吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014学期高数BI试卷（答案）

吉林大学2013~2014学年第一学期《高等数学BI》试卷2014年1月6日四分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）2x+3sinx1．曲线y的水平渐近线是（B）X-cosx(A) y=0.(B) y=2.(C) y=3.(D) y=4.2. 设y=x+arctar则x=0为函数的（A）（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点(D）振荡间断点._4(x+)-2的单调增加且为下凸的区间是（C）3.函数y=x-(A) (-,-3)(B) (-3,-2).(C) (-2,0)。(D)(0,+0)d'y4.设方程e"+xy=e确定y=y(x)，则x0=(C )(D) }(A) 1.(B) -1.(C) -1:（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2013~2014 学年第一学期《高等数学 BI》试卷 2014 年 1 月 6 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1. 曲线 2 3sin cos x x y x x    的水平渐近线是（ B ） （A） y  0. （B） y  2. （C） y  3 . （D） y  4. 2. 设 2 1 y x arctan x   ，则 x  0为函数的（ A ） （A）跳跃间断点. （B） 可去间断点. （C）无穷间断点. （D） 振荡间断点. 3. 函数 2 4( 1) 2 x y x    的单调增加且为下凸的区间是（ C ） （A）( , 3).   （B）( 3, 2).   （C）( 2,0).  （D） (0, ).  4．设方程e e y   xy 确定 y yx  ( ) ，则 2 2 0 d d x y x  =（ C ） （A）1. （B）1. （C） 2 1 e  . （D） 2 1 e . 得 分

5. 设()在x=a的某邻域内连续，且m(二=-1,则 ()在×=a处a(x-a)(D)（A）不可导.(B）可导且F(a)*0.（C）取得极小值。(D）取得极大值。6．下列反常积分发散的是（A(A)dx.(B) J1-(C)(D)JdJ2Jxx/(nx)得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1. 设 lm tan x-sinx_1,，则k=—32. 设函数f(n)连续，且im()=1，则 F(0)=—13. 设F(x)=J。e" du, 则dF(x)=2xe-" dx4.由曲线y=x2与直线y=2x+3围成图形的面积是_32/35.曲线/x=1+3在对应t=-1处的切线方程是y=2x-5(y= 5t+ In(2 +t)6.过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z=4垂直的直线方程是x-1_ y+22-42-3(共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 5. 设 f ( ) x 在 x  a 的某邻域内连续，且 2 () () lim 1 ( ) x a fx fa  x a     ，则 f ( ) x 在 x  a 处 （ D ） （A）不可导. （B）可导且 f a() 0  . （C）取得极小值. （D）取得极大值. 6. 下列反常积分发散的是（ A ） （A） 1 1 2 1 d x x  . （B） 1 1 2 1 d 1 x x    . （C） 2 3 1 d x x   . （D） 2 3 1 d (ln ) x x x   . 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. 设 0 tan sin 1 lim 2 k x x x  x   ，则 k  3 . 2. 设函数 f ( ) x 连续，且 0 ( ) lim 1 x f x  x  ，则 f (0)  1 . 3. 设 2 2 0 () e d x u F x u    ，则d () F x  4 2e d x x x  . 4. 由曲线 2 y x  与直线 y x   2 3围成图形的面积是 32/3 . 5. 曲线 3 1 5 ln(2 t) x t y t        在对应t  1处的切线方程是 y x  2 5  . 6. 过 点 (1, 2,4)  且与平面 23 4 x yz    垂直的直线方程是 124 2 31 xy z     . 得 分

得分三、解答题（共6道小题，每小题8分，满分48分）1 )3分=limas1--...2分lm2...2分".1分2. 2*+(+平+4,*黑=2*+x2’ln2+解：.4分dxVx2+4L4分（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 三、解答题（共 6 道小题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1． 0 1 1 lim( ) e 1 x x x   = 0 e 1 lim (e 1) x x x x  x    .3 分 = 2 0 e 1 lim x x x  x   .2 分 = 0 e 1 lim 2 x x x  .2 分 = 1 2 .1 分 2．设 2 2 ln( 4), x yx x x   求 0 d d x y x  . 解： 2 d 1 2 2 ln 2 d 4 y x x x x x    .4 分 0 d 3 d 2 x y x   .4 分 得 分

4a3.求曲线关于Oxy面的投影柱面方程以及在Oxy面上的投y2-2ax影曲线方程解：曲线关于Oxy面的投影柱面方程是X +y*=2ax..4分在Oxy面上的投影曲线方程是[Jx +y~=2ax,4分[2=0.4. 『(Vi-xVi+exe-dx-J/11+(今=V+e,则x=lh(F-),d=dr)=- 9-) -2 1(2 -1d 4分2V1-x=-/1- -21In(-1)+4] ,-Id/-/1-r-21/n(-1)+4t+21n-)=+C......3分+Vi+er-=-V1-x?-2x/1+e+4/1+e*+2In+C...1分Vi+er +l（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 3. 求曲线 2 22 2 2 2 4 , 2 x yz a x y ax       关于Oxy 面的投影柱面方程以及在Oxy 面上的投 影曲线方程. 解：曲线关于Oxy 面的投影柱面方程是 2 2 x   y ax 2 .4 分 在Oxy 面上的投影曲线方程是 2 2 2 , 0. x y ax z       .4 分 4. 2 e ( )d 1 1e x x x x x x     . 2 e d d 1 1e x x x x x x x       (令 1 ex t   ，则 2 x t  ln( 1)  ， 2 2 d d 1 t x t t   ) 2 2 2 d(1 ) 2 ln( 1)d 2 1 x t t x        .4 分 2 2 2 2 1 2 ln( 1) 4 d1 t x tt t t        2 2 1 1 2 ln( 1) 4 2 ln 1 t x tt t C t          . 3 分 2 1e 1 1 2 1 e 4 1 e 2 ln 1e 1 x x x x x x C             .1 分

x≥0,xe5. 设 f(x)=求[;f(x-2)dx.-1<x<0, 1+cosx解：令x-2=t，则di+J,xe'dxJ(x-2)x=,s(0d=1+eos/d.....分-,se()d(-r).分=tan...2分-(1-et)..1分ian226.（1)过原点作曲线y=Vx-1的切线L，求切线L的方程；（2）计算由x轴，曲线y=Vx-1及切线L围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积。解：(1)设切点为(%，%)，则过切点的切线方程为(x-%)。 %=V%。-1..2分y-yo=2x令x=0,=0，得x=2,%=1．故切线L方程为=号......2分则旋转体体积为V-xxPx2-/(x-1)dr...4分-号x-(号-)-号（共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） 5. 设 2 e , 0, ( ) 1 , 1 0, 1 cos x x x f x x x             求 4 1 f ( 2)d . x x   解：令 x   2 t ，则 4 20 2 2 1 11 0 1 ( 2)d ( )d d e d 1 cos x f x x ft t t x x t           .3 分 0 2 2 2 2 1 0 1 sec d e d( ) 2 2 2 x x x x             .2 分 2 0 2 1 0 1 tan e 2 2 x  x    .2 分 1 1 4 tan (1 ) 2 2 e   .1 分 6. (1)过原点作曲线 y x  1的切线 L ，求切线 L 的方程； （2）计算由 x 轴，曲线 y x  1及切线 L 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所 生成的旋转体体积． 解：(1)设切点为 0 0 (, ) x y ，则过切点的切线方程为 0 0 00 0 1 ( ), = 1 2 1 yy xx y x x     .2 分 令 x y   0, 0，得 0 0 x y   2, 1．故切线 L 方程为 1 . 2 y x  .2 分 则旋转体体积为 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ( 1)d 3 2 . 3 6 2 V xx x x x                    .4 分

得分四、按要求解答下列各题（共2道小题，每题8分，满分16分）1.设函数()的[2,4)上连续，在(2,4)内可导，且满足(2)=],(x-1}(x)dx，证明在(2,4)内至少存在一点5，使(1-5)F(5)=21(5).证：f(x)在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点5，使,(x-1) ()dx=(5-1) (5)...4分.......设F(x)=(x-1)° (x)，则F(x)的[2,]上连续，在(2,5)内可导，F(2)= f(2) = F(5i).....·...2分由Ro11e定理，在(2，与）内至少存在一点，使F()=0，即在(2,4)内至少存在点，使(1-5)F()=2(1-)(5),即(1-5)f(5)=2f(5)...................2分2.（1）证明：对于任意正整数n，不等式，n(+成立；(2）设数列x,=1++++-nn（n=1,2.），证明m，存在证明：（1）设(0)=In(+1)，对r(n)在[0,x应用Lagrange中值定理1(2)= (0)-1(0)即有1 _ In(1 + x)1+由于0<5<x，则有<In(1+x)<x1+ x取x=二(n=12.），则有（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 四、按要求解答下列各题（共 2 道小题，每题 8 分，满分 16 分）. 1．设函数 f ( ) x 的[2, 4]上连续，在(2, 4)内可导，且满足 4 2 3 f (2) ( 1) ( )d  x fx x  ， 证明在(2, 4)内至少存在一点 ，使(1 ) ( ) 2 ( )  f     f ． 证： f ( ) x 在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点 1  ，使 4 2 2 1 1 3 ( 1) ( )d ( 1) ( ) x fx x f      .4 分 设 2 Fx x f x ( ) ( 1) ( )   ，则 F x( )的[2, 1  ]上连续，在(2, 1  )内可导， 1 FfF (2) (2) ( )    .2 分 由 Rolle 定理，在(2, 1  )内至少存在一点 ，使 F() 0   ，即在(2,4)内至少存在 一点 ，使 2 (1 ) ( ) 2(1 ) ( )    f    f ，即 (1 ) ( ) 2 ( )    f    f .2 分 2.（1）证明：对于任意正整数n ，不等式 1 11 ln(1 ) n nn 1     成立； （2）设数列 11 1 1 ln ( 1,2, ) 2 3 n n n n x         ，证明 lim n n x  存在． 证明：（1）设 f ( ) ln(1 ) t t   ，对 f ( )t 在[0,x]应用 Lagrange 中值定理 ( ) (0) '( ) 0 f x f f x     即有 1 ln(1 ) 1 x  x    由于0    x ，则有 ln(1 ) 1 x x x x     取 1 x n ( 1,2, ) n    ，则有 得 分

+(++(++(+)-n=/n +ng++hn"+1 n =I(+1)0故数列(,)有下界。由单调有界原理，此数列收敛............4分（共6页第7页）

（共 6 页 第 7 页 ） 1 11 ln(1 ) n nn 1    .4 分 （2）先证单调性： 1 1 11 ln( 1) ln = ln(1 ) 0 1 1 n n n n n nn x x           故数列{ }n x 单调减少. 再证有界性： 11 1 1 1 1 1 ln >ln(1+ )+ln(1+ )+.+ln(1+ ) ln 23 1 2 23 1 =ln +ln +.+ln ln =ln(n+1)>0 1 2 n n n n n n n n x          故数列{ }n x 有下界. 由单调有界原理，此数列收敛. .4 分