吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012级七、八年医用数学A2（答案）

2012-2013学年第二学期《医科数学AII》试卷2013年6月26日二五六三四总分、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)1.设A为三阶非奇异阵，且4-，则A2.设n阶方阵A满足A-E=0，则A可逆，且A-13.设A是4×3矩阵，列向量组线性无关，B为3阶可逆矩阵，则秩R(AB)=4.设在一次试验中，事件 A 发生的概率为p.现进行 n次重复独立试验，则A至少发生一次的概率为1-(1- p)"5.随机地向半圆00，P(B|A)=P(BIA)，则必有(C).(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2012- 2013 学年第二学期《医科数学 AⅡ》试卷 2013 年 6 月 26 日 一 二 三 四 五 六 总分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设 A 为三阶非奇异阵，且 1 1 2 A − = − ，则 * A = _．4 2．设 n 阶方阵 A 满足 3 A E− = 0 ，则 A 可逆，且 1 A − = _． 2 A 3．设 A 是 4×3 矩阵，列向量组线性无关， B 为 3 阶可逆矩阵，则秩 R AB ( ) = _．3 4．设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p．现进行 n 次重复独立试验，则 A 至少发生一次的概率为 n 1− (1− p) ． 5.随机地向半圆 2 0  y  2ax − x (a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成 正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4  的概率为 . 1 1 2  + 6.设随机变量 1 2 , , , X X Xn 相互独立，且 X B p p i ~ (1, ), 0 1   ，i n =1, 2, , ，则 1 ~ n i i X X = =  ． B n p ( , ) 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设 A 、 B 、C 为同阶方阵，且 A 可逆，则下列命题正确的是 ( C )． （A）．若 BA BC = ，则 A C= ； （B）．若 AB CB = ，则 A C= ； （C）．若 AB = 0 ，则 B = 0 ； （D）．若 BC = 0 ，则 C = 0． 2．向量组 1 ( 1, 1,1)T  = + a ， 2 (1, 1, 1)T  = + a ， 3 (1,1, 1)T  = +a 线性无关，则 a （ B ）． （A）． a = 0 或 a =−3 ； （B）． a  0 ，且 a −3 ； （C）． a = 0 或 a = 3 ； （D）． a  0 ，且 a  3 ． 3．线性方程组 2 3 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 3 1 3 2 3 3 3 x a x a x a x a x a x a x a x a x a  + + =   + + =  + + =  ， ， . 若 1 2 3 a a a , , 两两不等，则方程组（ A ）． （A）．有唯一解； （B）．无穷多个解； （C）．无解； （D）．不一定有解． 4．设 A 、 B 是两个随机事件，且 0  P(A) 1， P(B)  0， P(B| A) = P(B| A) ，则必有( C )． 得 分 得 分

(A). P(4IB)=P(AIB);(B). P(A|B)± P(A|B) :(C). P(AB)= P(A)P(B);(D). P(AB)* P(A)P(B)5.设随机变量X，Y相互独立，X~B(I,p)，00，则X+Y(D).A)。服从泊松分布：（B)。服从两点分布：（C).为二维随机变量；(D)。仍为离散型随机变量6.设X和S?分别为正态总体M(u,G")的样本均值和样本方差，则（B）.（A)。与S°不独立：（B)与S°不相关；（C)。X与S°成比例；（D)~ F(1,n-1) .得三、计算与证明(共 3道小题，第1, 3小题各 7分，第2小题8分，满分 22分)1.设三阶方阵A、B满足AB=A"+2B，其中A=-111，求矩阵B.(1 -1 1)解 因AB=A"+2BAAB=AA-I+2AB=E+2AB，即|AB=E+2AB.两边左乘A，得所以(AE-2A)B=E,则B=(A|E-2A)-(3分）JAE-2A=4E-2AA|=-1-41112-221000(A|E-2A,E)=22-2010144100400110(-21000444001100i+r-r1/41L04001101/4(110)所以B(7分)(102. 已知向量组α,=(1, 1, 1,3), α, =(-1, -3, 5, 1), α,=(3, 2, 7,+2), α,=(1, 2, -3,)(1)。入为何值时，向量组α,α2,α3,α线性无关？(2)。入为何值时，向量组α,αz,α3,α,线性相关？并在此时求向量组α,αz,α3,α的秩和一个极大无关向量组，并将其余向量用此极大无关向量组线性表示1-1--2-1-321r-r解A=(α,α2,αs,α) -6r-3rlo2-7-3)224(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) （A）． P(A| B) = P(A | B) ； （B）． P(A| B)  P(A | B) ； （C）． P(AB) = P(A)P(B) ； （D）． P(AB)  P(A)P(B) ． 5．设随机变量 X ，Y 相互独立， X B p ~ (1, ) ，0 1   p ，Y P ~ ( )  ，  0，则 X Y+ ( D )． （A）．服从泊松分布； （B）．服从两点分布； （C）．为二维随机变量； （D）．仍为离散型随机变量． 6．设 X 和 2 S 分别为正态总体 2 M ( , )   的样本均值和样本方差，则( B )． （A）． X 与 2 S 不独立； （B）． X 与 2 S 不相关； （C）． X 与 2 S 成比例； （D）． 2 2 ~ (1, 1) X F n S − ． 三、计算与证明(共 3 道小题，第 1，3 小题各 7 分，第 2 小题 8 分，满分 22 分) 1．设三阶方阵 A 、 B 满足 1 A B A B2  − = + ，其中 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A   −   = −      − ，求矩阵 B ． 解 因 1 A B A B2  − = + ， 两边左乘 A，得 1 AA B AA AB E AB 2 2  − = + = + ，即 A B E AB = + 2 ． 所以 ( 2 ) A E A B E − = ，则 1 B A E A ( 2 )− = − ． （3 分） 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 A − = − = − ， 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 A E A E A   −   − = − = −       − 2 2 2 1 0 0 ( 2 , ) 2 2 2 0 1 0 2 2 2 0 0 1 A E A E   −   − = −       − 2 1 3 1 2 2 2 1 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 4 1 0 1 r r r r   − −   − −   +     1 2 3 4 4 4 2 0 0 2 0 4 0 0 1 1 0 0 4 1 0 1 r r r   −      +     1 2 3 4 0 0 1 1 0 0 4 0 0 1 1 0 0 4 1 0 1 r r r   + −         1 0 0 1/ 4 1/ 4 0 4 0 1 0 0 1/ 4 1/ 4 1,2,3 0 0 1 1/ 4 0 1/ 4 i r i        =     所以 1 1 0 1 0 1 1 4 1 0 1 B     =       （7 分） 2． 已知向量组 1 (1, 1, 1,3)T  = ， 2 ( 1, 3, 5, 1)T  = − − ， 3 (3, 2, 7, 2)T   = + ， 4 (1, 2, 3, )T   = − ， ⑴．  为何值时，向量组 1 2 3 4     , , , 线性无关？ ⑵． 为何值时，向量组 1 2 3 4     , , , 线性相关？并在此时求向量组 1 2 3 4     , , , 的秩和一个极大 无关向量组，并将其余向量用此极大无关向量组线性表示． 解 1 2 3 4 1 1 3 1 1 3 2 2 ( , , , ) 1 5 7 3 3 1 2 A         −   − = =     −     + 2 1 3 1 4 1 1 1 3 1 0 2 1 1 0 6 4 4 3 0 4 7 3 r r r r r r     − −   − − −     − −     − − 得 分

#+3r0-21n-(a-9)0 -2 -1 1#+2r0014+2。。002-92-1)1000(1)。5时，R(α,sα)=4，所以向量组,zα,线性无关；(4分)(2)。=5时，R(α,α2,α,α)=3<4，所以向量组α,α,α,α线性相关。此时(6分)0 -2 -1 1+n0 -2 0 05+(-2)0 1 0 00r+n010080 1 --30 0 1 -10011001司0000000000000所以4α,+0.α,-8分3.设向量组α，α，α,是向量空间V的一个基，且β=α+α+α，β=α+α+2αB,=αi+2α,+3α，试证β，B，β,也是向量空间V的一个基：并求从基αj，αz，α,到基ββ,，β的过渡矩阵.(111)(*)解 (B,β,B)=(α,α2,α)1 1 2=(α,α,a)K.123)11111111[K|= 1 2=0 0 1=-0 1 2=-10,所以可道，则R(β,B,β)=R(α,α,α).123012001因为α，αz，α是向量空间V的基，则V为三维向量空间。且αα2，α,线性无关，R(α,αz,α)=3.所以R(β,β,β)=3因此B，β，β,线性无关，故β，B，β,也是V的基。(5分）由（*）式知从基αi，α2，α,到基β，β，β,的过渡矩阵为P11(7分)1得分四、(共1道小题，满分10分)x +2x,-2x,=0,设A为齐次线性方程组2x,－x2+2x,=0,的系数矩阵，若有三阶方阵B0，使得AB=0，[3x + x2 - x =0(共6页第页)

(共 6 页 第3页) 3 2 4 2 1 1 3 1 3 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 0 9 1 r r r r     −   + − −   +   −     − − 4 3 4 1 1 3 1 ( 9) 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 5 r r r     −   − − − −      −     − ⑴．   5 时， 1 2 3 4 R( , , , ) 4     = ，所以向量组 1 2 3 4     , , , 线性无关； （4 分） ⑵．  = 5 时， 1 2 3 4 R( , , , ) 3 4     =  ，所以向量组 1 2 3 4     , , , 线性相关。此时 （6 分） A 1 1 3 1 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0   −   − −     −     2 3 2 1 3 1 1 0 4 1 1 0 4 0 2 0 0 0 1 0 0 ( 2) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r     − −     + −  −     −     − −         1 2 1 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 r r     +     −     所以     4 1 2 3 = +  − 4 0 。 （8 分） 3．设向量组 1 ，2 ， 3 是向量空间 V 的一个基, 且     1 1 2 3 = + + ，     2 1 2 3 = + + 2 ，     3 1 2 3 = + + 2 3 ．试证 1，  2 ，  3 也是向量空间 V 的一个基；并求从基 1 ，2 ， 3 到基 1，  2 ，  3 的过渡矩阵． 解 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 ( , , ) ( , , ) 1 1 2 ( , , ) 1 2 3          K     = =       ． （*） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 3 0 1 2 0 0 1 K = = = − = −  ，所以 K 可逆，则 1 2 3 1 2 3 R R ( , , ) ( , , )       = ． 因为 1 ，2 ， 3 是向量空间 V 的基，则 V 为三维向量空间． 且 1 ，2 ， 3 线性无关， 1 2 3 R( , , ) 3    = ．所以 1 2 3 R( , , ) 3    = ． 因此 1，  2 ，  3 线性无关，故 1，  2 ，  3 也是 V 的基． （5 分） 由（*）式知从基 1 ，2 ， 3 到基 1，  2 ，  3 的过渡矩阵为 1 1 1 1 1 2 1 2 3 P     =       ． （7 分） 四、(共 1 道小题，满分 10 分) 设 A 为齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0, 2 0, 3 0 x x x x x x x x x   + − =   − + =   + − = 的系数矩阵，若有三阶方阵 B  0 ，使得 AB = 0， 得 分

求(1）入：(2)）R(B)；(3）此齐次线性方程组的通解解（1）因AB=0，则B的每一个列向量均是齐次线性方程组Ax=0的解；又B0，则齐次线性方程组Ax=0有非零解：所以[A=0a=5(a-1)=0A=2-1311=1（4分）故122r-235-50-55(2)=1时，A4=22-113-2-55- ]5-3r(8。。。31所以 R(A)=2，从而方程组 Ax=0的基础解系含n-R(A)=3-2=1个解向量。所以R(B)≤1;(7分）而B≠0，所以R(B)≥1.故R(B)=110（ 2 -2)3+(-5)]。 1(3) A0 -5 501-(o 。 )i-2r, [x =0,同解方程组x,=x3，，取=1，得x=0，=1；则基础解系：(0)keR通解为x=k1(10 分)()五、（共3道小题，第1，2小题7分，第3小题8分，满分22分）1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现众两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回),试求：(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q解H,={被挑出的是第i箱)，-1，2；A,={第}次取出的零件是一等品)，j-1，2，那么，由题设知P(H)=P(H,)=; P(A IH,)=, P(A IH,)=(2分)(1)由全概率公式--u,)P41)+(H,)(H)(4分)./(2)由条件概率的定义和全概率公式(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 求 ⑴  ；⑵ R B( ) ；⑶ 此齐次线性方程组的通解． 解 ⑴ 因 AB = 0 ，则 B 的每一个列向量均是齐次线性方程组 Ax = 0 的解； 又 B  0 ，则齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解；所以 A = 0 即 1 2 2 2 1 5( 1) 0 3 1 1 A   − = − = − = − 故  =1． （4 分） ⑵  =1 时， 2 1 3 2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 0 5 5 0 5 5 3 3 1 1 0 5 5 0 0 0 r r r r A r r       − − − − −       = − − −             −       − − 所以 R A( ) 2 = ，从而方程组 Ax = 0 的基础解系含 n R A − = − = ( ) 3 2 1 个解向量．所以 R B( ) 1  ； 而 B  0 ，所以 R B( ) 1  ．故 R B( ) 1 = ． （7 分） ⑶ 2 1 2 1 2 2 1 0 0 ( 5) 0 5 5 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 r A r r     −  −     − −         −     同解方程组 1 2 3 0, , x x x  =   = 取 3 x =1 ，得 1 x = 0 ， 2 x =1 ；则基础解系： 0 1 1      =       ， 通解为 0 1 , 1 x k k R     =        ． （10 分） 五、(共 3 道小题，第 1，2 小题 7 分，第 3 小题 8 分，满分 22 分) 1．假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品，现 众两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回).试求：(1)先取出的零件 是一等品的概率 p；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 q． 解 Hi ={被挑出的是第 i 箱}，i=1，2； Aj ={第 j 次取出的零件是一等品}，j=1，2，那么，由题设知 2 1 ( ) ( ) P H1 = P H2 = ； 5 1 ( | ) P A1 H1 = ， 5 3 ( | ) P A1 H2 = . （2 分） (1) 由全概率公式 5 2 5 3 2 1 5 1 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) p = P A1 = P H1 P A1 H1 + P H2 P A1 H2 =  +  = . （4 分） (2) 由条件概率的定义和全概率公式 得 分

9= P(4 /4)= P(44)[P(H)P(4,A IH)+P(H,)P(4,A)|H,)P(A)"P(4)-[][]-04 (7分)+2. 设随机变量X的概率密度数为)()=(+)"，求随机变量Y=1-X的概率密度函数()Y的分布函数F;()=P(Y1-)(2分)=P(X>(1-)=[ (+对)"元arctan-arctan(1-y)（4分）k-元[2因此,的概率密度数为);(0)=量5,()==(7分)元1+(1-y)3. 总体X的概率密度为从(s;2)=[a。。 群≥0 其中>0是未知参数，a>0是己知常数，试若x≤0,0根据来自总体X的简单随机样本X，X，，X，求的最大似然估计量.解似然菌数XXxa)-(ay。11xa(2分)对数似然函数lnL=nln+nlnα-x+inXg,（4分）--0(6分)解得的最大似然估计量=n/x(8分)六、计算题(共1道小题，满分10分)得分Je*),若0<x<+0,0<y<+0, 试求:已知随机变量X和 Y的联合密度为(x,)=1 0,其他,(1). P(X<Y): (2) E(XM).P(X<n=J r(x,y)ddy=J。af'edx(3分)-J."e-(1-e')dy--(5分)(共6页第页)

(共 6 页 第5页) 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) 1 ( | ) [ ( ) ( | ) ( ) ( ) | )] ( ) ( ) P A A q P A A P H P A A H P H P A A H P A P A = = = + 5 1 10 9 1 18 17 1 9 51 0.48557. 2 2 50 49 2 30 29 4 49 29       =  +  = + =           （7 分） 2．设随机变量 X 的概率密度函数为 (1 ) 1 ( ) 2 x f x X + =  ，求随机变量 3 Y =1− X 的概率密度函数 f ( y) Y ． 解 Y 的分布函数 3 3 ( ) { } {1 } { 1 } F y P Y y P X y P X y Y =  = −  =  − （2 分） 3 3 3 2 (1 ) (1 ) d 1 { (1 ) } arctan (1 ) y y x P X y x   x + +  − − =  − = = +  1 3 arctan(1 ) 2 y     = − −     （4 分） 因此，Y 的概率密度函数为 2 6 d 3 (1 ) ( ) ( ) d 1 (1 ) Y Y y f y F y y y  − = =  + − （7 分） 3．设总体 X 的概率密度为       = − − 0, 0, , 0, ( ; ) 1 x x e x p x x 若 若      其中   0 是未知参数，   0 是已知常数，试 根据来自总体 X 的简单随机样本 X1，X2，.，Xn，求  的最大似然估计量  ˆ ． 解 似然函数 1 1 1 2 1 ( , , , ; ) ( ) n i i X n n n i i L X X X e X      = − − =  =  （2 分） 对数似然函数 1 1 1 ln ln ln ln n n i i i i L n n X X      − = = = + − +   ， （4 分） 由 = = − =   n i Xi L n 1 0 ln    （6 分） 解得  的最大似然估计量 = = n i n Xi 1 ˆ   ． （8 分） 六、计算题(共 1 道小题，满分 10 分) 已知随机变量 X 和 Y 的联合密度为 ( ), 0 , 0 , ( , ) 0, , x y e x y f x y − +    +   + =   若 其他 试求： (1)． P{X  Y} ；(2)． E(XY) ． ( ) 0 0 { } ( , ) y x y x y P X Y f x y dxdy dy e dx +  − +   = =    （3 分） 0 1 (1 ) . 2 y y e e dy + − − = − =  （5 分） 得 分

(2) (m)=(a,)ddy=J.Je(ndady(8分)I."xe'd]. ye'dy=1.(10分）(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) (2) ( ) 0 0 ( ) ( , ) x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy + + + + − + − − = =     （8 分） 0 0 1. x y xe dx ye dy + + − − = =   （10 分）