吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014AII试卷（答案）

吉林大学2013~2014学年第二学期《高等数学AI》试卷答案2014年6月28日题号三总分得分得分单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分），(,)(0,0)在(0.0)处(C).1.二元函数(x,J)=+0(x, y) =(0,0)（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在，2.过点（3,2,5）且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线方程为（B).(A) X-3_-2_2-5x-3_y-2_z-5(B)x-3_y-2_z-5x-3 y-2 z-5(C)(D)3-33．设1=[°d]。f(x,)dx，则改变积分次序后1=（C(B) J axff(x,)dy.(A) J'dx/y f(x,y)dy.(C) 'dxf (x,y)dy.(D) J'dxf* f(x,y)dy4.函数f(x,J)=3-y+3x2+3y2-9x的极大值点为（A）.(A) (-3,2):(B) (1,2);(D) (1,0).(C) (-3,0);5。设空间区域=(x,,=)≤≤1-x-，则积分=d=(B）(A) :(B) :(C) 4元;(D)2元6.设点A(x,sinx)是曲线y=sinx(0≤x≤元）上一点，记S(x)是直线OA（O为原点）与(共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页） 吉林大学 2013~2014 学年第二学期《高等数学 AⅡ》试卷答案 2014 年 6 月 28 日 题号 一 二 三 总 分 得分 得 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．二元函数      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 在 (0,0) 处（ C ）． （A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在． 2．过点（3,2,5）且与两平面 x − 4z = 3 和 2x − y − 5z = 1 的交线平行的直线 方程为（ B ）． （A） 1 5 3 2 4 3 − = − = − x − y z ． （B） 1 5 3 2 4 3 − = − = x − y z ． （C） 1 5 3 2 4 3 − = − − = − x − y z ． （D） 1 5 3 2 4 3 − = − − = x − y z ． 3．设 1 1 0 0 d ( , )d y I y f x y x − =   ，则改变积分次序后 I = （C ）． （A） 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   ． （B） 1 1 0 0 d ( , )d y x f x y y −   ． （C） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   ． （D） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y +   ． 4. 函数 ( ) 3 3 2 2 f x y x y x y x , 3 3 9 = − + + − 的极大值点为( A )． （A） ( 3,2) − ； （B） (1, 2) ； （C） ( 3,0) − ； （D） (1,0) . 5．设空间区域   2 2 Ω =   − − ( , , ) 0 1 x y z z x y ，则积分 z dv  =  ( B ) ． （A） π 2 ； （B） π 4 ； （C） 4π ； （D） 2π． 6．设点 A x x ( ,sin ) 是曲线 y x x =   sin (0 )  上一点，记 S x( ) 是直线 OA（O 为原点）与

曲线y=sinx所围成图形的面积，则当x→0+时，S(x)与（A)（A）为同阶无穷小：（B）x为同阶无穷小：（C）为同阶无穷小；（D）x为同阶无穷小。得分填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）[(=6-～-在x0y面上的投影曲线方程为+>-2y-3=01.曲线[2y+z-3=02=0y+]dx+(x-4)2.设z=xy+=，则dz=3. 函数u=x +2-+2y~在点(-1,2,-3)处的方向导数的最大值等于214. 设函数F(t)=J.=n(1+x)dy，则 F(2)=—n55. [ drl+xx=-1+26.过点M(1,2,-1)且与直线y=3t-4垂直的平面方程为[ z=1-1-3y-z+4=0得分三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）x=acos't1.求星形线=asm，(≤12)成的平面图形绕x轴转一周所生成的转体体积和该星形线的全长，其中α>0是常数，解：dy=元ydx=3元a'sin'tcostdt.2分V=2f dv=6nd' ,sin' (1-sin t)d =.分.0105ds=x(0)+y(t)dt=3asintcostldt..分s=12af,/sinicostdt=6a..8分（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页） 曲线 y x = sin 所围成图形的面积，则当 x 0 → + 时， S x( ) 与( A )． （A） 4 x 为同阶无穷小； （B） 2 x 为同阶无穷小； （C） 3 x 为同阶无穷小； （D） x 为同阶无穷小． 得 分 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．曲线    + − = = − − 2 3 0 6 2 2 y z z x y 在 xoy 面上的投影曲线方程为 2 2 2 3 0 0 x y y z  + − − =   = . 2．设 x z xy y = + ，则 d z = 2 1 d d x y x x y y y     + + −         ． 3．函数 2 2 2 u x y z xy yz = + + − + 2 在点 ( 1, 2, 3) − − 处的方向导数的最大值等于 21 ． 4．设函数 ( ) ( ) 0 1 ln 1 d x F x xy y y = +  ，则 F(2) = ln5 . 5． 2 d 1 x x + − = +   ． 6. 过点 M (1,2, 1) − 且与直线 2 3 4 1 x t y t z t  = − +   = −   = − 垂直的平面方程为 x y z − − + = 3 4 0 ． 得 分 三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分） 1．求星形线 ( ) 3 3 cos 0 2 sin x a t t y a t   =     = 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转 体体积和该星形线的全长，其中 a  0 是常数. 解： 2 3 7 2 d d 3 sin cos d v y x a t t t = =   .2 分 2 2 3 7 2 3 0 0 32 2 d 6 sin (1 sin )d 105 V v a t t t a   = = − =     .4 分 d ( ) ( ) d 3 sin cos d s x t y t t a t t t = + =   .6 分 2 0 s a t t t a 12 sin cos d 6  = =  .8 分

[2x +y2+2 = 452.求空间曲线在点P(-2,1,6)处的切线方程和法平面方程。X+2y =z解方程组两端同时对x求导，得J4x+2W* +2z′ =02分2x+4y,=2.解得会号20..4分故切线方程为+-6.6分052812法平面方程为25x+28y+12z=50.8分3. 设：=(g,)，其中于具有二阶连续偏导数，求点,ax'axay解 %-y+20].... （3分)02+[-2++202+（)·（8分）=2yf+2xf+2xyff+5xyf+2xyf（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页） 2. 求空间曲线 2 2 2 2 2 2 45 2 x y z x y z  + + =   + = 在点 P0 (−2,1,6) 处的切线方程和法平面方程． 解 方程组两端同时对 x 求导，得 4 2 2 0 2 4 x x x x x yy zz x yy z  + + =    + =   .2 分 解得 0 0 28 12 , 25 25 x p x p y z   = = .4 分 故切线方程为 2 1 6 25 28 12 x y z + − − = = .6 分 法平面方程为 25 28 12 50 x y z + + = .8 分 3．设 2 2 z f xy x y = ( , ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 x y z x z      2 , ． 解： 2 1 2 2 z y f xyf x  = +   ． .（３分） 2 2 2 1 11 12 2 2 z yf y f xy f x x y  = +  +           2 2 21 22 + +  +  2 2 2 xf xy f xy f x        .（6 分） 3 2 2 3 1 2 11 12 22 = + + + + 2 2 2 5 2 yf xf xy f x y f x yf      . .（8 分）

4.求函数f(x,y)=xy-x在半圆域D=(x,y)x2+y≤1,y≥0)上的最大值和最小值[a.y-1=0解先求区域D内部的驻点，由」ax得x=0,y=1,该点在边界上。2分af=x=0O再求区域边界上的驻点在边界+y°=1上，令L(x,)=xy-x+(x+°-1)，解方程组(L,= y-1+22x=0L,=x+27y=0得x=0,y=1，该点函数值f(0,1)=0..5分[x +y2-1=0在边界y=0,-1≤x≤1上，函数f(x,J)=-x，此时函数最大值f(-1,0)=1,最小值f(1,0) = -1.7分.8分综上，函数在区域D上的最大值f(-1,0)=1,最小值f(1,0)=-15.计算 Jlcos(x+y)dxdy，D:0≤x≤0≤y≤解 JJcos(x+ )ktxdy=J acos(x+ )dy-[,daj cos(x+)dy（4分）sin(x+)dx-sin(x+dJ(-sin x)dx-J(cosx-1)d. （·分=(x+cos x)-(sinx-x) =元2 （·分)（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页） 4．求函数 f (x, y) = xy − x 在半圆域 ( , ) 1, 0 2 2 D = x y x + y  y  上的最大值和最小 值. 解 先求区域 D 内部的驻点，由       = =   = − =   0 1 0 x y f y x f 得 x = 0, y =1,该点在边界上. .2 分 再求区域边界上的驻点. 在边界 1 2 2 x + y = 上，令 ( , ) ( 1) 2 2 L x y = xy − x +  x + y − ，解方程组      + − = = + = = − + = 1 0 2 0 1 2 0 2 2 x y L x y L y x y x   得 x = 0, y =1 ，该点函数值 f (0,1) = 0 . .5 分 在边界 y = 0,−1 x 1 上，函数 f (x, y) = −x ，此时函数最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. .7 分 综上，函数在区域 D 上的最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. . .8 分 5. 计算 x y dxdy D  cos( + ) ， 2 ,0 2 : 0   D  x   y  . 解 x y dxdy D  cos( + ) = 2 2 2 2 0 0 0 2 cos( ) cos( ) x x dx x y dy dx x y dy      − − + − +     .（4 分） = 2 2 2 2 0 0 0 2 sin( ) sin( ) x x x y dx x y dx      − − + − +   = 2 2 0 0 (1 sin ) (cos 1) x dx x dx   − − −   .（6 分） = 2 2 0 0 ( cos ) (sin ) x x x x   + − − = −2 . .（8 分）

6。 计算三重积分[[(r+)+)dv, 其中Q 是曲线[=2=统=轴旋转一周而成x=0的曲面与≥=4所围成的区域27轴旋转一周而成的曲面方程为22=×+..2分解：曲线x=0利用柱面坐标计算，则原式=Jdej。rdr=(r+2)d..6分=2元j。(4r:+8r-gr)dr256..8分3dx的敛散性7.判别[/r..分解设f(x)=-，则()≤-=sinVx1而无界函数积分[dx收敛.分-1由比较判别法dx收敛.O一·分(共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页） 6. 计算三重积分 ( ) 2 2 x y z d v  + +  ，其中  是曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周而成 的曲面与 z = 4 所围成的区域. 解：曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周而成的曲面方程为 2 2 2z x y = + .2 分 利用柱面坐标计算，则原式= 2 2 8 4 2 0 0 2 d d ( )d r r r r z z   +    .6 分 = 8 3 5 0 5 2 (4 8 )d 8  r r r r + −  = 256 3  .8 分 7. 判别 1 2 0 1 1 sin d x x x  的敛散性. 解 设 2 1 1 f x( ) sin x x = ，则 1 f x( ) x  .4 分 而无界函数积分 1 0 1 d x x  收敛 .6 分 由比较判别法 1 2 0 1 1 sin d x x x  收敛. .8 分

(x? +y")sin -,x+y?+0x2+y2，问在点(0,0)处，8. 设f(x,y)=0,x2+y?=0（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？(Ar) in AT =0F(0+Ax,0)-F(0,0)解(1)f(0,0)=lim= limoArAr1(A sin=0F(0,0+Ay)-T(0,0)(0.0)= lmlimoAyAy函数在点(0,0)处偏导数存在。(2当(x,Jy)±(0,0)时,-2xf(x,y)=2xsin+(x2+ y2)cos-+y(x+y)2x=2xsin+y*++yccoS+y2x又 lim f(x,)=lim(2xsin-COS+yx+yx?+y?1-0-02）不存在()沿x轴趋于(0,0)时，上式=(2xsin2cosT+y1二0故偏导数(x,J)在点(0,0)不连续。由函数关于变量x,y的对称性可知2y-cosJ,(x, y)=2ysin-"+yx+y"x?+y?1.同理可得lim f;(x,y)=lim(2ysin )不存在，故偏导数;(x,J)COSx?+y2yx+y2010在点(0,0)不连续。（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页） 8. 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0 , 0 x y x y f x y x y x y  + +   =  +   + = ，问在点 (0,0) 处， （1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？ 解（1） 2 2 0 0 1 ( ) sin (0 ,0) (0,0) ( ) (0,0) lim lim 0 x x x x f x f x f  →  → x x  +  −   = = =   2 2 0 0 1 ( ) sin (0,0 ) (0,0) ( ) (0,0) lim lim 0 y y y y f y f y f  →  → y y  +  −   = = =   函数在点 (0,0) 处偏导数存在。 （2）当 ( , ) (0,0) x y  时， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( , ) 2 sin ( )cos ( ) x x f x y x x y x y x y x y −  = + +  + + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin cos x x x y x y x y = − + + + 又 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 lim ( , ) lim(2 sin cos ) x x x y y x f x y x → → x y x y x y → →  = − + + + ( , ) x y 沿 x 轴趋于 (0,0) 时，上式 2 2 2 0 0 1 2 1 lim(2 sin cos ) x y x → x x x y = = − + 不存在， 故偏导数 ( , ) x f x y  在点 (0,0) 不连续。 由函数关于变量 x y, 的对称性可知 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , ) 2 sin cos y y f x y y x y x y x y  = − + + + 同理可得 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 lim ( , ) lim(2 sin cos ) y x x y y f x y y → = x y y x y → →  = − + + 不存在，故偏导数 ( , ) y f x y  在点 (0,0) 不连续

(3) Az= f(0+Ar,0+Ay)- f(0,0)=[(Ar) +(Ay)1sin(Ar)° +(Ay)?[(Ar) +(A)]sin +(z-d=limlimp450(Ax)° +(Ay)?=(4r)P+(4)-lim (Ar)" +(Ay) sinJim Vasin =0(Ar)? +(Ay)即z-dz=o(p)，故du=0，函数在(0,0)可微。(共6页第7页）

（共 6 页 第 7 页） （3） 2 2 2 2 1 (0 ,0 ) (0,0) [( ) ( ) ]sin ( ) ( ) z f x y f x y x y  = +  +  − =  +   +  2 2 2 2 0 0 2 2 0 1 [( ) ( ) ]sin ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x y x y z dz x y x y →  →   →  +   −  +  =  +  2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 lim ( ) ( ) sin lim sin 0 ( ) ( ) u x y x u y x y u x y u + =  +   → →  → =  +  = =  +  即  − = z dz o( )  ，故 du = 0 ，函数在 (0,0) 可微