吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014级医用数学B2试卷（答案）

2014一2015学年第二学期《医科数学BII》试卷（2014级药学专业用）15年6月30日二三三四五六总分得分一、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）C,e"+C,e'r1.微分方程y"-5y+6y=0的通解y52 +122. L(3t sin 2t)3(s° +4)-2-的收敛半径R=3.幂级数>24.设==h(3x-2)，则(3x-2)6/375.函数=3xy-在(2,3)点处的最大的方向导数号元6.设D:x +y<1,则[[-x?-ydxdy得分二、选择题(共6道小题，每小题3分，满分18分)1.微分方程y"-2y-3y=3x+1用待定系数法求特解y时，J的形式应设为（OR(A). y=e-*(ax+b);:(B). y=ax+b;(D). y=e*(ax +b).(C). y=e*x(ax+b);2.级数u，收敛的充分必要条件（). c(A).limu,=0;(B)。p=lim"m<1:(C)limS,存在,(S,=u +u+u,); (D).u,≤1/n23.幂级数一的收敛域为（). D(A). [-1];(B)。 (-11):(C). (-1]:(D). [-11) .(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2014—2015 学年第二学期《医科数学 BⅡ》试卷 （2014 级药学专业用） 2015 年 6 月 30 日 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．微分方程 y y y   − + = 5 6 0 的通解 y = _． 2 3 1 2 x x C e C e + 2. L t t (3 sin 2 ) − =_． 2 2 2 12 ( 4) + + s s s 3．幂级数 2 1 1 4 ( 1) −  =  − n n n n x n 的收敛半径 R = ．2 4．设 z x y = − ln(3 2 ) ，则 2  =   z x y ． 2 6 (3 2 ) x y − 5．函数 2 2 z x y y = − 3 在 (2,3) 点处的最大的方向导数_．6 37 6．设 2 2 D x y : 1 +  ，则 2 2 1 d d D − − x y x y  ＝_ ． 2 3  二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1. 微分方程 y y y x   − − = + 2 3 3 1 用待定系数法求特解 * y 时， * y 的形式应设为（ ）．B (A)． ( ) − = + x y e ax b ； (B)． y ax b = + ； (C)． ( ) − = + x y e x ax b ； (D)． 3 = + ( ) x y e ax b . 2. 级数 1 n n u  =  收敛的充分必要条件（ ）．C (A)． lim 0 n n u → = ；(B)． 1 lim 1 n n n u u  + → =  ；(C)． lim n n S → 存在，（ n n 1 2 S u u u = + + + ）；(D)． 2 1/ n u n  ． 3.幂级数 1  =  n n x n 的收敛域为（ ）．D （A）． −1,1 ； (B)． (−1,1) ； (C)．(−1,1 ； (D)．−1,1)． 得 分 得 分

4函数z=x3+v3-3x2-3v2的极大值点是).A(A). (0,0);(B). (1,1);(C). (0,1):(D). (1,0).5．若f(x,J)的点(,J。)处的两个偏导数都存在，则（). c（A）(x,)在点(%)沿任意方向的方向导数存在；（B）f(x,)在点(,)可微；(D）(,)在点(%%)处连续(C）(x,%)在点x处连续，(x,J)在点%处连续；6.设平面区域D:1≤+≤4,J(x,)是在区域D上的连续函数，则(V+)dxdy等于（). A(B) 2元[(n)dr+J(r)d];(A) 2元[rf(r)dr;(C) 2a/g()dr;(D) 2 [(r)dr+J(r)ar]得分三、（共2道小题，第1小题10分，第2小题6分，满分16分）1. 设x>0时，(n)二阶导数连续，0)=2及(m)-(a)-d=x，求()x对方程两边求导解()--2, 即 [()--2x(3分)2令[()=P,则(n)=,，于是崇-=2x.(1)对应齐次方程-=0.即ap-1，nP=nx+hnC，即对应齐次方程通解 P=C,dx令非齐次方程通解P=C(x)x代入非齐次方程(1)，得C(x)x=2x，即C(g)=2，则C(x)=2x+C所以非齐次方程通解P=2x+Cx(2)将x=1代入方程，得()--0=1，即"(0)=3;将PO)-FO)-3代入(2）式，得G-1；于是（2）式为-2+x(8分)则(x)=x+x+C,(3)将J0)=2代入（3）式，得C=号，所以（()=号++(10分). m13-(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 4. 函数 3 3 3 2 3 2 z= x + y − x − y 的极大值点是（ ）． A （A）． (0,0) ； （B）． (1,1) ； （C）． (0,1) ； （D）． (1,0) ． 5．若 f x y ( , ) 的点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）．C （A） f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 沿任意方向的方向导数存在； （B） f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 可微； （C） 0 f x y ( , ) 在点 0 x 处连续， 0 f x y ( , ) 在点 0 y 处连续； （D） f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续． 6．设平面区域 2 2 D x y f x y :1 4, ( , )  +  是在区域 D 上的连续函数，则 ( ) 2 2 d d D f x y x y +  等于 ( )．A （A） 2 1 2 ( )d  rf r r  ； （B） 2 1 0 0 2 ( )d ( )d  rf r r rf r r   +     ； （C） 2 2 1 2 ( )d  rf r r  ； （D） 2 1 2 2 0 0 2 ( )d ( )d  rf r r rf r r   +     ． 三、(共 2 道小题，第 1 小题 10 分，第 2 小题 6 分，满分 16 分) 1．设 x  0 时， f (x) 二阶导数连续， f (1) = 2 及 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d − − =  f x f t x f x t x x t ，求 f (x) ． 解 对方程两边求导 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2  −  − − = xf x f x f x f x x x x ，即 ( ) ( ) 2   − = f x f x x x （3 分） 令 f x P ( ) = ，则 ( ) dP f x dx  = ，于是 − = 2 dP P x dx x ． （1） 对应齐次方程 − = 0 dP P dx x ，即 1 1 dP dx P x = ， 1 ln ln ln P x C = + ，即对应齐次方程通解 P C x = 1 令非齐次方程通解 1 P C x x = ( ) 代入非齐次方程（1），得 1 C x x x ( ) 2 = ，即 1 C x ( ) 2 = ，则 1 1 C x x C ( ) 2 = + 所以非齐次方程通解 2 1 P x C x = + 2 （2） 将 x =1 代入方程，得 (1) (1) 0 1 1  − − = f f ，即 f (1) 3 = ； 将 P f (1) (1) 3 = =  代入（2）式，得 1 C =1 ；于是（2）式为 2 ( ) = + 2 df x x x dx （8 分） 则 3 2 2 2 1 ( ) 3 2 f x x x C = + + ， （3） 将 f (1) = 2 代入（3）式，得 2 5 6 C = ，所以 2 1 5 3 2 ( ) 3 2 6 f x x x = + + ． （10 分） 2．解微分方程组 d , d d . d  =    =  x y t y x t 得 分

解法一由得，将其代入一，得是=x，即dx=0．(2分）td? x特征方程r2-1=0，特征根=-1,=1.-x=0的通解为x=C,e+C,e(4分)dt-将其代入=y，得y=Ce-C,e"。[x=C,e' +C,e'"所以方程组的解，(6分)ly=Ce'-C,e-"法二设L(x)=X(s), L()=Y(s)(2分)[x() = (0) + (0) J sX(s)-x(0)=Y(s),52-1对方程组每一方程两边取拉氏变换，得[sY(s)-y(O)= X(s),[r() = 2(0)5+ ()s-1x(0)+ (0)x(0)- (0)1+C.--=-X(s)=-s-1s+1C2s+1所以(4分)x(0)+y(0)x(0)- y()=C,-C,Y(s)=25+1S+1S故方程组的解x=Ce+Ce"(6分)y=C,e'-C,e"得分四、（共2道小题，每小题8分，满分16分）1.求幂级数的和函数，并求级数之的和解设2-2P=南片=，R==1,×--1时，一收敏：×-1时，一2发败，故收敏域[1L)。(3分）(-(2)--()=d+(0)--n(-)于是(0)-[-L)s(-1) =-Iln2(共6页第页)

(共 6 页 第3页) 解 法一 由 d d = x y t 得 2 2 d d d d = y x t t ．将其代入 d d = y x t ，得 2 2 d d = x x t ，即 2 2 d 0 d − = x x t ． （2 分） 特征方程 2 r − =1 0 ，特征根 1 2 r r = − = 1, 1． 2 2 d 0 d − = x x t 的通解为 1 2 − = +t t x C e C e ． （4 分） 将其代入 d d = x y t ，得 1 2 − = − t t y C e C e ． 所以方程组的解 1 2 1 2 , . − −  = +   = − t t t t x C e C e y C e C e （6 分） 法二 设 L x X s ( ) ( ) = ， L y Y s ( ) ( ) = （2 分） 对方程组每一方程两边取拉氏变换，得 ( ) (0) ( ), ( ) (0) ( ),  − =   − = sX s x Y s sY s y X s 即 2 (0) (0) ( ) , 1 (0) (0) ( ) , 1  + =  −  +  =  − sx y X s s y s x Y s s 所以 1 2 1 2 (0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 ( ) 1 1 1 1 (0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 ( ) , 1 1 1 1  + −   = + = +  − + − +  + −   = − = −  − + − + x y x y X s C C s s s s x y x y Y s C C s s s s （4 分） 故 方程组的解 1 2 1 2 , . − −  = +   = − t t t t x C e C e y C e C e （6 分） 四、(共 2 道小题，每小题 8 分，满分 16 分) 1．求幂级数 1 n n x n  =  的和函数，并求级数   =1 2 1 n n n 的和． 解 设 1 ( )  = =  n n x s x n 1 1 lim / 1 1  → = = n n n + ， 1 1  R = = ， x =−1 时， 1 1 ( 1)   = = −  = n n n n x n n 收敛； x = 1 时， 1 1 1   = =  = n n n x n n 发散，故收敛域 [ 1,1) − ． （3 分） 1 1 1 1 ( ) 1   − = =     = = =     −   n n n n x s x x n x 1 ( )  = =  n n x s x n = 0 1 d (0) ln(1 ) 1 + = − − −  x x s x x s( 1) ln 2 − = − 于是 1 ( ) ,  = =  n n x s x n x −[ 1,1) ． 得 分

取x=，得之-n2(8分)2. 将菌数 ()=→+x-2，展开成x的幕级数.3x(3分)解： f(x)=2=3 (+2)x-1=-2)x2+x-2E--1), x (-11)(8分)得分五、（共3道小题，每小题6分，满分18分)1.设z=f(x+y,e+m），其中了有连续偏导数，求y%=xoy%-f-2+f-2xe+ =2(++e)(2分)-f-2y+-2ye=2(++f)(4分）则%y2x+e)=2(+e),%=×2+e)=2(+ef)所以=x(6分)o2.设由方程xy+yz+zx=0，确定z=F(x,J)，求dzOzXX%=0，即%解y+y+2+三，由对称性(4 分)ay-x+yYx+1(6分)$+ydyx+y3.某医药企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量O=-8x2+12xy－3y2，若该企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量Q最大？(2 分)解: F(x, y, 2)=-8x2 +12xy-3y2 + (x+y-230)F, =-16x+12y+^=0F,=12x-6y+=0(4分)x+ y=230(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 取 1 2 x = ，得   =1 2 1 n n n = ln 2 （8 分） 2．将函数 2 3 ( ) 2 x f x x x = + − 展开成 x 的幂级数. 解： 2 3 1 1 1 ( ) 3 ( ) 2 ( 2)( 1) 1 2 x f x x x x x x x x x = = = − + − + − − + （3 分） 0 ( 1) 2 2 n n n n x x  = − = − −  0 n n x x  =  1 1 1 0 ( 1) ( 1) , ( 1,1) 2 n n n n x x  + + + = − = −  −  （8 分） 五、 (共 3 道小题，每小题 6 分，满分 18 分) 1.设 2 2 2 2 ( , ) x y z f x y e + = + ，其中 f 有连续偏导数，求 z z y x x y   =   . 解 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( )  + + =  +  = +      z x y x y f x f xe x f e f x （2 分） 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( )  + + =  +  = +      z x y x y f y f ye y f e f y （4 分） 则 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) z x y x y y y x f e f xy f e f x  + + =   + =  +      ， 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( )  + + =   + = +      z x y x y x x y f e f xy f e f y 所以 z z y x x y   =   （6 分） 2．设由方程 xy yz zx ++= 0 ，确定 z f x y = ( , ) ，求 dz . 解 0 z z y y z x x x   + + + =   ，即 z y z x x y  + = −  + , 由对称性 z x z y x y  + = −  + (4 分) d d d d d   + + = + = − −   + + z z y z x z z x y x y x y x y x y . (6 分) 3. 某医药企业在雇用 x 名技术工人，y 名非技术工人时，产品的产量 2 2 Q = −8x +12xy − 3y ，若该企业只能雇 用 230 人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量 Q 最大？ 解： 2 2 F x y x xy y x y ( , , ) 8 12 3 ( 230)   = − + − + + − (2 分) 令 16 12 0 12 6 0 230 x y F x y F x y x y    = − + + =   = − + =   + = （4 分） 得 分

解得x=90,y=140，得唯一驻点，由于问题本身存在最大值，所以雇用90名技术工人，140名非技术工人才能使产量Q最大。(6分)得分六、计算下列积分(共2道小题，每小题7分，满分14分)1.Jxe-da，其中D是以(0.0)，(,1)，（0.1)为顶点的三角形。0≤y解积分区域DJ[0≤x≤yJ xe"'do=' df'xerdx(3分)-'e"-'veray---o'e"l-'e"dy)--(e+e")--(2e'"-1)=(1-2e")(7分）2.求积分[+y-4ddy，其中D是由曲线+y=9围成的区域J0≤0≤2, D.[0≤0≤2元解 D=D+D,D[0≤r≤2[2≤r≤3J+y-4/dy=J[(4-x-y)ddy+J[(+y-4)drdy（2分）-f" dof"(4-r")rdr +J*" dof'(r -4)rdr（5分）=2元(2r2_1)+2元（／-2）=8元+号5元=号元（7分）(共6页第页)

(共 6 页 第5页) 解得 x y = = 90, 140 ，得唯一驻点，由于问题本身存在最大值，所以雇用 90 名技术工人，140 名非技术工人 才能使产量 Q 最大。 (6 分) 六、计算下列积分(共 2 道小题，每小题 7 分，满分 14 分) 1. 2 2 d y D x e  −  ，其中 D 是以 (0,0) ，(1,1) ，(0,1) 为顶点的三角形. 解 积分区域 0 1 0 y D x y        2 2 d y D x e  − =  1 2 2 0 0 d d y y y x e x −   （3 分） 1 1 2 2 3 3 0 0 0 1 1 ( )d d 3 3 y y y e x y y e y − − = =   2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 1 ( d ) ( ) 6 6 y y y y e e y e e − − − − = − − = − +  1 1 1 1 (2 1) (1 2 ) 6 6 e e − − = − − = − （7 分） 2.求积分 2 2 4 d d D x y x y + −  ，其中 D 是由曲线 2 2 x y + = 9 围成的区域． 解 D D D = +1 2 1 0 2 0 2 D r          ， 2 0 2 2 3 D r          1 2 2 2 2 2 2 2 4 d d (4 )d d ( 4)d d D D D x y x y x y x y x y x y + − = − − + + −    （2 分） 2 2 2 0 0 d (4 ) d r r r  = −    2 3 2 0 2 d ( 4) d r r r  + −    （5 分） 2 3 2 4 4 2 0 2 1 1 2 (2 ) 2 ( 2 ) 4 4 = − + −   r r r r 25 41 8 2 2 = + =    （7 分） 得 分