吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13AII试卷（答案）

吉林大学2012~2013学年第二学期《高等数学AII》试卷参考答案与评分标准、单项选择题1. (B);2. (C);3. (A);4. (D);5. (C);6. (A)二、填空题1.号：2. 1;3.+22=5x;4. dz=dx+dy;115.(2,1);6.6~3e三、按要求解答下列各题[+ dln xd3分1.解 原式-x(n=[ (mx5分1-k (n x)-/当k>1时，原式=式=1-k (n)/=(k1)(ln 2)-1故当k>1时，该反常积分收敛.8分2.解：%-1+r(+xol=f-1=f'+.2分++*(-+0-..4分2e()..分axoyxx(yrXa220z=0..8分Xax2+yaxdy(共3页第1页）

（共 3 页 第 1 页 ） 吉林大学 2012~2013 学年第二学期 《高等数学 AII》试卷参考答案与评分标准 一、单项选择题 1.（B）； 2.（C）； 3.（A）； 4.（D）； 5.（C）； 6.（A）. 二、填空题 1. 2  ； 2. 1； 3. 2 2 y z x + = 5 ； 4. d d d z x y = + ； 5. （2,1）； 6. 1 1 . 6 3e − 三、按要求解答下列各题 1.解：原式= 2 2 d d ln (ln ) (ln ) k k x x x x x + + =   3 分 1 2 1 1 1 (ln ) k k x + − = − 5 分 当 k 1 时，原式 1 1 2 1 1 1 . 1 (ln ) ( 1)(ln 2) k k k x k + − − = = − − 故当 k 1 时，该反常积分收敛. 8 分 2.解： 2 z x x 1 f y f x f f y y x y      = +  − +  = − +          .2 分 2 z y y 1 yf x f x y x x        =  + +   − = + −          2 2 2 2 2 2 3 z y y y y y 1 1 f f x y x x x x y x          =  +  − + −  − = +                .4 分 2 2 2 2 z x y x y 1 1 1 f f x y y x x x x y x        =  − +  − − = − −             .6 分 2 2 2 0 z z x y x x y   + =    . .8 分

3.解：积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为奇函数，所以I= [[ xydo+[[x + y2-2]da = [[x + y2-2]do....3分D分割D:2≤x+y≤3,D,:x+y<2则 1= [(x2 +y2-2)da+ [(2-x2 -y)do....5分=Jdojr dr-Jdo],Frdr-2(3元-2元)+2(2元)...7分学...8分4.解：设K=JJ(x,y,2)dv,则(x,)=++.3分两端积分有K=J/+dv+JJ=dV=+6K=dof'ardr+Jz2'd+k. 解得K=12-3元7分2元即f(x,y,)=++..8分12-3元四、按要求解答下列各题1.解：S=2]V(x)+(y/)dt..2分S=2fJ(1cos)+d'sin'd.分= 4af,singd...7分8g...8分2.解：设切点A(x,%)，则切线方程为：J-x=2x(x-x)，得切线与x轴交点为(号,0),.3分由--学x-得%-1.（共3页第2页）

（共 3 页 第 2 页 ） 3.解：积分区域关于 x 轴对称，被积函数关于 y 为奇函数，所以 2 2 2 2 d 2 d 2 d D D D I xy x y x y = + + − = + −       .3 分 D 分割 2 2 2 2 1 2 D x y D x y : 2 3, : 2  +  +  则 1 2 2 2 2 2 ( 2)d (2 )d D D I x y x y = + − + − −     .5 分 2 3 2 2 3 3 0 2 0 0 d d d d 2(3 2 ) 2(2 ) r r r r   = − − − +          .7 分 5 2  = .8 分 4．解：设 K f x y z v ( , , )d  =  ， 则 2 2 f x y z x y Kz ( , , ) = + + .3 分 两端积分有 2 2 d d 6 4 D D K x y V K z V K   = + + = +   2 1 1 1 2 3 0 0 0 d d d d r 6 4 K r r r K z z K    = + = +       .6 分 解得 2 12 3 K   = − .7 分 即 2 2 2 ( , , ) 12 3 f x y z x y z   = + + − .8 分 四、按要求解答下列各题 1. 解： 2 2 0 2 ( ) ( ) d t t S x y t  = +    .2 分 2 2 2 2 0 S a t a t t 2 (1 cos ) sin d  = − +  .5 分 0 4 sin d 2 t a t  =  .7 分 = 8a .8 分 2. 解：设切点 0 0 A x y ( , ) ，则切线方程为： 2 0 0 0 y x x x x − = − 2 ( )， 得切线与 x 轴交点为 0 ,0 2   x     ． .3 分 由 0 2 2 0 0 0 1 1 d 2 2 12 x x  x x x −   = ，得 0 x =1．

.5分:切点为 A4(1,1)v-Ix-(rdx-+P=..8 3.解：解得D内可疑点（1,2）：..分-X在x=0上，=y2-3y,令,=2y-3=0,得到可疑点(0. ),(0,0)(0.4)在y=0上，f=x,.分令}"=2x=0，得到可疑点(0,0),(4,0)在x+y=4上，=3x2-9x+4,令=6x-9=0，得到可疑点G-.．分f(,2) =-3, f(0,0) =0, f(4,0)=16,0.--0----故(4,0)=16, (1,2)=3..8分4.解：(1)(1,1,2)= y- y[a12)=-1,..3分f;(1,1,2)= 2xy- xz(1,2)= 0(1,1,2)=xy+32 [(1,2)=11,故所求梯度为(-1,0,11)...5分N2（2）由已知，cosα：,cosβ....6分,cosy121%lm (-1.12..8分=5222(共3页第3页）

（共 3 页 第 3 页 ） ∴切点为 A(1,1) . .5 分 1 2 2 2 0 1 1 ( ) d 1 3 2 30 V x x  =  −    =    ． .8 分 3. 解： 2 0, 2 3 0, x y f x y f y x    = − =    = − − =  解得 D 内可疑点（1,2）. .2 分 在 x = 0 上， 2 f y y = −3 ， 令 2 3 0 y f y  = − = ，得到可疑点 3 (0, ),(0,0),(0, 4) 2 在 y = 0 上， 2 f x = ， 令 2 0 x f x  = = ，得到可疑点 (0,0),(4,0) .4 分 在 x y + = 4 上， 2 f x x = − + 3 9 4， 令 6 9 0 x f x  = − = ，得到可疑点 3 5 ( , ) 2 2 . 6 分 又 (1,2) 3, (0,0) 0, (4,0) 16, 3 9 3 5 11 (0,4) 4, (0, ) , ( , ) 2 4 2 2 4 f f f f f f = − = = = = − = − ， 故 max min f f (4,0) 16, (1,2) 3. = = − .8 分 4. 解：（1） 2 (1,1,2) (1,1,2) 2 (1,1,2) (1,1,2) 1, (1,1,2) 2 0, (1,1,2) 3 11, x y z f y yz f xy xz f xy z  = − = −  = − =  = − + = .3 分 故所求梯度为 ( 1,0,11) − . .5 分 （2）由已知， 1 2 1 cos ,cos ,cos , 2 2 2    = = = .6 分 (1,1,2) 1 2 1 ( 1,0,11) ( , , ) 5. 222 f l  = − =  v g .8 分