内蒙古科技大学：《材料力学》课程授课教案（讲义）第25讲 组合变形（Ⅱ）

材料力学教案第 25 讲 教学方案组合变形（I）基本弯扭组合。内容1.掌握杆件发生弯扭组合变形的外力特点。能正确计算弯扭教学组合变形杆件的内力和应力2.学会并能够正确确定危险截面、危险点的位置，学会并能目够正确分析危险点的应力状态。的3.能够应用强度理论进行强度计算。4.组合变形的分析方法和解题步骤。1.重点掌握组合变形构件的强度计算。重2要求掌握正确确定危险截面、危险点的位置，学会并能够点正确分析危险点的应力状态。难要求理解应用叠加原理的条件。点4．难点是学生尚未理解强度理论的基本概念。本次教学计划学时：2学时。教学安课堂教学要：1．引入生活、工程中的实例进行分析，让学生深排刻理解所学理论内容。2：对典型例题的解题过程进行剖析，让学生重点掌握弯扭

材 料 力 学 教 案 第 25 讲 教学方案 —— 组合变形（Ⅱ） 基 本 内 容 弯扭组合。 教 学 目 的 1.掌握杆件发生弯扭组合变形的外力特点。能正确计算弯扭 组合变形杆件的内力和应力。 2.学会并能够正确确定危险截面、危险点的位置，学会并能 够正确分析危险点的应力状态。 3.能够应用强度理论进行强度计算。 4.组合变形的分析方法和解题步骤。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握组合变形构件的强度计算。 2. 要求掌握正确确定危险截面、危险点的位置，学会并能够 正确分析危险点的应力状态。 3. 要求理解应用叠加原理的条件。 4． 难点是学生尚未理解强度理论的基本概念。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂教学要： 1. 引入生活、工程中的实例进行分析，让学生深 刻理解所学理论内容。 2． 对典型例题的解题过程进行剖析，让学生重点掌握弯扭

第 五组合变形的分析方法。3．讨论组合变形的刚度计算如何进行？$8-4弯扭组合变形的强度计算1.圆截面杆件地(a)(b)(c)（a）横截面作用有M,、M、T（b）横裁面上作用有T（c）危险点应力状态图10-5设图10-5a所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩M，M,和扭矩T。对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩M=M,+M作用轴即中性轴，这时M作用下圆轴产生平面弯曲，α分布如图a，在扭矩T作用下圆轴产生剪应力，t分布如图b，分别为M_M+M(a)Q:,t"W,WW危险点应力状态如图c所示，主应力为(a)+T?，02=0(b)912(2)对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b）后0, -0, = Vo* +4r? ≤[0](c)

第 二 十 五 讲 组合变形的分析方法。 3． 讨论组合变形的刚度计算如何进行？ §8-4 弯扭组合变形的强度计算 1．圆截面杆件 设图 10-5a 所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩 My ，Mz 和扭矩 T 。 对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩 2 2 M = M y + M z 作用轴即中性轴，这时 M 作用下圆轴产生平面弯曲，  分布如图 a，在扭矩 T 作用下圆 轴产生剪应力，τ分布如图 b，分别为 W W 2 2 M M y + Mz  = = ， p T W  = （a） 危险点应力状态如图 c 所示，主应力为 2 2 1,3 2 2      +      =  ， 2 = 0 （b） 对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b）后  − =  +     2 2 1 3 4 （c）

材料力学教案[(0,-0,]+(0,-0,] +(0,-0,]-* +3t ≤[0](d)对直径为d的圆截面，有W，=2W，W=手d，考虑式（a）后式（c）与（d）分别有32VM+T≤[o] /M +0.75T ≤[0]2.矩形截面杆设图10-6a和b所示为矩形截面上作用有弯矩M,，M,和扭矩T。TOMMCCTI'z图10-6a横我面上作用有M，，M图10-6b横裁面上作用有T对矩形截面（bxh），M，Mz分别形成以y轴和=轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正应力分布如图a所示。扭矩T在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图b所示。综合考虑弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点α、b、c，其应力状态如图c所示。a点具有正应力最大值M.Md.=a+aWwW=hb?W-bh0+066b点具有Tm和。图10-6c危险点a：的应力状态

材 料 力 学 教 案 ( − ) + ( − ) + ( − )  =  +     2 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 （d） 对直径为 d 的圆截面，有 Wp = 2W ， 3 d 32 W  = ，考虑式（a）后式（c）与（d）分别有      +  +  2 2 2 2 0.75 1 1 M T W M T W 2．矩形截面杆 设图 10-6a 和 b 所示为矩形截面上作用有弯矩 My ，Mz 和扭矩 T 。 对矩形截面（ bh ），My ，Mz 分别形成以 y 轴和 z 轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正应 力分布如图 a 所示。扭矩 T 在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图 b 所示。综合考虑弯曲 正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点 a、b、c，其应力状态如图 c 所示。 a 点具有正应力最大值 z z y y a M M W W = + = + ' ''    6 , 6 2 2 bh hb Wy = Wz = b 点具有 max  和 '' 

第MTO,=GTmexahb?W.c点具有t和。M9=T,=VT.M,对塑性材料，a点的强度条件为M+M[0]6awW.对b，点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度理论，可比较o+4t和V+4ti，较大者应满足Vo2 +4r2 ≤[0]例8-3齿轮轴AB如图10-7a所示。已知轴的转速n=265t/min，输入功率N=10kw，两齿轮节圆直径D=396mm，D=168mm，压力角α=20°，轴的直径d-50mm，材料为45号钢，许用应力[]=50Mpa。试校核轴的强度。RPPyoByPOPCPPDBALAALDZZYT+BX()A0164N-nMz133N-m(d)DA131N-mMy140N-m图10-7

第 二 十 五 讲 z z b M W = = ''   ， max 2 hb T   = c 点具有 1  和 '  y y c M M = = '   ， 1  max  = 对塑性材料，a 点的强度条件为  = +    z z y y a M W M W 对 b，c 点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度理论，可比较 2 max 2  + 4 b 和 2 1 2  + 4 c ，较大者应满足  +     2 2 4 例 8-3 齿轮轴 AB 如图 10-7a 所示。已知轴的转速 n=265r/min ，输入功率 N=10kw， 两齿轮节圆直径 D1=396mm，D2=168mm，压力角  = 20 ，轴的直径 d=50mm，材料为 45 号钢，许用应力 = 50Mpa 。试校核轴的强度

解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图10-7b 所示。由Zm,(F)=0得Te=T = 9550 =955010=361N·m265由扭转力偶计算相应切向力，径向力 Pz-2-2x361-1823NDD0.396Te=Pz-5Py = Pztg20°=1823×0.364=664N8,Py=2=2x361=4300NT, = P2,0.168D,2Pz= Paytg20°=4300x0.364=1565N轴上铅垂面内的作用力Piy、P2y，约束力YA，Y构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件mz.(F)=0和Zmz.(F)=0可求得YA=1664N, Ng=3300N由平衡条件ZY=0校核所求约束力的正确性Y, +Y=1664+3300=4964N,Px + P2x = 664+4300= 4964N轴上水平面内的作用力Piz、P2z，约束力ZA、Z构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件Zm,(F)=0和Zm,(F)=0，可求得ZA=1750NZ=1638N，由平衡条件Z=0校核所求约束力的正确性Za+Z =1750+1638=3388N, Pz +Pz =1823+1565=3388N（2）作内力图：分别作轴的扭矩图T图（图10-7c），铅垂面内外力引起的轴的弯矩图M,图，水平面外力引起的轴的弯矩图M,图（图10-7d）（3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C（右）面和D（左）面。比较M=M,+M可知D面更危险

材 料 力 学 教 案 解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平 移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图 10-7b 所示。由 mx (F) = 0 得 N m n N TC TD = = = = 361  265 10 9550 9550 由扭转力偶计算相应切向力，径向力 2 1 1 D TC = PZ ， P P tg N N D T P Y Z C Z 20 1823 0.364 664 1823 0.396 2 2 361 1 1 1 1 =  =  = =  = = 2 2 2 D TD = P y ， P P tg N N D T P Z Y D Y 20 4300 0.364 1565 4300 0.168 2 2 361 2 2 2 2 =  =  = =  = = 轴上铅垂面内的作用力 P1y 、P2y ，约束力 YA ，YB 构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件 mZ,B (F) = 0 和 mZ,A (F) = 0 可求得 YA=1664N，NB=3300N 由平衡条件 Y = 0 校核所求约束力的正确性 YA +YB =1664 + 3300 = 4964 N， P1Y + P2Y = 664 + 4300 = 4964 N 轴上水平面内的作用力 P1Z 、P2Z ，约束力 ZA 、ZB 构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件 ( ) 0 ,  m F = y B 和 ( ) 0 , m F = y A ，可求得 Z A =1750N ， ZB =1638N 由平衡条件 Z = 0 校核所求约束力的正确性 Z A + ZB =1750 +1638 = 3388 N， P1Z + P2Z =1823+1565 = 3388 N （2）作内力图：分别作轴的扭矩图 T 图（图 10-7c），铅垂面内外力引起的轴的弯矩图 Mz 图，水平面外力引起的轴的弯矩图 My 图（图 10-7d） （3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为 C（右）面和 D（左）面。比 较 2 2 M = M y + Mz 可知 D 面更危险

第五Mc=V140°+1332=193N·mMp=V131?+2642-294N·m对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核VM6 +F-V294 +36F第三= 37.4×10° Pa = 37.4MPa<[α|= 55MPa0.1x0.053_294° + 0.75×361第四VM +0.75T-=34.4×10°Pa=34.4MPa<[|=55Mpa0.10.053例8-4图10-8a所示曲轴的尺寸为r=60mm，=65mm，=32mm，0-b.a图10-8aa=22mm。连杆轴颈直径di=50mm，主轴颈直径d=60mm。曲柄截面IⅢl-I的尺寸为b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力如图10-8b所示：连杆轴颈上的力P=32KN，F=17KN曲柄惯性力C-3KN，平衡重惯性力C,=7KN。曲轴材料为碳钢，[o]-120Mpa。试校核曲柄的强度。解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图10-8b）CRmHiH(b)图10-8b

第 二 十 五 讲 MC = 140 +133 =193N m 2 2 MD = 131 + 264 = 294N m 2 2 对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核 第三 37.4 10 Pa 37.4MPa   55MPa 0.1 0.05 1 294 361 6 3 2 2 2 2 =  =  =  + M +T =  W D 第四 34.4 10 Pa 34.4MPa   55Mpa 0.1 0.05 294 0.75 361 0.75 1 6 3 2 2 2 2 =  =  =  +  M + T =  W D 例 8-4 图 10-8a 所示曲轴的尺寸为 r = 60mm， L 65mm 2 = ， l 32mm 2 = ， a = 22mm 。连杆轴颈直径 d1=50mm ，主轴颈直径 d=60mm 。曲柄截面 III-III 的尺寸为 b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力如图 10-8b 所示：连杆轴颈上的力 P=32KN，F=17KN， 曲柄惯性力 C=3KN ，平衡重惯性力 C1=7KN。曲轴材料为碳钢， =120Mpa 。试校核曲 柄的强度。 解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图 10-8b）

材料力学教室m=Fr=17×10°x×60×10-=1020N-mR = R, =(32+2×7-2x3)=20KNH,=H, ==×17=8.5KN（2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面1-I处。在xy和xz平面内分别有弯矩M, =R ×台+(C-C)=20×10 ×65×10-3 +(3-7)×103×32×10-3 =1170N·mM,=H,×号=8.5x10×65x10*=553Nm扭距为T=H,×r=8.5×103×60×10-=510Nm如果用第四强度理论校核32WVM; + M +0.75T- /553° +1170° +0.75×510×10-6元×50×10-9= 111Mpa<[α]- 120Mpa安全（3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处I-II截面。此处有内力分量M,=R×a=20×10°x22x10-=440N-mM,=H,×a=8.5×103×22x10-=187N-mT =m=1020N·m强度校核3W/M; + M +0.75T--/187?+4402+0.75×10202×10-6元×60×10-安全= 47.4 Mpa <[α]= 120 Mpa11IMR2MR（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的曲柄横截面II-II截面（见图10-8c）。其内力分量m分别有轴力N，扭转T，弯矩M、M，剪力QAMAN=R, -C =20-7=13KNT =H,(a+b/2)=281N-m图10-8c

材 料 力 学 教 案 ( ) H H KN R R KN m Fr N m 17 8.5 2 1 32 2 7 2 3 20 2 1 17 10 60 10 1020 1 2 1 2 3 3 = =  = = = +  −  = = =    =  − （2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面 I-I 处。在 xy 和 xz 平面内分别有弯矩 N m L M H N m l C C L M R y z =  =    =  =  + − =    + −    =  − − − 8.5 10 65 10 553 2 20 10 65 10 (3 7) 10 32 10 1170 2 ( ) 2 3 3 1 3 3 3 3 1 1 扭距为 T = H  r =    = N m − 8.5 10 60 10 510 3 3 1 如果用第四强度理论校核 Mpa   Mpa 安全 M M T W y z 111 120 553 1170 0.75 510 10 50 10 32 0.75 1 2 2 2 6 3 9 2 2 2 =  = + +     + + = − −   （3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处 II-II 截面。此处有内力分量 M z = R a =    = N m − 20 10 22 10 440 3 3 2 My = H a =    = N m − 8.5 10 22 10 187 3 3 2 T = m=1020N m 强度校核 Mpa   Mpa 安全 M M T W y z 47.4 120 187 440 0.75 1020 10 60 10 32 0.75 1 2 2 2 6 3 9 2 2 2 =  = + +     + + = − −   （4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的 曲柄横截面 III-III 截面（见图 10-8c）。其内力分量 分别有轴力 N，扭转 T，弯矩 My、Mz，剪力 Qz N = R2 −C1 = 20 − 7 =13KN T = H2 (a + b/ 2) = 281N m

60M=m-H,x=1020-8.5×103×10-3=765NmM, = R,(a +b/2)=20×10*(22 +11)×10-3 =660N·m0. = H, =8.5KN由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为A，B点。A点为单向应力状态NM,M.13×1036x7656×660o^"h+w.*w.102×22×10-922×102×10-622×1022×10-9安全=106Mpa(压应力)<[o]=120Mpa，B点应力状态如图10-8d所示OB13×1036×660NM.CB=22×102×10-6102×22×10-9bhW.=86Mpa（压应力）DTB=Ti+T2现计算扭矩T引起的B点剪应力t（即最大扭转剪应力）。由%=102=4.64，查表，利用插入法得α=0.287。则22图10-8d281Tb0.287×10222×10=19.8MpaT=Tmax剪力Q引起剪应力T28.5×10330-3T2 ==5.68Mpa2bh2*22×102×10Tg=T, +t, =19.8+5.68=25.5Mpa采用第四强度理论，得安全/o +3t= /862+3×25.52=96.7Mpa<[o]=120Mpa

第 二 十 五 讲 N m d M y = m − H  = −    =  − 10 765 2 60 1020 8.5 10 2 3 3 2 M z = R a + b =  +  = N m − ( / 2) 20 10 (22 11) 10 660 3 3 2 Qz = H2 = 8.5KN 由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为 A，B 点。A 点为单 向应力状态 106 (压应力）   120 , 安全 102 22 10 6 660 22 102 10 6 765 22 102 10 13 10 6 2 9 2 9 3 Mpa Mpa W M W M bh N z z x y A =  =    +    +    = + + = − − −   B 点应力状态如图 10-8d 所示 86 (压应力） 102 22 10 6 660 22 102 10 13 10 6 2 9 3 Mpa M bh N z z B =    +    = + = W − −  1 2  = + B 现计算扭矩 T 引起的 B 点剪应力 1  （即最大扭转剪应力）。由 4.64 22 102 = = b h ，查表，利用插入法得  = 0.287 。则 Mpa hb T 19.8 0.287 102 10 (22 10 ) 281 1 max 2 3 3 2 =    = = = − −    剪力 Qz引起剪应力 2  Mpa Mpa bh Q B z 19.8 5.68 25.5 5.68 22 102 10 8.5 10 2 3 2 3 1 2 6 3 2 = + = + = =    = =  −     采用第四强度理论，得  B 2 + 3 B 2 = 862 + 325.5 2 = 96.7Mpa   =120Mpa , 安全