，Ni，N2为①，②杆的内力；XA、(b)(a)YA为A处的约束力，未知力个数为4，静力平衡图2-30方程个数为3（平面力系），故为一次超静定问题。由Zm^=0得N,a+2aN, =3Pa即N, +2N, =3P(a)（2）变形协调方程A_1(b)或=24（3）物理方程N(c)EA'EA由（c）（d）得补充方程N,=2N,(d)（4）由（a）和（d）式得N.P，(拉力)

材 料 力 学 教 案 3 a R b R B A  = （d） （4）求解 （a）、（d）式得 a b Pa RB + = ，（ ） a b Pb RA + = ，（ ） 例 2-11 图 2-30a 所示杆系结构中 AB 杆为刚性 杆，①、②杆刚度为 EA，载荷为 P，求①、② 杆的轴力。 解：（1）静力平衡方程 如图 b 所示，N1，N2 为①，②杆的内力；XA、 YA 为 A 处的约束力，未知力个数为 4，静力平衡 方程个数为 3（平面力系），故为一次超静定问 题。 由 mA = 0 得 N1a + 2aN2 = 3Pa 即 N1 + 2N2 = 3P （a） （2）变形协调方程 2 1 2 1 =   l l ，或 2 2 1 l = l （b） （3）物理方程 EA N l l 1  1 = ， EA N l l 2  2 = （c） 由（c）（d）得补充方程 N2= 2N1 （d） （4）由（a）和（d）式得 N P 5 3 1 = ，（拉力）

讲，（拉力）例，求轴力解：平衡关系：N,=N：N,-2N.cosO=0A变形几何：N,+=8coseN0:Ai-变形物理：A=AL,E,AE,A4NNlcose=8则：E,A,E,ASE,A,E,A, cos* 0N, =N,（压）：N,=2N,cosO（拉）(E,A,+2E,4 cos)s2-11温度应力和装配应力1.温度应力由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静高压管道定结构由于胀缩变形受到约束，则会产生内应力。蒸汽锅炉因温度变化而引起的内应力，称为温度应力。现以O图2-31a所示问题为例进行分析。由于蒸汽管两端不能自由伸缩，故简化为图b所示固定端约束，此时若温度上升△t,则A,B端分别有约束力RARRe4(图c)。1）由静力平衡方程图2-31温度应力R= R= R(a)式（a）不能确定反力的数值，须再补充一个变形协调方程。2）变形协调方程(b)4IR=ATAI是杆件因R作用而产生的缩短；△I是温度上升4T时的伸长。4

第 五 讲 4 N P 5 6 2 = ，（拉力） 例，求轴力 解：平衡关系： N1 = N3 ； N2 − 2N1 cos = 0 变形几何：   =   + cos 1 2 l l 变形物理： 1 1 1 1 cos E A l N l   = ； 2 2 2 2 E A N l l = 则： + 2 2 2 E A N l   = 1 1 1 cos E A l N (  )   3 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 3 2 cos cos l E A E A E A E A N N + = = （压）； N2 = 2N1 cos （拉） §2-11 温度应力和装配应力 1．温度应力 由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静 定结构由于胀缩变形受到约束，则会产生内应力。 因温度变化而引起的内应力，称为温度应力。现以 图 2-31a 所示问题为例进行分析。由于蒸汽管两端 不能自由伸缩，故简化为图 b 所示固定端约束，此 时若温度上升 t ，则A，B 端分别有约束力 R A, RB （图 c）。 1）由静力平衡方程 RA = RB = R （a） 式（a）不能确定反力的数值，须再补充一个变形协调方程。 2）变形协调方程 R T l = l （b） R l 是杆件因 R 作用而产生的缩短； T l 是温度上升 T 时的伸长

材料力学教察3）物理方程A, =α4T-1, 4/=R(c)EA由（c)），（b）式得补充方程R1αAT:=EA即有R= N=QAT ·EA应力为K=Q△T-E(d)orA结果为正，说明当初设定杆受轴向压力是对的，故该杆的温度应力是压应力。对于钢杆，α=1.2×10-1/C，E=210×10°MPa，则当温度升高△T=40°C时，杆内的温度应力由式（d）算得为G=αE△T=1.2×10-5×210×10×40=100MPa（压应力）2.装配应力例2-13图示2-33a所示为超静定杆系结构，1，3杆的拉伸刚度为EiAr，2杆的为E242，已知中间杆2加工制作时短了△，试求三杆在D点铰接在一起后各杆的内力。解：图2-33a中实线为装配前情况，虚线为装配后情况，由变形知1、3杆的轴力Ni及N3为压力，2杆的N2为张力，D点的受力图如图b。（1）静力平衡方程N,=N,(N,+N.)cosα:(a)店（2）变形协调条件N,=N,Nl,+N,/cosα=Aj(b)()图2-32（3）物理方程N,1N,lA=(c)N,=E,A,E,A,cosα由（b)，（c）得补充方程5

材 料 力 学 教 案 5 3）物理方程 l T l T  =  ， EA R l l B  = （c） 由（c），（b）式得补充方程 EA R l T l = 即有 R = N =T  EA 应力为 T E A R T  = =   （d） 结果为正，说明当初设定杆受轴向压力是对的，故该杆的温度应力是压应力。 对于钢杆， 1.2 10 1/ C 5 =   −  ， 210 10 MPa 3 E =  ，则当温度升高 T = 40C 时，杆内的 温度应力由式（d）算得为 1.2 10 210 10 40 100MPa 5 3 =  =     = −  E T （压应力） 2．装配应力 例 2-13 图示 2-33a 所示为超静定杆系结构，1，3 杆的拉伸刚度为 E1A1，2 杆的为 E2A2，已知 中间杆 2 加工制作时短了  ，试求三杆在 D 点铰接在一起后各杆的内力。 解：图 2-33a 中实线为装配前情况，虚线为装配后情况，由变形知 1、3 杆的轴力 N1 及 N3 为压力，2 杆的 N2 为张力，D 点的受力图如图 b。 （1）静力平衡方程    + = = 1 3 2 1 3 (N N )cos N N N  （a） （2）变形协调条件     + =   =  2 1 / cos 1 3 l l l l （b） （3）物理方程 1 1 cos 1 1 E A N l l = ， 2 2 2 2 E A N l l = （c） 由（b），（c）得补充方程

第讲五E,A2E.A2D(d)N,+E,A,cosα由（a)，（d）解得：1E,A,4(压)N=N,-E,A,2 cosaα(1 +E,A,-2cos"α(e)E,A,41(拉）N,-E,A,.E,A,-2cos'a综上分析结果可知，超静定问题与静定间题比较有以下特点：（1）内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，还与杆件的刚度比有关，如例2-13中（e）式所示，与E,A2/（EA)有关。（2）超静定结构会引起温度应力和装配应力。s2-12应力集中的概念实际工程构件中，有些零件常存在切口、切槽、油孔、螺纹等，致使这些部位上的截面尺寸发生突然变化。如图2-33所示开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀。这种现象，称为应力集中。截面尺寸变化越急剧，孔越小，角越尖，应力集中的程度就越严重，局部出现的最大应力就越大。鉴于应力集中往往会削弱杆件的强度，因此在设计中应尽可能避免或降低应力集中的影为了表示应力集中的强弱程度，定义理论应力集中系数PoPD(0)b周2-33k=Omx(2-12)ao6

第 五 讲 6 + =  l E A E A E A N 2 2 2 1 1 2 2 2 cos  （d） 由（a），（d）解得： ( )            + =   + = = （拉） 压 l E A E A 2cos E A 1 1 N l E A ) E A 2cos E A 2cos (1 1 N N 2 2 3 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 3      （e） 综上分析结果可知，超静定问题与静定问题比较有以下特点： （1）内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，还与杆件的刚度比有关，如例 2-13 中（e） 式所示，与 ( ) E2A2 E1A1 有关。 （2）超静定结构会引起温度应力和装配应力。 §2-12 应力集中的概念 实际工程构件中，有些零件常存在切口、切槽、油孔、螺纹等，致使这些部位上的截面尺寸 发生突然变化。如图 2-33 所示开有圆孔和带有切口的板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口 附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在离开这一区域稍远的地方，应力迅速降低而趋于 均匀。这种现象，称为应力集中。 截面尺寸变化越急剧，孔越小，角越尖，应力集中的程度就越严重，局部出现的最大应力  max 就越大。鉴于应力集中往往会削弱杆件的强度，因此在设计中应尽可能避免或降低应力集中的影 响。 为了表示应力集中的强弱程度，定义理论应力集中系数 0 max   k = （2-12）

学教其中αmx为削弱面上轴向正应力的峰值；。为削弱面上名义应力。如对图2-34a所示厚度为1的矩形截面板条：p0o=t(b-d)k值可查阅有关设计手册。当b)）d，则k=3必须指出，材料的良好塑性变形能力可以缓和应力集中峰值，因而对低碳钢之类的塑性材料应力集中对强度的削弱作用不很明显，而对脆性材料，特别对铸铁之类内含大量显微缺陷，组织不均匀的材料将造成严重影响

材 料 力 学 教 案 7 其中  max 为削弱面上轴向正应力的峰值；  0 为削弱面上名义应力。如对图 2-34a 所示厚度 为 t 的矩形截面板条： ( ) 0 t b d p −  = k 值可查阅有关设计手册。当 b〉〉d，则 k=3 必须指出，材料的良好塑性变形能力可以缓和应力集中峰值，因而对低碳钢之类的塑性材 料应力集中对强度的削弱作用不很明显，而对脆性材料，特别对铸铁之类内含大量显微缺陷，组 织不均匀的材料将造成严重影响