吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014学期高数CI试卷（答案）

吉林大学2013~2014学年第一学期《高等数学CI》试卷2014年1月6日四总分一三得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）2x+3sinx1．曲线y=的水平渐近线是（B）x-cosx(A) y=0.(B) y=2(C) y=3.(D) =42.设y=3x +arctan，则x=0为函数的（（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点.（D）振荡间断点3．函数y=4(x+1)-2单调增加且为下凸的区间是（ C）(A) (-0,-3)(B) (-3,2),(C) (-2,0).(D) (0,+o)d'y4.设方程e"+xy=e确定y=y(x)，则C)x=0 =（dx(C) -→(D) :(A) 1(B) 1.(共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2013~2014 学年第一学期《高等数学 CI》试卷 2014 年 1 月 6 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1. 曲线 2 3sin cos x x y x x    的水平渐近线是（ B ） （A） y  0. （B） y  2. （C） y  3 . （D） y  4. 2. 设 2 1 y x3 arctan x   ，则 x  0为函数的（ A ） （A）跳跃间断点. （B） 可去间断点. （C）无穷间断点. （D） 振荡间断点. 3. 函数 2 4( 1) 2 x y x    单调增加且为下凸的区间是（ C ） （A）( , 3).   （B）( 3, 2).   （C）( 2,0).  （D） (0, ).  4．设方程e e y   xy 确定 y yx  ( ) ，则 2 2 0 d d x y x  =（ C ） （A）1. （B）1. （C） 2 1 e  . （D） 2 1 e . 得 分

5. 设(1)在x=a 的某邻域内连续， 且Im ()=1(--1, 则 ()在x=a处(x-a)D)（A）不可导(B）可导且F(a)*0.（C）取得极小值.（D）取得极大值。6．下列反常积分发散的是（(A)"dx.(B) LJ1-()"ds:(D) J’2xV/(lnx)得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）。1. 设mtanx=-sinx-，则k=_32. 设函数()连续，且m一-1, 则[(0-=_13. 设F(x)=Je"du，则dF()=2xe-"dx4.由曲线y=x2与直线y=2x+3围成图形的面积是32/3Y-5.曲线在对应t=-1处的切线方程是y=2x-5=5t+In(2+t6. ' arsin d -1+ x4（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 5. 设 f ( ) x 在 x  a 的某邻域内连续，且 2 () () lim 1 ( ) x a fx fa  x a     ，则 f ( ) x 在 x  a 处 （ D ） （A）不可导. （B）可导且 f a() 0  . （C）取得极小值. （D）取得极大值. 6. 下列反常积分发散的是（ A ） （A） 1 1 2 1 d x x  . （B） 1 1 2 1 d 1 x x    . （C） 2 3 1 d x x   . （D） 2 3 1 d (ln ) x x x   . 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. 设 0 tan sin 1 lim 2 k x x x  x   ，则 k  3 . 2. 设函数 f ( ) x 连续，且 0 ( ) lim 1 x f x  x  ，则 f (0)  1 . 3. 设 2 2 0 () e d x u F x u    ，则d () F x  4 2e d x x x  . 4. 由曲线 2 y x  与直线 y x   2 3围成图形的面积是 32/3 . 5. 曲线 3 1 5 ln(2 t) x t y t        在对应t  1处的切线方程是 y x  2 5  . 6. 2 2 2 4 arcsin d 1 x x x x     0 . 得 分

得分三、解答题（共6道小题，每小题8分，满分48分）1. 求 m()o...3分et-1=ma..2分.2分..1分2. =x2+I(+/F+4,求显。=2*+x2*ln2解：..4分dxVx2+4L..4分(共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 三、解答题（共 6 道小题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1．求 0 1 1 lim( ). e 1 x x x   = 0 e 1 lim (e 1) x x x x  x    .3 分 = 2 0 e 1 lim x x x  x   .2 分 = 0 e 1 lim 2 x x x  .2 分 = 1 2 .1 分 2．设 2 2 ln( 4), x yx x x   求 0 d d x y x  . 解： 2 d 1 2 2 ln 2 d 4 y x x x x x    .4 分 0 d 3 d 2 x y x   .4 分 得 分

3.设某种商品的需求函数为Q=12-号，其中P为销售价格，Q为需求量（1）求需求弹性函数；（2）问P为何值时总收益最大？并求出最大收益解：（1）需求对价格的弹性为do p2"apo需求弹性函数do pPn(P)=-4分dPo"24-P（2）总收益函数R(P)=PQ=12P- PR(P)=12 - P令R(P)=0，得驻点P=12.则当P=12时总收益最大，为72.4分（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 3. 设某种商品的需求函数为 12 , 2 P Q   其中 P 为销售价格，Q 为需求量. （1）求需求弹性函数; （2）问 P 为何值时总收益最大？并求出最大收益. 解：（1）需求对价格的弹性为 dQ P dP Q    需求弹性函数 ( ) 24 dQ P P P dP Q P     .4 分 （2）总收益函数 2 R( ) 12 2 P P PQ P   R'( ) 12 P P   令R'( ) 0 P  ，得驻点 P=12. 则当 P=12 时总收益最大，为 72. .4 分

4. 求（一-)dxVite1-Yd-0(令1=VI+e，则x=n(-1),dx=--[ 99-)-2[1n(-1)da4分2V1-x2=- /1- -21ln(r° -1)+4/,d/=-V1- x- 21 ln(2-1)+4t+2In-I+C...3分V+-1+C...1分-/1-x?-2x/1+e*+4/1+e*×+2lni+e'+1[xet,x≥0,5. 设f(x)=)求[,f(x-2)dx.1-1<x<0,[1+cosx解：令x-2=t，则(2)dx=J(d=J+d f. re dr...3分-'sd()d(-x)..分=tan-Le...........2分= tan-(-e-).．分(共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） 4. 求 2 e ( )d 1 1e x x x x x x     . 2 e d d 1 1e x x x x x x x       (令 1 ex t   ，则 2 x t  ln( 1)  ， 2 2 d d 1 t x t t   ) 2 2 2 d(1 ) 2 ln( 1)d 2 1 x t t x        .4 分 2 2 2 2 1 2 ln( 1) 4 d1 t x tt t t        2 2 1 1 2 ln( 1) 4 2 ln 1 t x tt t C t          . 3 分 2 1e 1 1 2 1 e 4 1 e 2 ln 1e 1 x x x x x x C             .1 分 5. 设 2 e , 0, ( ) 1 , 1 0, 1 cos x x x f x x x            求 4 1 f ( 2)d . x x   解：令 x   2 t ，则 4 20 2 2 1 11 0 1 ( 2)d ( )d d e d 1 cos x f x x ft t t x x t           .3 分 0 2 2 2 2 1 0 1 sec d e d( ) 2 2 2 x x x x             .2 分 2 0 2 1 0 1 tan e 2 2 x  x    .2 分 1 1 4 tan (1 ) 2 2 e   .1 分

6.（1）过原点作曲线y=Vx-1的切线L，求切线L的方程；（2）计算由x轴，曲线y=Vx-1及切线L围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积解：（1)设切点为(%%)，则过切点的切线方程为(x-x0),=/-1......2分y-yo=2/x-1令x=0y=0，得=2,%=1．故切线方程为y=.2分则旋转体体积为V=1xxPx2-;(x-1)dr...4分-号-(号-)-%:得分四、按要求解答下列各题（共2道小题，每题8分，满分16分）1.设函数f(x)的[2,4])上连续，在(2,4)内可导，且满足r(2)=[,(x-1)"f(x)dx证明在(2,4)内至少存在一点，使(1-5)()=27(5).证：(s)在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点与，使[,(x-1) (x)dx =(5 -1) (5)...........4分设F(g)=(x-1)"f(x)，则F(x)的[2,]上连续，在(2,5)内可导，F(2)= f(2)= F(5)....2分由Ro1le定理，在(2,5)内至少存在一点5，使F(5)=0，即在(2,4)内至少存在点,使(1-)F()=2(1-)()，即(1-)f(5)=2f(5)...2分（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 6.（1）过原点作曲线 y x  1的切线 L ，求切线 L 的方程； （2）计算由 x 轴，曲线 y x  1及切线 L 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周 所生成的旋转体体积． 解：(1)设切点为 0 0 (, ) x y ，则过切点的切线方程为 0 0 00 0 1 ( ), = 1 2 1 yy xx y x x     .2 分 令 x y   0, 0，得 0 0 x y   2, 1．故切线 L 方程为 1 . 2 y x  .2 分 则旋转体体积为 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ( 1)d 3 2 . 3 6 2 V xx x x x                    .4 分 四、按要求解答下列各题（共 2 道小题，每题 8 分，满分 16 分）. 1．设函数 f ( ) x 的[2, 4]上连续，在(2, 4)内可导，且满足 4 2 3 f (2) ( 1) ( )d  x fx x  ， 证明在(2, 4)内至少存在一点 ，使(1 ) ( ) 2 ( )  f     f ． 证： f ( ) x 在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点 1  ，使 4 2 2 1 1 3 ( 1) ( )d ( 1) ( ) x fx x f      .4 分 设 2 Fx x f x ( ) ( 1) ( )   ，则 F x( )的[2, 1  ]上连续，在(2, 1  )内可导， 1 FfF (2) (2) ( )    .2 分 由 Rolle 定理，在(2, 1  )内至少存在一点 ，使 F() 0   ，即在(2,4)内至少存在 一点 ，使 2 (1 ) ( ) 2(1 ) ( )    f    f ，即 (1 ) ( ) 2 ( )    f    f .2 分 得 分

2．（1）证明：对于任意正整数n，不等式一(++(++→)+(+)=In +ng+.+hn"+1 -Inn=I(n+1)0故数列(x)有下界。由单调有界原理，此数列收敛。.分(共6页第7页）

（共 6 页 第 7 页 ） 2.（1）证明：对于任意正整数n ，不等式 1 11 ln(1 ) n nn 1     成立； （2）设数列 11 1 1 ln ( 1,2, ) 2 3 n n n n x         ，证明 lim n n x  存在． 证明：（1）设 f ( ) ln(1 ) t t   ，对 f ( )t 在[0,x]应用 Lagrange 中值定理 ( ) (0) '( ) 0 f x f f x     即有 1 ln(1 ) 1 x  x    由于0    x ，则有 ln(1 ) 1 x x x x     取 1 x n ( 1,2, ) n    ，则有 1 11 ln(1 ) n nn 1    .4 分 （2）先证单调性： 1 1 11 ln( 1) ln = ln(1 ) 0 1 1 n n n n n nn x x           故数列{ }n x 单调减少. 再证有界性： 11 1 1 1 1 1 ln >ln(1+ )+ln(1+ )+.+ln(1+ ) ln 23 1 2 23 1 =ln +ln +.+ln ln =ln(n+1)>0 1 2 n n n n n n n n x          故数列{ }n x 有下界. 由单调有界原理，此数列收敛. .4 分