吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014-2015_高数AIII（题目）

2014一2015学年第一学期《高等数学AIII》试卷2015年1月14日二三A总分得分、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）V3(0≤1≤2元)，则(x* + y")ds :1.「为空间曲线：xcost,y2.为空间球面x+y+2=1的外侧，则xdydz+ydzdx+zdxdy aydz + ded + dxdy =3.为平面×++z=1在第一卦限部分的下侧，则4.已知向量场A(x,y,=)=x++，则rot(x,y=)-12-5．常微分方程的解为y[(1) =1得分二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1.已知曲面的方程为x++=α（α>0,=≥0),,为在第一卦限内对应的部分，则下列选项正确的是（2(A) JF zds =4 JJ xds;(B) JJ ydS=4JJ xds(C) J xds =4J] xds :(D) J xyrdS=4J preds:Page 1 of 6

2014—2015 学年第一学期《高等数学 AIII》试卷 2015 年 1 月 14 日 一 二 三 四 总 分 得 分 一、填空题(共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 1．Γ为空间曲线： 3 3 cos , sin , (0 2 ) 2 22 t x ty tz t = = =≤ ≤ π ，则 2 2 2 ( )d 3 x y s Γ + = ∫ 。 2．Σ 为空间球面 的外侧,则 2 22 xyz ++=1 xdydz ydzdx zdxdy Σ ∫w∫ + + = 。 3．Σ 为平面 xyz ++=1在第一卦限部分的下侧,则 2 3 dydz dzdx dxdy Σ ∫∫ + + = 。 4．已知向量场 222 A(, , ) xyz xi yj z k =++ JG GG G ，则rot , , A( ) xyz = JG 。 5．常微分方程 1 ' (1) 1 y y x y ⎧⎪ ⎪ − = x ⎪ ⎪ ⎪⎩ = ⎪ ⎨ 的解为 y = 。 得 分 二、选择题(共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 1．已知曲面Σ 的方程为 ( 2 22 2 x y z aa z ++= > ≥ 0, 0) ,Σ1为Σ 在第一卦限内对应的部分,则下列选项正 确的是（ ）。 (A) ； (B) 1 zdS xdS 4 Σ Σ ∫∫ ∫∫ = 1 ydS xdS 4 Σ Σ ∫∫ ∫∫ = ； (C) 1 xdS xdS 4 Σ Σ ∫∫ ∫∫ = ； (D) 1 xyzdS xyzdS 4 Σ Σ ∫∫ ∫∫ = ； Page 1 of 6

2.设数列(a,)单调减少，lim4,=0,5,=a,(n=1,2.)无界，则塞级数a,(x-1)的收敏域为).(A)(-1, 1);(B)[0, 2);(C)[-, 1);(D)(0, 2);3．下列选项正确的是（(A)数值项级数a,收敛，则(-1)"收敛(B)数值项级数≥4.收效，则≥(a.+.)可能发敏(C)数值项级数≥4,与≥b.都发，则≥(4。b,)也发收；(D）数值项级数a,与b.都发收，则(a,+b.)发；4。下列微分方程中,以y=Ce'+C,cos2x+C,sin2x-x-1（C,C,C,为任意常数）为通解的方程是（)。(A) y"+y"-4y'-4y=-x+1:(B); y"+y"+4y'+4y=-x*+x;(C); y"-y+4y'-4y=4x;(D) y"-y"-4y'+4y=x25．常微分方程y"+y=3x2+2sinx的特解形式可设为（)(A) y'=x(ax*+bx+c)+(4x+ B)sinx+(Cx+D)cosx;(B) y = Asinx+ Bcosx+x(ax +bx+c)(C) y'=ar +bx*+cx+d+(4x+B)sinx+(Cx+D)cosx ;(D) y =ax* +bx+c+ xAsinx:Page 2 of 6

2．设数列 单调减少，li ， 无界，则幂级数 的收敛域为 （ ）。 { }n a m 0 n n a →∞ = ( 1 1, 2,. n n i i S an = = = ∑ ) ( ) 1 1 n n n a x ∞ = ∑ − （A） （-1，1]； （B） [0，2）； （C） [-1，1）； （D） （0，2]； 3．下列选项正确的是（ ）。 (A) 数值项级数 收敛，则 1 n n a ∞ = ∑ ( ) 1 1 n n n a n ∞ = ∑ − 收敛； (B) 数值项级数 收敛，则 可能发散； 1 n n a ∞ = ∑ ( 1 1 n n n a a ∞ + = ∑ + ) (C) 数值项级数 与 都发散，则 )也发散； 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ ( 1 n n n a b ∞ = ∑ − (D) 数值项级数 与 都发散，则 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n b ∞ = ∑ ( ) 1 n n n a b ∞ = ∑ + 发散； 4．下列微分方程中,以 ( 为任意常数 )为通解的方程 是（ ）。 12 3 cos 2 sin 2 1 x y Ce C x C x x = + + −− 1 2 CCC , , 3 (A) yy y y x ''' '' 4 ' 4 1 + − − =− + ； (B)； 2 y ''' '' 4 ' 4 + + + =− + y yyx x x ； (C)； yy y y ''' '' 4 ' 4 4 −+ − = ； (D) 2 y ''' '' 4 ' 4 −− + = y y yx 5．常微分方程 2 y '' 3 2sin += + y x x 的特解形式可设为（ ）。 (A) y x ax bx c Ax B x Cx D x * 2 = + ++ + + + ( ) ()( ) sin cos ； (B) ( ) * 2 y A x B x x ax bx c = + + ++ sin cos ； (C) ( ) ( ) * 32 y ax bx cx d Ax B x Cx D = + + ++ + + + sin cos x ； (D) * 2 y = + ++ ax bx c xA x sin ； Page 2 of 6

得分三、计算题（共4小题，每小题9分，共36分1.计算[,xdy-3ydx，其中L是抛物线y=x2上从点A(1,1)到B(-1,1)对应的一段曲线。2"ln"的敛性2.判别级数>Page 3 of 6

三、计算题(共 4 小题，每小题 9 分，共 36 分) 得 分 1．计算 2 d 3d L x y yx − ∫ ，其中 L 是抛物线 2 y = x 上从点 到 对应的一段曲线。 A(1,1) B( 1,1) − 2．判别级数 1 2 ln ! n n n n ∞ = ∑ 的敛散性。 Page 3 of 6

3．求微分方程y'-的通解VX.、 数 ) -0 为 的解酸数, *2(-一 6) 和。Page 4 of 6

3．求微分方程 ' 2 y y y x x − = 的通解。 4．将函数 2 f ( ) cos x = x 展为 x 的幂级数,并求 ( ) 0 ( ) 4 1 2 ! n n n n ∞ = ∑ − 的和。 Page 4 of 6

得分四、计算题（共4小题，第1、2、3题各9分，4题7分，共34分)1.求常微分方程y"-8y=24xe2"的通解。2.计算1=Φ,dx-xdy-2d，其中是平面y+z=2与柱面x+y=1的交线，从z轴的正向向负向看工取顺时针方向。Page 5 of 6

四、计算题(共 4 小题，第 1、2、3 题各 9 分， 4 题 7 分，共 34 分) 得 分 1．求常微分方程 2 8 24 x y ′′′− =y xe 的通解。 2．计算 2 dd d2 I y x xy z z Γ = −− v∫ ，其中 是平面 与柱面 的交线，从 z 轴的正向向负向 看Γ取顺时针方向。 Γ y z + = 2 2 2 x y + =1 Page 5 of 6

3计算1=3xydx+(+x-2y)dy，其中L是第一象限从点O(0,0)沿圆周x+=2x到点A(2,0)，再沿圆周x2+J=4到点B(0,2)的曲线弧cos(r,n)4.计算1="as，其中M(x,y,)为简单封闭光滑闭曲面上任意一点，M。(o,o.=)为F曲面Z所围区域的内点，=M.M，n为Z上点M(x,J,)处的外法向量。Page 6 of 6

3．计算 ( ) 2 3 3 L I = + +− x ydx x x y dy 2 ∫ ，其中 L 是第一象限从点 O(0,0) 沿圆周 2 2 x + = y 2x 到点 A(2,0)，再沿圆周 到点 2 2 x y + = 4 B(0,2)的曲线弧。 4．计算 ( ) 2 cos ,r n I dS Σ r = ∫∫ G G w G ，其中 M (xyz , , )为简单封闭光滑闭曲面Σ 上任意一点，M0 0 0, 0 (x yz , )为 曲面Σ 所围区域的内点， ， r MM = 0 n 为Σ 上点 G JJJJJG G M (xyz , , )处的外法向量。 Page 6 of 6