吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13CI试卷（答案）

吉林大学2012-2013学年第一学期《高等数学CI》试卷参考答案一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）题号123456选项cB AACD二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）2sinx dx.1. x=1.4. (1,0),(0,1).3.2x1x15. 1+x+x +o(x).6.1.2!3!三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）[x=3t? +2tdyl1.设函数y=f(x)由方程组确定，求*dx=0[y=e' sint+1解：方程组两边同时对1求导，得dx =6t+2．分dtdy=edysint+e'costdtdtdye'cost..5分di"1-e'sinidyldyle'costedxl=o(1-e' sint)(6t+2)0~2·分dt l=o2.证明不等式2xarctanx≥n(1+x)（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉林大学 2012~2013 学年第一学期《高等数学 CI》试卷 参 考 答 案 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 选 项 C B A A C D 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. x =1 . 2. 2 2sin d x x x . 3. 1 2 . 4. (1,0),(0,1) . 5. 1 1 2 3 3 1 ( ) 2! 3! + + + + x x x o x . 6. 1. 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设函数 y = f (x) 由方程组 2 3 2 e sin 1 y x t t y t  = +   = + 确定，求 0 d d t y x = . 解：方程组两边同时对 t 求导，得 d 6 2 d x t t = + .２分 d d e sin e cos d d y y y y t t t t = + 1- sin cos e t e t dt dy y y = .５分 0 0 0 d d e cos e d d (1 e sin )(6 2) 2 d d y y t t t y y t t x t t x t = = = = = = − + .8 分 2．证明不等式 2 arctan ln(1 ) 2 x x  + x

解: 设 f(x)=2xarctan x-In(1+x)分当x=0时，等号成立2x2x..分()=2arctan +-1+=2arctan x当xF(0)=0,7分当x>0时，(x)>0, f(x)1,(x)>f(0)=0,即 2x arctan x-ln(1+x)>0·分亦即2xarctan x≥h(1+x)3．求函数f(x)=(x2-1)+1的极值解：F(x)=6x(x2-1)2...2分F"(x)=6(x° -1(5x2 -1)....分令()=0，得驻点：=-1,xz=0,x=1·分..7分f"(0)=6>0，故f(0)=0为极小值"(+1)=0，由第一判别法，(x)在x=±1处没有极值…8分12 x+x(x+)）=4.已知im（岁）dx，求常数k的值J-22+x2解：左端m()产-m(+),-α.分X2x+x右端2+1dx=2/:2++dx=/m3..·分从而k=In(ln3)..·分四、按要求解答下列各题（共4道小题，每题8分，满分32分）（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 解：设 ( ) 2 arctan ln(1 ) 2 f x = x x − + x .2 分 当 x = 0 时，等号成立 x x x x x f x x 2arctan 1 2 1 2 '( ) 2arctan 2 2 = + − + = + .4 分 当 x  0 时， f '(x)  0, f (x) , f (x)  f (0) = 0, 当 x  0 时， f '(x)  0, f (x) , f (x)  f (0) = 0, .7 分 即 2 arctan ln(1 ) 0 2 x x − + x  亦即 2 arctan ln(1 ) 2 x x  + x .8 分 3．求函数 ( ) ( 1) 1 2 3 f x = x − + 的极值. 解： 2 2 f '(x) = 6x(x −1) .２分 "( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − .４分 令 f '(x) = 0 ，得驻点： x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 .6 分 f "(0) = 6  0 ，故 f (0) = 0 为极小值 .7 分 f "(1) = 0 ，由第一判别法， f (x) 在 x = 1 处没有极值 .8 分 4. 已知 1 sin 2 2 2 1 lim d 2 k x x x x x x x x → −   + +   =   +  ，求常数 k 的值. 解：左端 1 1 1 1 sin sin lim lim 1 e k k k x x x x x → → x x     +     = + =     .3 分 右端 2 2 2 0 2 2 d 2 d ln 3 2 2 x x x x x x x − + = = + +   .6 分 从而 k = ln(ln3) .8 分 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每题 8 分，满分 32 分）

1. 求[+In(-dxxdx =nl-[in(-x)d解：原式=[dx-」分= In|x-— n(1 x) - . x(l-x)dx= Inx = In(1 x) -Id.· 分1-x=(1- -)In(1 x)+C...·分[x+1, x≤],2．已知函数f(x)=但产。11(D) F(a)-I-,0od, F(a)的表达式:(2) 计算[,F(x+1)dx.解：（(1）当x≤1时，F(n)=(+D)dr=号2+x..2分当x>1时，F()=(+1)d+rdi=号+-1=芒+426663[.即 F(x)=4分+x>1,x≤0[x+2,(2) f(x+1)=3 1·分[2(r+1),x>0(x+1)°dx=19L,J(x+1)dx=L,(x+2)dx+Ja..·分6注：此题也可以先利用变量代换，再计算（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 1. 求 2 ln(1 ) d x x x x + −  . 解：原式 2 1 ln(1 ) d d x x x x x − = −   1 ln ln(1 )d x x x = − −  .2 分 1 1 ln ln(1 ) d (1 ) x x x x x x = − − − −  .4 分 1 1 1 ln ln(1 ) d 1 x x x x x x   = − − − +     −  .6 分 1 (1 )ln(1 ) . x C x = − − + .8 分 2. 已知函数 2 1, 1, ( ) 1 , 1, 2 x x f x x x  +   =     （1）设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ，求 F(x) 的表达式； （2）计算 1 2 f x x ( 1)d −  + . 解：（1）当 x 1 时， 2 0 ( ) ( 1)d 2 x x F x t t x = + = +  .2 分 当 x 1 时， 3 3 1 2 0 1 1 3 1 4 ( ) ( 1)d d 2 2 6 6 6 3 x x x F x t t t t = + + = + − = +   即 2 3 , 1, 2 ( ) 4 , 1, 6 3 x x x F x x x  +    =   +   .4 分 （2） 2 2, 0 ( 1) 1 ( 1) , 0 2 x x f x x x  +   + =  +    .6 分 1 0 1 2 2 2 0 1 19 ( 1)d ( 2)d ( 1) d . 2 6 f x x x x x x − −    + = + + + = .8 分 注：此题也可以先利用变量代换，再计算

3.求椭圆兰+=1(α>0,b>0)所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转而成ab2的旋转体的体积。解：A=4f%bsint(-asint)dt=4abj sin’tdt.2分 4ab.1号= mab....分2 2-l0x-rV=va-xdx=..分-gmb..8分4.如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，且存在常数M，使|(x)≤M，试证：(x)在(a,b)内有界。证明：取点xE(a,b),Vxe(a,b),x*x对f(x)在以xo,x为端点的区间上由Lagrange中值定理得..分()-f(x0)=(5)(x-x)，三介于x与x之间故f(x)=f(xo)+ f'()(x-xo)≤f(xo)+f()(x-xo)≤|f(x0)+M(b-a)= K·分..·分即对 Vxe(a,b)。[f(x)≤K（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 3.求椭圆 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b + =   所围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转而成 的旋转体的体积. 解： 0 2 2 0 2 A b t a t t ab t t 4 sin ( sin )d 4 sin d  = − =   .2 分 ab ab  =   = 2 2 1 4 .4 分 2 2 2 2 2 3 2 1 [ ] d [ ] 3 a a a a b b V a x x a x x a a   − − = − = −  .6 分 2 3 4 = ab .8 分 4.如果函数 f (x) 在区间 (a,b) 内可导，且存在常数 M ，使 f '(x)  M ，试证：f (x) 在 (a,b) 内有界. 证明：取点 0 0 x (a,b),x(a,b), x  x 对 f (x) 在以 x , x 0 为端点的区间上由 Lagrange 中值定理得 ( ) ( ) '( )( ) 0 0 f x − f x = f  x − x ， 介于 x 与 0 x 之间 .4 分 故 ( ) ( ) '( )( ) 0 0 f x = f x + f  x − x ( ) '( ) ( ) 0 0  f x + f  x − x  f (x0 ) + M(b−a) = K .7 分 即对 x(a,b), f (x)  K .8 分