吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013级医用数学B2试卷（答案）

2012一2013学年第二学期《医科数学BII》试卷(2013级药学专业用）2014年月日三四五六总分得分、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)1.方程（y"）-xy+cosy=x是阶微分方程二（或2)2．微分方程y"-5y+6y=xe的一个特解具有的形式y*x(ax+b)e23.无穷级数2元24.设=x，则dz=Ja'dx+r nxdy或x(dx+In xdy)([2,10,5)5.函数u=xyz，点P(5,1,2)，则grad|,=6.设区域D:x+y"≤1，则二重积分[dxdy元得分二、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．微分方程y"+6y+13y=0的通解为（).A(A). y=e-*(C cos2x+C, sin2x);(B). y=Ce-3* cos2x ;(C). y= xe-3*(C,cos2x+C, sin2x) ;(D). y=C,e-* sinx,2.≥a,(x-2)在x=0点处收敛，则该级数在x=1点处(). B(A)。收敛且条件收敛；(B)。收敛且绝对收敛；(C)。发散;(D)。敛散性不定.3.设lim=2，则幂级数≥a,t*的收敛半径（). D(B), R=1;(C), R= 2;(A). R=2;(D)。 R=方4. 设函数 f(x,y)在(xo,yo)点取得极值，则(0. C(A)偏导数存在，且f(xo.%)=0，J,(xo,%)=0：(B)。偏导数存在，且f(xo,J)0，f,(x,%)0;(C).若偏导数存在,则f(xo,y)=0，f,(xo,%)=0(D).若偏导数存在，则f(xo,%)0，f,(xo,J%)0(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2012—2013 学年第二学期《医科数学 BⅡ》试卷 （2013 级药学专业用） 2014 年 月 日 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．方程 3 5 ( ) cos y xy y x   − + = 是 _阶微分方程．二（或 2） 2．微分方程 2 5 6 x y y y xe   − + = 的一个特解具有的形式 y=_． 2 ( ) x x a x b e + 3．无穷级数 0 1 2 n n  =  = ． 2 4．设 y z x = ，则 d z = ． 1 d ln d y y yx x x x y − + 或 ( d ln d ) y y x x x y x + 5．函数 u xyz = ，点 P(5,1, 2)，则 grad P = _．2,10,5 6．设区域 2 2 D x y : 1 +  ，则二重积分 d d D x y  _ ． 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1． 微分方程 y y y   + + = 6 13 0 的通解为（ ）． A (A)． 3 1 2 ( cos2 sin2 ) x y e C x C x − = + ； (B)． 3 1 cos2 x y C e x − = ； (C)． 3 1 2 ( cos2 sin2 ) x y xe C x C x − = + ； (D)． 3 2 sin x y C e x − = . 2. 0 ( 2)n n n a x  =  − 在 x = 0 点处收敛，则该级数在 x =1 点处( )．B (A)．收敛且条件收敛； (B)．收敛且绝对收敛； (C)．发散； (D)．敛散性不定． 3．设 1 lim 2 n n n a a + → = ，则幂级数 2 1 0 n n n a x  + =  的收敛半径（ ）． D (A)． R = 2 ； (B)． 1 2 R = ； (C)． R = 2 ； (D)． 1 2 R = ． 4. 设函数 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 点取得极值，则（ ）．C (A)．偏导数存在，且 ' 0 0 ( , ) 0 x f x y = ， ' 0 0 ( , ) 0 y f x y = ；(B)．偏导数存在，且 ' 0 0 ( , ) 0 x f x y  ， ' 0 0 ( , ) 0 y f x y  ； (C)．若偏导数存在，则 ' 0 0 ( , ) 0 x f x y = ， ' 0 0 ( , ) 0 y f x y = ；(D)．若偏导数存在，则 ' 0 0 ( , ) 0 x f x y  ， ' 0 0 ( , ) 0 y f x y  ． 得 分 得 分

5.对于二元函数≥=f(x,)在点P(x,)有（). B(A)：全微分存在，则偏导数必连续(B)：全微分存在，则方向导数存在；(C)．方向导数存在，则全微分存在；(D).偏导数存在，方向导数存在6.曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,J)，底为有界闭区域D，则曲顶柱体的体积为（). C(A). J f(x,y)dxdy: (B).-JJ (x,)dxdy: (C). JJ(x,)]dxdy; (D)./f(x,y)dxdy)-得分三、（共2道小题，第1小题9分，第2小题7分，满分16分）1.求方程y"+ysinx=0满足初始条件=元=0，以元=1的特解解令y=P，则y-，于是+P=sm(2分)dP+P=0, d=-dx, In P=-x+InC,对应齐次方程对应齐次方程通解P=C,e-x令非齐次方程通解P=C,(x)e，则C(x)e=sinx，C(x)=e'sinx[e'sinxdx-sinxde'=e*sinx-[e'cosxdx=e'sinx-cosxdee'sinx-(e' cosx+Je' sinxdx) =e(sinx-cosx)-Je' sin xdxJe sinxdx-sin_cose*+CC()-sinx_cosxe+Csin x-cosX +C,e*非齐次方程通解D2G=ler将P|元=|元=1，代入上式sin+e, sinx+(7分)-cosx-sinxe"*+C,将元=0，代入上式C,=0所求特解为：y=-s±-sinx-号e(9分)2.用Laplace变换求微分方程y"-2y+5y=10sinx满足初始条件y(0)=1，y(0)=2的特解（2分）解方程两边取拉氏变换L(y-2y+5y)=L(y")-2L(y)+5L(y)=10L(sinx)(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 5．对于二元函数 z f x y = ( , ) 在点 P x y ( , ) 有（ ）．B (A)．全微分存在，则偏导数必连续； (B)．全微分存在，则方向导数存在； (C)．方向导数存在，则全微分存在； (D)．偏导数存在，方向导数存在． 6．曲顶柱体的顶为连续曲面 z f x y = ( , ) ，底为有界闭区域 D，则曲顶柱体的体积为（ ）．C （A）． ( , )d d D f x y x y  ；（B）． ( , )d d D − f x y x y  ；（C）． ( , ) d d D f x y x y  ；（D）． ( , )d d D f x y x y  . 三、(共 2 道小题，第 1 小题 9 分，第 2 小题 7 分，满分 16 分) 1．求方程 y y x   + − = sin 0 满足初始条件 0 x y = = ， 1 x y =  = 的特解． 解 令 y P  = ，则 dP d y x  = ，于是 dP sin d P x x + = （2 分） 对应齐次方程 dP 0 d P x + = ， dP dx P = − ， 1 ln ln P x C = − + 对应齐次方程通解 1 x P C e− = 令非齐次方程通解 1 ( ) x P C x e− = ，则 1 ( ) sin x C x e x −  = ， 1 ( ) sin x C x e x  = sin d sin d sin cos d sin cos d x x x x x x e x x x e e x e x x e x x e = = − = −     sin ( cos sin d ) x x x = − + e x e x e x x  (sin cos ) sin d x x = − − e x x e x x  sin cos sin d 2 x x x x e x x e C − = +  1 1 sin cos ( ) 2 x x x C x e C − = + 非齐次方程通解 1 sin cos 2 x x x P C e − − = + 将 1 P y x x = =   = =  ，代入上式 1 1 2 C e = sin cos 1 2 2 x x x P e −  − = + ，即 d sin cos 1 d 2 2 y x x x e x −  − = + ， （7 分） 2 cos sin 1 2 2 x x x y e C − −  − = − + ， 将 0 x y = = ，代入上式 2 C = 0 所求特解为： cos sin 1 2 2 x x x y e − −  − = − （9 分） 2．用 Laplace 变换求微分方程 y y y x   − + = 2 5 10sin 满足初始条件 y(0) 1 = ， y (0) 2 = 的特解． 解 方程两边取拉氏变换 L y y y L y L y L y L x ( 2 5 ) ( ) 2 ( ) 5 ( ) 10 (sin )     − + = − + = （2 分） 得 分

,0,-2)+0+ $ +$+10(5分）即 F(s)=取逆变换，得y=cosx+2sinx(7分)得分四、(共2 道小题，每小题8分，满分16分)1.求级数之的和函数.n+11所以R-- n(n+2)当x-切时，级数为含期：血量-±120 级表含发放。改级数收敏损为(-1) 2分)50-5(0) 0(4分)令5()-2，则35(0)-0，两边求导：5()-2-S()='s()d+S()=dx=x-I(-),1()++ (10)(0.)所以S(d)=x-[++-), xe(-10)(0.1),故此级数的和函数：S(x)=1-x(8分）0,x=012. 将数(+展成x4的 Tgyor数(2分)解()-5x+6“(-3)-2)"2因为-2(-1)x， xe(-1),所以2((-4)x-4(-1),+e(35)(4分)(共6页第顶)

(共 6 页 第3页) 2 2 10 ( ) (0) (0) 2 ( ) 2 (0) 5 ( ) 1 s F s sy y sF s y F s s − − − + + =  + 即 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 10 ( 2 ) ( 2) 2 1 ( ) 2 ( 2 5)( 1) ( 2 5)( 1) 1 1 1 s s s s s s F s s s s s s s s s s + + + + + + = = = = + − + + − + + + + + （5 分） 取逆变换，得 y x x = + cos 2sin （7 分） 四、(共 2 道小题，每小题 8 分，满分 16 分) 1．求级数 1 1 n n n x n  = +  的和函数． 解 2 1 ( 1) lim[ / ] lim 1 2 1 ( 2) n n n n n n n n n  → → + + = = = + + + ，所以 1 R 1  = = 当 x =1 时，级数为 n 1 1 n n  =  +  ， lim 1 0 n 1 n → n  =   + ，则级数 n 1 1 n n  =  +  发散。故级数收敛域为 ( 1,1) − ，（2 分） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n x x S x x x x x S x n n x x n x x     + = = = = = = − = − = − + + − + −     ，x  0 （4 分） 令 1 1 1 1 ( ) 1 n n S x x n  + = = +  ，则 1 S (0) 0 = ，两边求导： 1 1 ( ) 1 n n x S x x x  =  = = −  1 1 1 0 0 ( ) ( )d (0) d ln(1 ) 1 x x x S x S x x S x x x x = + = = − − −  −   ， 所以 1 ln(1 ) ( ) [ ln(1 )] 1 1 1 x x x S x x x x x x x − = − − − − = + + − − ， x −  ( 1,0) (0,1) ； 故此级数的和函数： ln(1 ) 1 , ( 1,0) (0,1) ( ) 1 0, 0 x x x S x x x x  −  + +  −  =  −   = ， （8 分） 2．将函数 2 1 ( ) 5 6 f x x x = − + 展成 x = 4 的 Taylor 级数． 解 2 1 1 1 1 ( ) 5 6 ( 3)( 2) 3 2 f x x x x x x x = = = − − + − − − − ． （2 分） 因为 0 1 ( 1) 1 n n n x x  = = − +  ， x −( 1,1) ， 所以 0 1 1 ( 1) ( 4) 3 1 ( 4) n n n x x x  = = − − − + −  ， x −  − 4 ( 1,1) ，即 x(3,5) ． （4 分） 得 分

4=(-1()=(-1(x-4)，e(-1,1)，即xe(2.6)(6分)x-2"21+*--Z(-1(1-2)(x-4), xe(3,5).(8分)J(0)=x3x-2得分五、(共3道小题，每小题6分，满分18分)1.设函数：=(-,-x)，其中了具有一阶连续偏导数，试证%+×%=0.ara%=(-2)+(2)=-2(-):解%-*2x+-(-2x)=2x(T-):（4分）则有%+%y-2x(-)+X-2-)=0(6分)2.设=+lnz-,edt=0，求dz+%-0.%方程两边关于x求导解（2分）2ax+ax+1%+=0，即%方程两边关于y求导(4分)e+12Z0dzdx+%dy=所以(e'dx-e'dy).(6分)axoy2．求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点P(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向×轴正向切线方向的方向导数。ouOuou_1解，从而axx+y'oy"x+yax"x+y（2分）方431)其方oαosos(4分)++13+5x12_98(6分)a=A13aleoxeayle1313得分六、计算下列积分(共2 道小题，每小题7分，满分14分)1.求累次积分x(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 1 0 0 1 1 1 1 4 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 4) 2 2 2 2 2 4 1 2 n n n n n n n x x x x   + = = − = = − = − − − − +   ， 4 ( 1,1) 2 x −  − ，即 x(2,6) ．（6 分） 1 0 1 1 1 ( ) ( 1) (1 )( 4) 3 2 2 n n n n f x x x x  + = = − = − − − − −  ， x(3,5) ． （8 分） 五、 (共 3 道小题，每小题 6 分，满分 18 分) 1．设函数 2 2 2 2 z f x y y x = − − ( , ) ，其中 f 具有一阶连续偏导数，试证 0 z z y x x y   + =   . 解 1 2 1 2 2 ( 2 ) 2 ( ) z f x f x x f f x  =  +  − = −      ； 1 2 1 2 ( 2 ) (2 ) 2 ( ) z f y f y y f f y  =  − +  = − −      ； （4 分） 则有 1 2 1 2 2 ( ) [ 2 ( )] 0 z z y x y x f f x y f f x y   + =  − + − − =       （6 分） 2．设 2 ln d 0 x t y z z e t − + − =  ，求 dz . 解 方程两边关于 x 求导 1 2 0 z z x e x z x   − + − =   ，即 2 1 z z x e x z  − =  + ； （2 分） 方程两边关于 y 求导 1 2 0 z z y e y z y   − + + =   ，即 2 1 z z y e y z  − = −  + ． （4 分） 所以 2 2 d d d ( d d ) 1 z z z x y z = x y e x e y x y z   − − + = −   + ． （6 分） 2． 求函数 z x y = + ln( ) 在抛物线 2 y x = 4 上点 P(1,2) 处，沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向切线方向的 方向导数． 解 u 1 x x y  =  + ， u 1 y x y  =  + ，从而 u 1 x x y  =  + （2 分） 方向 PP1 2 = 4,3,12 ，其方向余弦 4 cos 13  = ， 3 cos 13  = ， 12 cos 13  = ． （4 分） 1 1 1 1 4 3 12 98 cos cos cos 2 10 5 P P P 13 13 13 13 P u u u u l x y z        = + + =  +  +  =     （6 分） 六、计算下列积分(共 2 道小题，每小题 7 分，满分 14 分) 1. 求累次积分 1 1 0 3 d d 1 y y y x + x   ； 得 分 得 分

[0≤x≤]解积分区域为D,o≤y≤1于是可写为Dly≤x≤1[0≤y≤x= d(3分）dd(1+x)=+V1+=(2-1)（7分）2.求积分+dxdy，其中D是由曲线x+=1的外部与x+=2x，=0围成的第一象限部分区域[x?+y =1，即极坐标方程[=1解由(=2cos’得交点(1号)[x? +y? = 2x积分区域为Dlo≤0≤，于是[1<r≤2cos+ddy=edofdr(4分)(8cos'0-1)do--sin'0)dsino--(ano-smol--5-(7分)(共6页第页)

(共 6 页 第5页) 解 积分区域为 0 1 1 y D y x        ，可写为 0 1 0 x D y x        ，于是 I 1 0 0 3 d d 1 x y x y x = +   （3 分） 2 1 0 3 1 d 2 1 x x x = +  1 3 0 3 1 1 d(1 ) 6 1 x x = + +  1 3 0 1 1 1 ( 2 1) 3 3 = + = − x （7 分） 2．求积分 2 2 d d D x y x y +  ，其中 D 是由曲线 2 2 x y + =1 的外部与 2 2 x y x + = 2 ，y = 0 围成的第一象限部 分区域． 解 由 2 2 2 2 1 2 x y x y x  + =   + = ，即极坐标方程 1 2cos r r   =   = ，得交点 (1, ) 3  。 积分区域为 0 3 1 2cos D r             ，于是 2cos 2 2 3 0 1 d d d d D x y x y r r r   + =      （4 分） 3 3 0 1 (8cos 1)d 3  = −    3 2 0 8 (1 sin )dsin 3 9   = − −    3 3 0 8 1 (sin sin ) 3 3 3 9 9    = − − = −   （7 分）