内蒙古科技大学：《材料力学》课程教学资源（习题辅导）强度理论

第九章强度理论第九章强度理论9.1直径d=100mm的圆截面钢杆受轴向拉力F=2kN和矩M。=10Nm的力偶作用。[o]=160MPa，试用第三强度理论校核该杆的强度。： (c3r=105MPa)OF...解：拉伸扭转组合变形，危险点是圆周上各点，应力状态见图F_ 4-(210) 25.5MPa元·102AM._15-0-10)= 50.1MPa1元·103W=?+4t?=105MPa≤[o]，安全。9.2炮筒横截面如图所示。在危险点处，6,=550MPa。‘t=-350MPa，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。解：危险点是三向越应力状态0, =α,= 555MPa02=420MPa0,=α,=-350MPa0,=0,-0,=550+350=900MPa0,=[(0,-0,) +(0,-0,) +(0,-0,) =84iMPa

第九章 强度理论 41 第九章 强度理论 9.1 直径 d =100mm 的圆截面钢杆受轴向拉力 F = 2kN 和矩 Me =10Nm 的力偶作用。[σ] =1 60MPa，试用第三强度理论校核该杆的强度。 (σ3r = 105 MPa) 解：拉伸扭转组合变形，危险点是圆周上各点， 应力状态见图 MPa [ ], 安全。 MPa ( ) MPa (         = + =  =    = = =    = = 4 105 50 1 10 15 10 10 25 5 10 4 2 10 2 2 3 3 3 2 3 r p e . W M . ) A F 9.2 炮筒横截面如图所示。在危险点处 ，σt = 550 MPa。στ = -350 MPa，第三个主应力 垂直于图面是拉应力，且其大小为 420MPa。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。 解：危险点是三向越应力状态 [( ) ( ) ( ) ] MPa MPa MPa MPa MPa 2 2 2 841 2 1 550 350 900 350 420 555 4 1 2 2 3 3 3 3 1 3 3 2 1 = − + − + − = = − = + = = = − = = =                 r r t Me F F Me d p σt σt στ   A

第九章强度理论9.3图示圆截面铸铁杆，承受轴向载荷F，横向载荷F和矩为M的扭力偶作用，试用第一强度理论校核杆的强度。已知载荷F=30kN，Fz=1.2kN，M=700Nm，杆径d=80m，杆长1=800mm，许用应力[o]=35MPa解：拉弯扭组合变形。A截面上边缘为危险点0=F+M4-45+32FF2M,1.应力分析：32-1.2-103-800=25.1MPa4:30103元·80元·803201606.6MaW元.元·80, =[25.1+ /25.12 +4.6.69′]=26.8MPa,2.强度校核o, =,[25.1-/25.12 +4·6.693]=-1.8MPa, , =03…一采用第一强度理论校核杆的强度·c[o].安全9.4图示皮带轮传动轴，传递功率P=7kW，转速n=200r/min。皮带轮重量W=1.8kN。左端齿轮上啮合力F.与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为20%。轴的材料为Q255钢，其许用应力[o】=80MPa。试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。MoMo解：（1）受力分析弯扭组合Mo = 9549 ×(7/200)= 334 N.mWF,= Mo/( 0.15xcos200)Fi+F2(a)=334/(0.15x0.937)=2380 N334 NmP=Fn cos20°=2230 NP,= Fn sin200= 812 NTMo=(Fi-F2)×0.25=0.25 F2162NmF2=334/0.25=1340N(2)轴径计算(a)不考虑轮重W，在受力简Mz图（a）中去掉W，在xy平面内的弯矩Mz中去掉由W引起的弯矩（水平线所示阴影）。由Mz和M,图可见，危险截面在右支座。360NmMyT= Mo =334 Nm, Mw=M, = 804 Nm0 r3 = (1/Wz)(Mw2 + T2 01/2 = 32(Mw2T2 1/2)(nd)=8836/ d≤[0 ] = 80x106d3 ≥ 8836/(80x106)=110.45x10-6446 Nm804 Nmd≥0.048m=48mm(b）考虑轮重W，受力简图（a），由M,和M,图可见，危险截面在右支座T= 334 Nm, Mw= (M,2 + M2 )1/2=(8042+ 3602 )/2 = 881 Nmo r3= 9597/ d3≤[o ] = 80x106,d ≥ 0. 0493 m = 49. 3 mm

42 第九章 强度理论 9.3 图示圆截面铸铁杆， 承受轴向载荷 F1，横向载荷 F2 和矩为 M1 的扭力偶作用，试用第一 强度理论校核杆的强度。已知载荷 F1 = 30 kN，F2 = 1．2 kN，M1 = 700 Nm，杆径 d = 80 mm， 杆长 l = 800 mm，许用应力[σ] = 35 MPa。 解：拉弯扭组合变形。A截面上边缘为危险点 1. 应力分析： MPa MPa 6 69 80 16 16 700 10 25 1 80 32 1 2 10 800 80 4 30 10 4 32 3 3 3 1 3 3 2 3 3 2 2 1 . d M W T . . d F l d F W M A F p Z N A =    =   = = =     +    = = + = +         2. 强度校核  一采用第一强度理论校核杆的强度 〈 ，安全。 = − +  = = = + +  = - [ ] [25.1 25.1 4 6.69 ] - .8MPa, [25.1 25.1 4 6.69 ] 26.8MPa, 2 2 2 2        1 3 1 3 2 1 1 0 2 1 2 1  , , 9.4 图示皮带轮传动轴，传递功率 P = 7kW，转速 n =200r/min。皮带轮重量 W = 1.8kN。 左端齿轮上啮合力 Fn 与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为 200。轴的材料为 Q255 钢，其 许用应力[σ] = 80 MPa。试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理 论估算轴的直径。 M0 M0 F1+F2 W z y x Pr P T Mz My 334 Nm 162Nm 360Nm 446 Nm 804 Nm （a） 解：（1）受力分析 弯扭组合 M0 = 9549  ( 7/200 ) = 334 N.m Fn = M0/( 0.15cos20o ) =334/( 0.150.937 ) = 2380 N P = Fn cos20o = 2230 N Pr = Fn sin20o = 812 N M0 = ( F1-F2 ) 0.25 = 0.25 F2 F2 = 334/0.25 = 1340 N T1 = 2T2 = 2680 N (2 )轴径计算 (a)不考虑轮重 W，在受力简 图（a）中去掉 W，在 xy 平面内的弯矩 Mz中去 掉由 W 引起的弯矩（水平线所示阴影）。由 Mz 和 My 图可见，危险截面在右支座。 T = M0 = 334 Nm, Mw =My = 804 Nm σr3 = (1/WZ)(Mw 2 + T 2 )1/2 = 32(Mw 2 + T 2 )1/2)/(πd 3 )= 8836/ d 3≤[σ] = 80106 d 3 ≥ 8836/(80106 ) = 110.4510-6 d ≥ 0.048 m = 48 mm (b) 考虑轮重 W，受力简图（a）,由 Mz和 My 图可见，危险截面在右支座。 T = 334 Nm, Mw = (My 2 + Mz 2 )1/2 = (8042 + 3602 )1/2 = 881 Nm σr3 = 9597/ d 3≤[σ] = 80106, d ≥ 0.0493 m = 49.3 mm

第九章强度理论9.5图示水平圆截面直角曲拐ABC，受铅直力F作用，杆的直径d=70mm，P=10kN，[0]=160MPa。试用第三强度理论校核杆的强度。（ar3=107MPa）解：弯扭组合变形。A截面上边缘为危险点TMAT=:WW0VM+T-0m=Vo*+4tV(10-10° 300) +(10-103 200) =107.1MPa[g]元·70强度够。9.6某精密磨床砂轮轴如图所示，电动机的功率P=3kW，转子转速n=1400r/min，转子重量Wi=101N：砂轮直径D=250mm，砂轮重量Wz=275N：磨削力F:F=3:1，砂轮轴直径d=50mm，（o）=60MPa。（1）试用单元体表示出危险点的应力状态，并求出主应力和最大剪应力；（2）试用第三强度理论校核砂轮轴的强度。[(1) 01=3.11 MPa, 02=0, 03 =-0.22MPa,,tmax= 1.67 Mpai(2) Gr3=3.33 MPa, Or3= 107 MPa)转子少轮解：（1）受力分析双向弯扭组合Mo = 9549 ×(3/1400)= 20.46 N.mF,= 2Mo/D=2x 20.46/0.25=161.3 NFy=Fz/3= 53.76NW2-F,=221N危险截面：左轴承处。合成弯矩M-(28.62+21.02)05=F2 = 33.5 NmM_32-33.5x10-6 =2.73MPaMFI+F2 T:W元0.05公_16.20.46×10 =0.83MPaT=20.5 Nm元·0.05W2-F,2.732.73 +40.833.0MPa0_= 4232.73 +40.80.23MPa28.6NmG =202=0Mz-=1.62MPamax:21.0 NmMy0,=0, -0, =3.0+0.23=3.23MPa

第九章 强度理论 43 9.5 图示水平圆截面直角曲拐 ABC，受铅直力 F 作用，杆的直径 d=70mm，P =10kN，[σ] = 160MPa。试用第三强度理论校核杆的强度。（σr3= 107 MPa） 解：弯扭组合变形。A 截面上边缘为危险点 强度够。   +   =   = = + = + = = = ( ) ( ) MPa [ ] r3        10 10 300 10 10 200 107 1 70 32 1 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 . M T W W T , W M z Z p A 9.6 某精密磨床砂轮轴如图所示，电动机的功率 P = 3kW，转子转速 n = 1400 r/min，转子 重量 W1 = 101N；砂轮直径 D =250mm，砂轮重量 W2=275N；磨削力 Fz:Fy=3:1，砂轮轴 直径 d = 50mm，〔σ〕=60MPa。（1）试用单元体表示出危险点的应力状态，并求出主应 力和最大剪应力；（2）试用第三强度理论校核砂轮轴的强度。 [(1) σ1 = 3.11 MPa , σ2 =0， σ3 = -0.22MPa , ,τmax= 1.67 Mpa; （2）σr3= 3.33 MPa, σr3= 107 MPa] MPa MPa 0 MPa MPa MPa MPa max 2 3 0 0 23 3 23 1 62 2 0 23 2 2 73 4 0 83 2 2 73 3 0 2 2 73 4 0 83 2 2 73 10 0 83 0 05 16 20 46 10 2 73 0 05 32 33 5 3 1 3 1 3 2 2 3 2 2 1 6 3 6 3 . . . . . . . . . . . . . . . W T . . . W M r p z = − = + = = − = = = − +  = − = +  = +  =   = =  =   = = − −              300 200 C B A F 130 240 180 D W2 W2 Fy FZ Fy 砂轮 转子 W1 解：（1）受力分析 双向弯扭组合 M0 = 9549  ( 3/1400 ) = 20.46 N.m Fz = 2M0/D=2 20.46/0.25=161.3 N Fy = Fz /3 = 53.76 N W2-Fy=221N 危险截面：左轴承处。合成弯矩 M=(28.62+21.02 ) 0.5=F2 = 33.5 Nm Me Me F1+F2 z W1 y x W2-Fy T Mz My 20.5 Nm 28.6Nm 21.0 Nm

第九章强度理论9.7图示铁路圆信号板，装在外径D=60mm的空心柱上。若信号板上所受的最大风载为p=2000N/m2，许用应力为[o)=60MPa，试用第三强度理论选择空心柱的壁厚。（t=0.265cm)解：弯扭组合变形。固端截面前后边缘为危险点F=p-A=200.T-0.52392.7NM = F-0.8Nm, T = F.0.6Nm80032FIVM?+TVM? +T? -[o]OA=W元D(1-α)32.F32.H1-α =1-(克)*=M?+T?-VM?+T?元·D'[0]元·D'[0]39278+0.308元·60°.60(D2) /10.308 = 0.912YD-0.912-D = 26.38mm9.8图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d=24mm，外径D=30mm。材料为43 钢，[纵 10Fa。控制片受力 F,= 600N。 试用第三强度理论校核杆的强度·F2xMx！!FiztyMx解：（1）计算载荷C(1xZF=0:F2 sin80x0.30-Fix0.200(a)芸F2 =(Fix 0.20) / (0.30xsin800)= 406NicF2y =f2sin80°= 40N42F2z =F2cos800= 70.5N(2）计算简图（a）及内力图(T、M和M）Mz（3）危险截面为C+危险截面的内力分量40NmT=120N.m71.3NmMw= N71.32+2.642 =71.3NMy（4）强度计算03=(1/W2)NM.2+T2.64Nm=(32×10-6)/[ π ×0.033(1-0.8*)]7.04Nm× N71.32+1202 = 89.2MPa<[0]120Nm水平杆满足强度要求。T

44 第九章 强度理论 9.7 图示铁路圆信号板，装在外径 D = 60mm 的空心柱上。若信号板上所受的最大风载为 p = 2000N/m2，许用应力为[σ] = 60MPa，试用第三强度理论选择空心柱的壁厚。(t = 0.265cm) 解：弯扭组合变形。固端截面前后边缘为危险点 mm ( ) 60 [ ] [ ] ) t 1- ( [ ] (1- ) Nm, Nm N 4 4 4 26 38 2 0 912 1 0 308 0 912 0 8 0 6 0 308 60 32 392 7 10 32 32 1 1 32 0 8 0 6 392 7 4 0 5 2000 4 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 . D . D t . . D D-2t . . . . M T D F M T D F D M T D F M T W M F . T F . . . F p A z r = −  = = = − = + =     = +   + =   = − = + =  = + = =  =  =  =  =              9.8 图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径 d = 24 mm，外径 D = 30 mm。材料为 A3 钢，[σ] = 100 MPa。控制片受力 F1 = 600 N。试用第三强度理论校核杆的强度。 800 600 500 60 解：（1） 计算载荷 ∑Fx=0: F2 sin80o0.30 - F10.20=0 F2 =(F1 0.20) /(0.30sin80o )= 406N F2Y =f2sin80o = 40N F2Z =F2cos80o = 70.5N （2）计算简图（a）及内力图(T、Mz和 My) （3） 危险截面为 C +， 危险截面的内力分量 T =120N.m Mw = 71.32+2.642 = 71.3N （4） 强度计算 σr3 = (1/Wz) Mw 2 + T2 = (3210-6 )/[π0.033 (1-0.84 )]  71.32+1202 = 89.2MPa<[σ] 水平杆满足强度要求。 120Nm x Mz C y z F2x F1 F2y Mx Mx My 71.3Nm 40Nm 2.64Nm 7.04Nm T (a) F