吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13AI试卷（题目）

吉林大学2012~2013学年第一学期《高等数学AI》试卷2013年1月7日=三四总分、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.当x→0时，下列无穷小中与x2为同阶无穷小的是（(A) 1-e*(B) Ih(1-x*).(D) V1+x*-1.(C) arcsin(3x*).2. 设y=，则x=1为函数的（S1+ei（A）可去间断点（B）跳跃间断点.（C）无穷间断点（D）振荡间断点[1-cosxx0(A) a=1, b=1.(B) α=0, b=1.(c) a=l,b=0(D) α=0,b=-1,1+x4. 设f(g)=Ir，则f()(x)= (1-x（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2012~2013 学年第一学期《高等数学 AI》试卷 2013 年 1 月 7 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1. 当 x →0 时，下列无穷小中与 2 x 为同阶无穷小的是（ ） （A） 1 ex − . （B） ln(1 ) 3 − x . （C） 2 arcsin(3 ) x . （D） 1 1 4 + x − . 2. 设 1 1 1 1 e x y − = + ，则 x =1 为函数的（ ） （A）可去间断点. （B） 跳跃间断点. （C）无穷间断点. （D） 振荡间断点. 3. 设函数 1 cos , 0 e 1 ( ) , 0 1 sin , 0 x x x x f x a x x b x x  −   − −  = =    +   在 x = 0 处连续，则常数 a ，b 的值为（ ） （A） a b = = 1, 1. （B） a b = = 0, 1. （C） a b = = 1, 0 . （D） a b = = − 0, 1. 4．设 1 ( ) ln 1 x f x x + = − ，则 ( ) ( ) n f x = （ ） 得 分

(B) (n-1)!(A) (n-1)![(1+x)"(-x)[(+x)(-x).[ (-1)"-1 [(-1)-(C) (n-1)!(D) (n-1)![(1+x)"(1-x)"(+x)"(1-x)"5.已知数列(x），则下列命题正确的是（（A）如果(x)有界，则(x)必收敛.（B）如果(x,)单调，则(x)必收敛.（C）如果(x)收敛，则(x)必有界（D）如果(x收敛，则(x必单调6.如果f(x)的导数为cosx，则f(x)的一个原函数为（(A) 1+sinx.(B) 1-sinx.(C)1+cosx.(D）1-cosx.得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）。(x-2)1．曲线y=的斜渐近线方程为Y-1sintdt，则dy2. 设y=[3.设()为可导函数，且满足条件m-α)--1,，则曲线y=()在2x点(1,f(1)处法线的斜率为4.曲线y=x4-2x+1的拐点为5．函数f(x)=e*具有Peano 型余项的三阶Maclaurin公式为6.曲线y=tanx在点(",1)处的曲率半径R（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） （A） 1 1 ( 1)! (1 ) (1 ) n n n x x   − −     + − . （B） 1 1 ( 1)! (1 ) (1 ) n n n x x   − +     + − . （C） 1 ( 1) 1 ( 1)! (1 ) (1 ) n n n n x x −   − − −     + − . （D） 1 ( 1) 1 ( 1)! (1 ) (1 ) n n n n x x −   − − +     + − . 5. 已知数列 x n ，则下列命题正确的是（ ） （A）如果 x n 有界，则 x n 必收敛. （B）如果 x n 单调，则 x n 必收敛. （C）如果 x n 收敛，则 x n 必有界. （D）如果 x n 收敛，则 x n 必单调. 6. 如果 f (x) 的导数为 cos x ，则 f (x) 的一个原函数为（ ） （A） 1 sin + x . （B） 1 sin − x . （C） 1 cos + x . （D） 1 cos − x . 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. 曲线 1 ( 2) 2 − − = x x y 的斜渐近线方程为 . 2. 设 2 0 sin d x t y t t =  ，则 d y = . 3. 设 f x( ) 为可导函数，且满足条件 0 (1) (1 ) lim 1 x 2 f f x → x − − = − ，则曲线 y f x = ( ) 在 点 (1, (1)) f 处法线的斜率为 . 4. 曲线 2 1 4 3 y = x − x + 的拐点为 . 5. 函数 ( ) ex f x = 具有 Peano 型余项的三阶 Maclaurin 公式为 . 6. 曲线 y x = tan 在点 ( ,1) 4  处的曲率半径 R = . 得 分

得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）1. 设函数 = ()由方程组 =3 +2 +，确定，求" dxl=oly=e'sint+12.证明不等式2xarctan x≥ln(1+x2)（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设函数 y = f (x) 由方程组 2 3 2 e sin 1 y x t t y t  = +   = + 确定，求 0 d d t y x = . 2．证明不等式 2 arctan ln(1 ) 2 x x  + x . 得 分

3.求函数(x)=(x2-1)+1的极值.4.证明：当0≤x≤4时，方程x=e+1有且仅有一个根（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 3．求函数 ( ) ( 1) 1 2 3 f x = x − + 的极值. 4. 证明：当 0 4  x 时，方程 3 e 1 x x − = + 有且仅有一个根

得分四、按要求解答下列各题（共4道小题，每题8分，满分32分）1. *J#+Inl-)dx.r2. 已知 lim(±1)2 x+xdx，求常数k的值1=[22+xCx)（共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每题 8 分，满分 32 分）. 1. 求 2 ln(1 ) d x x x x + −  . 2. 已知 1 sin 2 2 2 1 lim d 2 k x x x x x x x x → −   + +   =   +  ，求常数 k 的值. 得 分

[x+1, x≤1,3.已知函数f(x)=1，（1)设F(x)=Jf(t)dt，求F(x)的表达式[r,>1 (2)计算[,J(x+1)dx.4.设函数(x)处处可导，且0≤F(g)≤（k>0为常数)，又设x为任意-1+x2点，数列(x)满足x=f(x-1）（n=1,2,L)，试证：limx,存在.（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 3.已知函数 , 1, 2 1 1, 1, ( ) 2       +  = x x x x f x ，（1）设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ，求 F(x) 的表达式； （2）计算 1 2 f x x ( 1)d −  + . 4.设函数 f x( ) 处处可导，且 2 0 ( ) 1 k f x x    + （ k  0 为常数），又设 0 x 为任意一 点，数列 x n 满足 1 ( ) n n x f x − = ( 1, 2, ) n = L ，试证： lim n n x → 存在．