吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014级医用数学C（答案）

2014一2015学年第一学期《医科数学C》试卷2014年12月30日三四五六总分二得分一、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)1. (s)=a+sin2m)，×*0．为连续函数，则常数a:x=0a,f(2x)2.设y=f(x)，f(0)=0，F(0)=1,则lim.23.已知曲线y=f(g)过点(0,1)且其上任一点(x,J)处切线斜率为x sinx，则f(s)=f(x)=cosx+4.积分(rcosx+V4-x)dx2元5.方程（y-+cosy=x是阶微分方程。二（或2）6．设区域D:x+y≤1，则二重积分[『dxdy得分、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分)1. 设f(x)=arctan，则x=0是（A).(A)。跳跃间断点；（B).可去间断点；(C).振荡间断点；（D).无穷间断点2.若点(xo,f(xo)为曲线y=f(x)的拐点，则（C).（A).必有f"(x）存在，且等于零；（B）。必有f"(x）存在，但不等于零(共6页 第1页)

(共 6 页 第1 页) 2014—2015 学年第一学期《医科数学 C》试卷 2014 年 12 月 30 日 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1． 3 (1 sin 2 ) , 0, ( ) , 0 x x x f x a x   +  =   = 为连续函数，则常数 a = ． 6 e 2．设 y f x = ( ) ， f (0) 0 = ， f (0) 1 = ，则 0 (2 ) lim x f x → x = ．2 3．已知曲线 y f x = ( ) 过点 (0,1) 且其上任一点 ( , ) x y 处切线斜率为 2 3 x x sin ，则 f x( ) = ． 1 4 3 ( ) = cos 3 3 f x x − + 4．积分 2 3 2 2 ( cos 4 )d x x x x − + − =  ．2 5．方程 3 5 ( ) cos y xy y x   − + = 是 _阶微分方程．二（或 2） 6．设区域 2 2 D x y : 1 +  ，则二重积分 d d D x y =  _ ． 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设 1 f x( ) arctan x = ，则 x = 0 是( A )． （A）．跳跃间断点； （B）．可去间断点； （C）．振荡间断点； （D）．无穷间断点． 2．若点( x 0 , ( ) 0 f x )为曲线 y = f ( x )的拐点，则 ( C )． （A）．必有 ( ) 0 f  x 存在，且等于零； （B）．必有 ( ) 0 f  x 存在，但不等于零； 得 分 得 分

(C).若f"(x）存在，则必等于零：（D）.若"（x）存在，则必不等于零3.下列广义积分收敛的是（D).)(B).d：(D)d4.微分方程+=0，满足初始条件y(I)=2的特解是（B）。2V+=1(B). x+y=9:(C) x+y=1;(D). (A). x+y2 =2;5.由方程F(x,y,=)=0确定=是x，y的函数，F是可微函数，则=(DF(A).(B). _F)(C).F(D).-F6．曲顶柱体的项为连续曲面2=f(x,J)，底为有界闭区域D，则曲顶柱体的体积为（[J (x, y)dxdy:(B). -[J (x,y)dxdy;(C). J[(x,y)]dxdy:(D).f(x,y)d)得分三、计算下列各题(共 5 道小题，每小题各 6分，满分 30 分)1. 设f(x)=[」。sintdtg(x)=。(+cost)dt，当x→0时，试比较无穷小量f(n)与g(x)的阶.J, sint’dt2xsinx4lim f(x)(2分)解x-0 g(x)x+-0x+xcosx**f(f + cost)dtsinx4(4分)=2limmX1-01+COSx所以无穷小量f(x)与g(x)是等价无穷小量(6分)(共6页第2页)

(共 6 页 第2 页) （C）．若 ( ) 0 f  x 存在，则必等于零； （D）．若 ( ) 0 f  x 存在，则必不等于零． 3．下列广义积分收敛的是（ D ）． （A）． ln d e x x x +  ； （B）． 1 d e ln x x x +  ； （C）． 1 d ln e x x x +  ； （D）． 2 1 d e ln x x x +  ． 4．微分方程 2 2 d d 0 y x x y + = ，满足初始条件 y(1) 2 = 的特解是( B ). (A)． 2 2 x y + = 2 ； (B)． 3 3 x y + = 9 ； (C)． 3 3 x y + =1 ； (D)． 3 3 1 3 3 x y + = . 5．由方程 F x y z ( , , ) 0 = 确定 z 是 x，y 的函数，F 是可微函数，则 z x   =（ D ）． （A）． x y F F   ； （B）． x y F F  −  ； （C）． x z F F   ； （D）． x z F F  −  ． 6．曲顶柱体的顶为连续曲面 z f x y = ( , ) ，底为有界闭区域 D，则曲顶柱体的体积为（ C ）． （A）． ( , )d d D f x y x y  ；（B）． ( , )d d D − f x y x y  ；（C）． ( , ) d d D f x y x y  ；（D）． ( , )d d D f x y x y  . 三、计算下列各题 (共 5 道小题，每小题各 6 分，满分 30 分) 1．设 2 2 0 ( ) sin d x f x t t =  ， 5 5 0 ( ) ( cos )d x g x t t t t = +  ，当 x →0 时，试比较无穷小量 f x( ) 与 g x( ) 的阶． 解 2 2 4 0 5 5 0 0 0 5 5 0 sin d ( ) 2 sin lim lim lim ( ) cos ( cos )d x x x x x t t f x x x g x x x x t t t t → → → = = + +   (2 分) 4 4 0 0 sin 1 2lim lim 1 1 cos x x x → → x x = = + (4 分) 所以 无穷小量 f x( ) 与 g x( ) 是等价无穷小量． (6 分) 得 分

2.求积分/(4-x3)解设x=2sint，则dx=2costdt，于是d 2 an' d(3分)J(2cost)3J(4-x2)3arcsin三+C-J(sec’ t-1) di = tant-1+C =(6 分)4-x?3.若dx="，求a.解设=,则×=In(+)，dx=量dr,x=a时，1=Ve-1；x=2ln2时，1=V5，于是(3 分)=2arctan2artan e所以arctanVe-1-，即a=In2.(6 分)4.求积分[[yedxdy，D为由曲线xy=1与直线x=1，x=2，=2所围成的区域.[0≤x≤1 [0≤x≤]解积分区域如图，DD(rsys2 种(osys. 则JJ ve'drdy =i afive'd+J, af' ye'dx(3 分)leidy+'edy(e"-ey+"(e-e'yGe-l + e- --(6分)5.求积分J+ydxdy，其中D是由曲线x+=2y围成的区域(共6页第3页)

(共 6 页 第3 页) 2．求积分 2 2 3 d (4 ) x x − x  ． 解 设 x t = 2sin ，则 d 2cos d x t t = ，于是 2 2 3 d (4 ) x x − x  2 2 3 4sin 2cos d tan d (2cos ) t t t t t t = =   (3 分) 2 = − = − + (sec 1) d tan t t t t C  2 arcsin 4 2 x x C x = − + − (6 分) 3.若 2ln 2 1 d a x 1 6 x e  = −  ，求 a ． 解 设 1 x e t − = ，则 2 x t = + ln(1 )， 2 2 d d 1 t x t t = + ， x a = 时， 1 a t e = − ； x = 2ln 2 时， t = 3 ，于是 2ln 2 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 d d 2 d 1 1 1 a a a e e x t x t t e t t t − − =  = − + +    (3 分) 3 1 2arctan a e t − = 2 2arctan 1 3 6 a e   = − − = 所以 arctan 1 4 a e  − = ，即 a = ln 2 ． (6 分) 4．求积分 d d xy D ye x y  ，D 为由曲线 xy =1 与直线 x =1， x = 2 ， y = 2 所围成的区域． 解 积分区域如图， 2 0 1 2 x D x y        和 2 0 1 0 x y x        ，则 d d xy D ye x y  1 2 2 2 1 1 1 1 2 xy xy y = + dy ye dx dy ye dx     (3 分) 1 2 2 2 1 1 1 1 2 x x xy xy x x y e dy e dy = = = = = +   1 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) y y y = − + − e e dy e e dy   1 2 2 2 4 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 y y y = − + − = − e ey e e e e (6 分) 5．求积分 2 2 d d D x y x y +  ，其中 D 是由曲线 2 2 x y y + = 2 围成的区域．

解积分区域为D,O≤0≤元[0≤rs2sino°于是J/+ydxdy=Jdof r.rdr(4分）8sin'odo-(cos'0-1)dcosocos:0-coso)-（6分）得分四、(共2道小题，每小题6分，满分12分)1.设=(产+厂,e*），其中了具有连续偏导数，试证%-×%-0.ax"dy解%=f-2x+er+2x=2x(+er+f),(2分)ar%='-(2)+'er*2y=20 +e)(4分）ay则=y2(++f)-x-2+e)-0(6分）2.设z+nz-,e-dt=0，求dz%+1%-%=0，即%解方程两边关于x求导e-r(2分ax=+ieax=axOz.10++=0即方程两边关于y求导(4分)ayzay=+1ayd-%dx+%dy=(e'dx-e-"'dy)所以(6分axz+1得分五、(共1道小题，满分8分)求方程y"-y=e满足初始条件=e，-=2e的特解(共6页第4页)

(共 6 页 第4 页) 解 积分区域为 0 0 2sin D r           ，于是 2sin 2 2 0 0 d d d d D x y x y r r r   + =      （4 分） 3 0 1 8sin d 3  =    2 0 8 (cos 1)dcos 3  = −    3 0 8 1 32 ( cos cos ) 3 3 9  = − =   （6 分） 四、 (共 2 道小题，每小题 6 分，满分 12 分) 1．设 2 2 2 2 ( , ) x y z f x y e + = + ，其中 f 具有连续偏导数，试证 0 z z y x x y   − =   . 解 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) z x y x y f x f e x x f e f x  + + =  +  = +      ， （2 分） 2 2 2 2 1 2 1 2 (2 ) 2 2 ( ) z x y x y f y f e y y f e f y  + + =  +  = +      （4 分） 则 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) 0 z z x y x y y x y x f e f x y f e f x y   + + − =  + −  + =       （6 分） 2．设 2 ln d 0 x t y z z e t − + − =  ，求 dz . 解 方程两边关于 x 求导 1 2 0 z z x e x z x   − + − =   ，即 2 1 z z x e x z  − =  + ； （2 分） 方程两边关于 y 求导 1 2 0 z z y e y z y   − + + =   ，即 2 1 z z y e y z  − = −  + ． （4 分） 所以 2 2 d d d ( d d ) 1 z z z x y z = x y e x e y x y z   − − + = −   + ． （6 分） 五、(共 1 道小题，满分 8 分) 求方程 x y y e   − = 满足初始条件 x 1 y e = = ， 1 2 x y e =  = 的特解． 得 分 得 分

解令y=P，则=崇，于是dxd-P=e(2分)dx-P=0,=dx， InP=x+InC对应齐次方程dxP对应齐次方程通解P=Ce令非齐次方程通解P=C(x)e',则C(x)e=e,C()=1,C(x)=x+CP=(x+C)e非齐次方程通解将 Pl-=以=2e，代入上式C=1P=(x+)e,即=(x+1)et,(6分)n1y=J(x+1)e*dx+C, = xe*+C,,将以=e，代入上式C,=0所求特解为：J=xe*(8分）得分六、应用题（共2道小题，第1小题8分，第2小题6分，满分14分)r31.求函数y的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，垂直渐近线，(x-1)2函数 y的定义域为(-o,1)U(1,+o);y=r(ar-3)6xy"="(x-1)(x-1)令y=0，得x=0，x=3：令y"=0，得x=0。列表讨论如下(1, 3)(3, +8)(-00,0)(0,1)30y'Xy"+取拐点取极小值（5分）则函数的单调递减区间为(1,3)；单调递增区间为(-,0)，(0,1)，(3,+)。(共6页第5页)

(共 6 页 第5 页) 解 令 y P  = ，则 dP d y x  = ，于是 dP d x P e x − = （2 分） 对应齐次方程 dP 0 d P x − = ， dP dx P = ， 1 ln ln P x C = + 对应齐次方程通解 1 x P C e = 令非齐次方程通解 1 ( ) x P C x e = ，则 1 ( ) x x C x e e  = ， 1 C x ( ) 1 = ， 1 1 C x x C ( ) = + 非齐次方程通解 1 ( ) x P x C e = + 将 1 1 2 P y e x x = = = =  ，代入上式 1 C =1 ( 1) x P x e = + ，即 d ( 1) d y x x e x = + ， （6 分） 2 2 ( 1) dx x y x e x C xe C = + + = +  ， 将 x 1 y e = = ，代入上式 2 C = 0 所求特解为： x y xe = （8 分） 六、 应用题 (共 2 道小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分，满分 14 分) 1．求函数 3 2 ( 1) x y x = − 的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，垂直渐近线． 函数 y 的定义域为 ( ,1) (1, ) −  + ； 2 3 ( 3) ( 1) x x y x −  = − ， 4 6 ( 1) x y x  = − ； 令 y  = 0 ，得 x = 0 ， x = 3 ；令 y  = 0 ，得 x = 0 。列表讨论如下 （5分） 则函数的单调递减区间为 (1,3) ；单调递增区间为 (−,0)，(0,1) ，(3, +) 。 x (−,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3, +) y  + 0 + − 0 + y  − 0 + + + + y 取拐点 取极小值 得 分

函数的极小值为J(3)=27。4函数的凹区间为(0,+0)：凸区间为(-0,0)。(0)=0，则(0,0)拐点；=80，则x=1为曲线上的垂直渐近线：(8分）lim y= lin" (x-1)22.求由曲线y=Vx，与其在(1,1)点处的切线及直线x=0所围成的平面图形，绕x轴旋转所生成的旋转体的体积解： = y()=22则(1,1)点处的切线方程为y-1=(x-1),即y=(x+1)(2分)所求旋转体的体积为(6分)dx(共6页第6页)

(共 6 页 第6 页) 函数的极小值为 27 (3) 4 y = 。 函数的凹区间为 (0, +) ；凸区间为 (−,0)。 y(0 0 ) = ，则 (0,0) 拐点； 3 2 1 1 lim lim ( 1) x x x y → → x = =  − ，则 x =1 为曲线上的垂直渐近线； （8分） 2．求由曲线 y x = ，与其在 (1,1) 点处的切线及直线 x = 0 所围成的平面图形，绕 x 轴旋转所生 成的旋转体的体积． 解： 1 2 y x  = ， 1 (1) 2 y  = ， 则 (1,1) 点处的切线方程为 ( ) 1 1 1 2 y x − = − ,即 ( ) 1 1 2 y x = + , （2 分） 所求旋转体的体积为 ( ) ( ) 2 1 2 0 1 1 d 2 12 V x x x         = + − =            (6 分)