内蒙古科技大学：《材料力学》课程教学资源（习题解答）弯曲应力

6.1.矩形截面悬臂梁如图所示，已知F=4m，b/h=2/3，9-10kN/m，[]=10MPa，试确定此梁横截面的尺寸。口解：（1）画梁的弯矩图MTt'12由弯矩图知：qMmar(2)计算抗弯截面系数br号nW-69(3）强度计算ql9gt,M2[]h:h29g19×10×10×42=416mm2[02×10x10%b≥277mm6.2.20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[o]=160MPa，试求许可载荷IP-I:aNo20aP解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：

6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知 l=4 m， b / h =2/3，q=10 kN/m，[σ]=10 MPa，试确 定此梁横截面的尺寸。 q l b h 解：(1) 画梁的弯矩图 M ql2 /2 (-) x 由弯矩图知： 2 max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 3 2 3 2 3 6 6 h bh h W == = 9 (3) 强度计算 2 2 max max 3 3 2 3 2 3 3 6 9 1 2 [ ] 2 9 9 9 10 10 4 416 2[ ] 2 10 10 277 ql M ql W h h ql h m b mm σ σ σ = = = ⋅≤ ×× × ∴≥ = = × × ≥ m 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa，试求许可载荷。 A P P C D B 2m 2m 2m No20a 解：(1) 画梁的弯矩图 M 2P/3 2P/3 x (+) (-) 由弯矩图知：

2PMma(2)查表得抗弯截面系数W=237x10-°m(3)强度计算2PMmax-2-P≤[0]-3Omax3W p /al_ 23x10 1010 - 68取许可载荷[P]=57kN6.3.图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：可能危险截面是C和B截面(2）计算危险截面上的最大正应力值C截面：32x1.34x10mMcM.=63.2MPaOcmax元×0.063Wcnd32B截面0.9×103M.1x006α 045=62.1MPaOBmWB320.064Dt(3)轴内的最大正应力值0 mx =0 cmx =63.2MPa上海理工大学力学教研室

max 2 3 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6 3 W m 237 10− = × (3) 强度计算 max max 6 6 2 3 2 [ ] 3 3 [ ] 3 237 10 160 10 56.88 2 2 P M P W WW W P k σ σ σ − = = = ⋅≤ × × ×× ∴≤ = = N N 取许可载荷 [ ] 57 P k = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 400 800 200 300 5kN 3kN 3kN φ60 φ45 A C D B E 解：(1) 画梁的弯矩图 M 1.34kNm x (+) (-) 0.9kNm 由弯矩图知：可能危险截面是 C 和 B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3 max 3 3 32 1.34 10 63.2 0.06 32 C C C C C M M MPa W d σ π π × × == = = × B 截面： 3 max 34 3 4 4 4 0.9 10 62.1 0.06 0.045 (1 ) (1 ) 32 32 0.06 B B B B B B B M M MPa W D d D σ π π × == = = × − − (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63 max =σσ max = 上海理工大学 力学教研室 1

6.5.把直径d-1m的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，设E=200GPa，试计算钢丝中产生的最大正应力解：(1）由钢丝的曲率半径知1_M.E-MP"EL0(2）钢丝中产生的最大正应力_ MR_ ER_ 200×10×0.5×10-=100 MPagmax1p6.8.压板的尺寸和载荷如图所示。材料为45钢，o=380MPa，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。解：(1）画梁的弯矩图由弯矩图知：危险截面是A截面，截面弯矩是M,=308Nm(2）计算抗弯截面系数_bH"(--h)0.03×0.022(12)=1.568×10-mW:H620(3）强度计算许用应力[01-0- 0- 23MPa1.5强度校核M308=196MPa ^[α]gmax1.568×10W压板强度足够。上海理工大学力学教研室

6.5. 把直径 d=1 m 的钢丝绕在直径为 2 m 的卷筒上，设 E=200 GPa，试计算钢丝中产生的 最大正应力。 解：(1) 由钢丝的曲率半径知 1 M E M ρ ρ EI I = ∴= (2) 钢丝中产生的最大正应力 9 3 max 200 10 0.5 10 100 1 MR ER MPa I σ ρ − ××× = == = 6.8. 压板的尺寸和载荷如图所示。材料为 45 钢，σs=380 MPa，取安全系数n=1.5。试校核压 板的强度。 20 38 A A φ12 20 30 P1=15.4kN A-A 解：(1) 画梁的弯矩图 M 308Nm x (+) 由弯矩图知：危险截面是 A 截面，截面弯矩是 308 M N A = m (2) 计算抗弯截面系数 2 3 2 3 6 3 3 3 0.03 0.02 12 (1 ) (1 ) 1.568 10 6 620 bH h W m H × − = −= −= × (3) 强度计算 许用应力 380 [ ] 253 1.5 S MPa n σ σ == = 强度校核 max 6 308 196 [ ] 1.568 10 MA MPa W σ σ − == = × ≺ 压板强度足够。 上海理工大学 力学教研室 2

6.12.图示横截面为工形的铸铁承受纯弯曲，材料的拉伸和压缩许用应力之比为[o][o.]-1/4。求水平翼缘的合理宽度b。解：（1）梁截面上的最大拉应力和最大压应力M(400 -)Jt.momI.mm_ 400-y_[o,]_ ][.] 4Oc.maxJf=320 mm(2）由截面形心位置ZAya_ 30×(40060)×170+b×60×370 = 320c30×(400-60)+b×60Z4b=510mm6.13.形截面铸铁梁如图所示。若铸铁的许用拉应力为[o]=40MPa，许用压应力为[]=160MPa，截面对形心=。的惯性矩Ic=10180cm，hi=96.4mm，试求梁的许用载荷P。T42P600解：（1）画梁的弯矩图06由弯矩图知：可能危险截面是A和C截面(2）强度计算A截面的最大压应力上海理工大学力学教研室3

6.12. 图示横截面为⊥形的铸铁承受纯弯曲，材料的拉伸和压缩许用应力之比为 [σt]/[ σc]=1/4。求水平翼缘的合理宽度b。 400 30 60 zC yC b C M M y1 解：(1) 梁截面上的最大拉应力和最大压应力 ( ) [ ] [ ] 1 1 ,max ,max ,max 1 ,max 1 1 400 400 1 4 320 t c z z t t c c M y My I I y y y mm σ σ σ σ σ σ − = = − = == = (2) 由截面形心位置 ( ) ( ) 30 400 60 170 60 370 320 30 400 60 60 510 i Ci C i A y b y A b b mm × − × +× × = = = × − +× = ∑ ∑ 6.13. ⊥形截面铸铁梁如图所示。若铸铁的许用拉应力为[σt]=40 MPa，许用压应力为 [σc]=160 MPa，截面对形心zc的惯性矩Izc=10180 cm 4 ，h1=96.4 mm，试求梁的许用载 荷P。 P 50 1400 600 2P A C B 250 150 50 h1 h2 zC y C 解：(1) 画梁的弯矩图 M 0.8P x (+) (-) 0.6P 由弯矩图知：可能危险截面是 A 和 C 截面 (2) 强度计算 A 截面的最大压应力 上海理工大学 力学教研室 3

Mh _08Ph ≤[0]acmaIicI.c. sglal-1018010*x10x10-1326kN0.8(250-96.4)×100.8hA截面的最大拉应力_0.8Ph ≤[0,]M.hfmaxI.I.c0.8h0.8×96.4×10-3C截面的最大拉应力_0.6Ph ≤[0,]M.h,T1.clo]_10180×10×40×10%06(250-964)-442NP0.6h取许用载荷值[P]= 44.2kN6.14.铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[o]=40MPa，许用压应力[a]=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形截面倒置成为工形，是否合理？何故？200P=20kN解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：可能危险截面是B和C截面(2）计算截面几何性质形心位置和形心惯性矩4m_30×20×21±20030×100=1575 mc30×200+200×30Z4I c=J,jdA= [17s ×30×dy+J,y×200×dy=60.125x10~m上海理工大学力学教研室4

( ) 2 2 max 8 6 3 2 0.8 [ ] [ ] 10180 10 160 10 132.6 0.8 0.8 250 96.4 10 A C C zC zC zC C M h Ph I I I P kN h σ σ σ − − == ≤ × ×× ∴≤ = = − × A 截面的最大拉应力 1 1 max 8 6 3 1 0.8 [ ] [ ] 10180 10 40 10 52.8 0.8 0.8 96.4 10 A t t zC zC zC t M h Ph I I I P kN h σ σ σ − − == ≤ × ×× ∴≤ = = × × C 截面的最大拉应力 ( ) 2 2 max 8 6 3 2 0.6 [ ] [ ] 10180 10 40 10 44.2 0.6 0.6 250 96.4 10 C t t zC zC zC t M h Ph I I I P k h σ σ σ − − == ≤ × ×× ∴≤ = = − × N N 取许用载荷值 [ ] 44.2 P k = 6.14. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl]=40 MPa，许用压应力[σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形截面倒置成为⊥形， 是否合理？何故？ 解：(1) 画梁的弯矩图 A P=20kN B C D 2m 3m 1m q=10kN/m 200 200 30 30 zC y yC C M 20kNm x (+) (-) 10kNm 由弯矩图知：可能危险截面是 B 和 C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 42.5 72.5 22 2 157.5 42.5 30 200 215 200 30 100 157.5 30 200 200 30 30 200 60.125 10 i Ci C i zC A A y y m A 6 4 m I y dA y dy y dy m− − × × + ×× = = = ×+× = = ××+ × ×= × ∑ ∑ ∫∫ ∫ 上海理工大学 力学教研室 4

(3)强度计算B截面的最大压应力72.4 M[Ocmax60.125x10-6I.cB截面的最大拉应力_ M,(023-)_ 20×10(023-0157) 412 Pa [.]fmax60.125×10-6IC截面的最大拉应力Me_10x10x01575=26.2 MPa[0,]Otmax60.125×10-6I.c梁的强度足够（4）讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B截面上。M2.4 M[]G(max60.125×10-6Izc梁的强度不够。6.19.试计算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大剪应力20kN110kNT.金No16解：（1）画梁的剪力图和弯矩图15kNQ +(+)-10kN最大剪力和最大弯矩值是Qmm=15 kN Mm =20 kNm(2）查表得截面几何性质IW =141cm=13.8cm b=6mmSma(3)计算应力最大剪应力上海理工大学力学教研室

(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3 max 6 20 10 0.1575 52.4 [ ] 60.125 10 B C C C zC M y MPa I σ σ − × × == = × ≺ B 截面的最大拉应力 3 max 6 (0.23 ) 20 10 (0.23 0.1575) 24.12 [ ] 60.125 10 B C t t zC M y MPa I σ σ − − × − == = × ≺ C 截面的最大拉应力 3 max 6 10 10 0.1575 26.2 [ ] 60.125 10 C C t t zC M y MPa I σ σ − × × == = × ≺ 梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在 B 截面上。 3 max 6 20 10 0.1575 52.4 [ ] 60.125 10 B C t t ZC M y MPa I σ σ − × × == = × ; 梁的强度不够。 6.19. 试计算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大剪应力。 A 10kN 20kN C D B 2m 2m 2m No16 解：(1) 画梁的剪力图和弯矩图 Q 15kN x (+) (-) 10kN (-) 5kN M 20kNm x (+) (-) 10kNm 最大剪力和最大弯矩值是 max max Q kN M k = = 15 20 Nm (2) 查表得截面几何性质 3 * max 141 13.8 6 z z I W cm cm b m S = = = m (3) 计算应力 最大剪应力 上海理工大学 力学教研室 5

15×103OmaxS=18.1MPaTmax0.006×0.138blz最大正应力20×103M..=141.8MPaOmax 141×10-W6.22.起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重O=50kN，起重量P=10kN。许用应力[o]-160MPa，[-100MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。-IIAeln解：（1）分析起重机的受力RoVO由平衡方程求得C和D的约束反力R =10kNR,=50kN(2)分析梁的受力50kNOkNm/lmk10m由平衡方程求得A和B的约束反力R, =50-6x R.=10+6x(3）确定梁内发生最大弯矩时，起重机的位置及最大弯矩值C截面Mc(x)=(50 -6x)xdMe(α) =50 -12x=0dxx=4.17m上海理工大学力学教研室

* 3 max max max 15 10 18.1 0.006 0.138 Z Z Q S MPa bI τ × == = × 最大正应力 3 max max 6 20 10 141.8 141 10 M MPa W σ − × == = × 6.22. 起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重 Q=50 kN，起重量 P=10 kN。许用应力 [σ]=160 MPa，[τ]=100 MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢 型号，然后再按剪应力强度条件进行校核。 解：(1) 分析起重机的受力 由平衡方程求得 C 和 D 的约束反力 10 50 R kN R k C D = = N (2) 分析梁的受力 A P Q D B C 1m1m 10m 4m RC P C D 4m Q RD 1m1m 10m 10kN 50kN C D A B x RA RB 由平衡方程求得 A 和 B 的约束反力 R xRx A B = − = + 610 650 (3) 确定梁内发生最大弯矩时，起重机的位置及最大弯矩值 C 截面： ( ) (50 6 ) ( ) 50 12 0 4.17 C C M x xx dM x x dx x m = − = − = = 上海理工大学 力学教研室 6

此时 C和 D截面的弯矩是M。=104.25kNmM,=134.05kNmD截面:M,(x)=(10+6x)(8-x)dM,(x) = 38-12x =0dxx=3.17m此时C和D截面的弯矩是Mc=98.27kNmM,=140.07kNm最大弯矩值是Mmx=140.07kNm(4）按最大正应力强度条件设计(kNm≤[o]140.07×103M.W≥= 438 cm212x160x109查表取25b工字钢（W=423cm2），并查得b=10mm=21.3cm(5）按剪应力强度校核当起重机行进到最左边时（x=8m），梁内剪应力最大；Qt2kN58kN最大剪力值是Omax = 58 kN上海理工大学力学教研室7

此时 C 和 D 截面的弯矩是 104.25 134.05 M kNm M kNm C D = = D 截面： ( ) (10 6 )(8 ) ( ) 38 12 0 3.17 D D Mx x x dM x x dx x m = + − = − = = 此时 C 和 D 截面的弯矩是 98.27 140.07 M kNm M kNm C D = = 最大弯矩值是 max M k =140.07 Nm (4) 按最大正应力强度条件设计 M 140.07 x (+) 98.27 (kNm) max max 3 max 3 6 [ ] 2 140.07 10 438 2[ ] 2 160 10 M W M W c σ σ σ = ≤ × ∴≥ = = × × m 查表取 25b工字钢（W=423 cm3 ），并查得 * max 10 21.3 z z I b mm c S = = m N (5) 按剪应力强度校核 当起重机行进到最左边时（x=8 m），梁内剪应力最大； Q 2kN 8kN 58kN 最大剪力值是 max Q k = 58 上海理工大学 力学教研室 7

剪应力强度计算58×103QmxS:=13.6MPa<[]2×0.01×0.2132bl剪应力强度足够。6.23.由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度1-1m。若胶合面上的许用切应力为0.34MPa，木材的许用弯曲正应力为[f-=10MPa，许用切应力为[}=1MPa,试求许可载荷P。PL88850150解：（1）截面上的最大剪力和弯矩Omax =P Mmax =Pl(2）梁弯曲正应力强度条件Pl_≤[0]MmOmaxbhPslo]bh210×10%×0.1×0.152=3.75 kN616x1（3）梁弯曲切应力强度条件2%4130maxTmax =2A20g00110 N3(4)胶合面上切应力强度条件t=0m(h)h?≤[t]2xbh/421, (4120.34×10°×0.1×0.153P≤_[t]bh3.825kN6(015 _ 0.025.)-许可载荷：[P]=3.75kN。6.27.在图中，梁的总长度为1，受均布载荷q作用。若支座可对称地向中点移动，试问移动距离为若干时，最为合理？R.上海理工大学力学教研

剪应力强度计算 * 3 max max max 58 10 13.6 [ ] 2 2 0.01 0.213 z z Q S MPa bI τ τ × == = × × ≺ 剪应力强度足够。 6.23. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度 l=1 m。若胶合面上的许用切 应力为 0.34 MPa，木材的许用弯曲正应力为[σ]=10 MPa，许用切应力为[τ]=1 MPa， 试求许可载荷 P。 100 50 50 l 50 P 解：(1) 截面上的最大剪力和弯矩 max max Q PM = = Pl (2) 梁弯曲正应力强度条件 max max 2 26 2 [ ] 1 6 [ ] 10 10 0.1 0.15 3.75 6 61 M Pl W bh bh P kN l σ σ σ ==≤ × ×× ≤ = = × (3) 梁弯曲切应力强度条件 max max 6 3 3 [ ] 2 2 2[ ] 2 1 10 0.1 0.15 10 3 3 Q P A bh bh P k τ τ τ = =≤ ×× × × ≤ = = N (4)胶合面上切应力强度条件 2 2 max 2 2 3 1 3 63 1 2 2 2 2 [ ] 2 4 4 2 12 [ ] 0.34 10 0.1 0.15 3.825 0.15 6 6 0.025 4 4 z Q h Ph y y I bh bh P kN h y τ τ τ ⎛⎞ ⎛⎞ = −= −≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ × × ×× ≤= = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠⎝ ⎠ 许可载荷：[P]=3.75 kN。 6.27. 在图中，梁的总长度为 l，受均布载荷 q 作用。若支座可对称地向中点移动，试问移 动距离为若干时，最为合理？ 上海理工大学 力学教研室 8 A B D C q l a RB RC a

解：(1)约束反力R,=Re=!(2）截面上的最大正弯矩和最大负弯矩M----M.mx =- qa?(3）二者数值相等时最为合理qf_qla_qa8224a +4la-[ =04/+P +16=0207上海理工大学力学教研室

解：(1) 约束反力 2 B C ql R R= = (2) 截面上的最大正弯矩和最大负弯矩 2 2 ,max 2 ,max 22 8 8 2 2 ql l ql ql qla M a qa M + − ⎛ ⎞ = −− = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − (3) 二者数值相等时最为合理 2 2 2 2 2 2 822 44 0 4 16 16 1 2 0.207 8 2 ql qla qa a la l l ll a l − = + −= − + + −+ = = = l 上海理工大学 力学教研室 9