吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012级医用数学B2试卷（答案）

2012一2013学年第二学期《医科数学BI》试卷（2012级药学专业用）2012年6月26日三三四五六总分得分、填空题（共5道小题，每小题3分，满分15分）2x-11.幂级数[0,2]的收敛域为2. 函数F(x)=(-1" x", xe(-1,1)的麦克劳林级数是3．方程-的通解是y=C(x+=r)+C2/64.函数u=2xy-2在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值是5.设曲线L为圆周x=acost,y=asin1 (0≤1≤2元),则[,(x2 +y2)209ds=2元a4019每 分二、选择题(共 5 道小题，每小题 3 分， 满分 15 分)1．下列级数收敛的是（Bw(D).2:(C).22．微分方程y"=y'的通解y=（A）(A). C,+C,e':(B). Cx+C,er:(C). C)+Cgx:(D). Cx+C,r?.3.微分方程y"+y=sinx的特解具有的形式y*=（C）(A). asinx;(B). acosx:(C). x(asinx+bcosx);(D). asinx+bcosx.4.函数f(x,y)在点P(x,J)的某一邻域内具有一阶连续的偏导数是f(x,J)在该点可微的（B)。(A)。必要条件，但不是充分条件；(B)。充分条件，但不是必要条件：(C)充分必要条件；(D)。既不是充分条件，也不是必要条件5.设1=’d]。(x,)dx，则改变积分次序后1=（D)。(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2012—2013 学年第二学期《医科数学 BⅡ》试卷 （2012 级药学专业用） 2012 年 6 月 26 日 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题(共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分) 1．幂级数 1 ( 1) 5 n n x n  = −  的收敛域为_．[0, 2) 2．函数 2 1 ( ) 1 f x x = + 的麦克劳林级数是_． 2 0 ( 1) , ( 1,1) n n n x x  =  −  − 3．方程 2 2 2 d 2 d 1 y xy x x  = + 的通解是_． 3 1 2 1 ( ) 3 y C x x C = + + 4．函数 2 u xy z = − 2 在点 (2, 1,1 − ) 处的方向导数的最大值是 ．2 6 5．设曲线 L 为圆周 x a t y a t t = =   cos , sin (0 2 )  ,则 2 2 2009 4019 ( ) d 2 L x y s a + =   . 二、选择题(共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分) 1．下列级数收敛的是（ B ） (A)．   = − + − 1 1 1 ( 1) n n n n ； (B)．   = − − 1 1 ( 1) n n n ； (C)．   =1 2 3 n n n ； (D)．   =1 1 n n ． 2．微分方程 y y   = 的通解 y = ( A ) (A)． 1 2 x C C e + ； (B)． 1 2 x C x C e + ； (C)．C C x 1 2 + ； (D)． 2 C x C x 1 2 + ． 3．微分方程 y y x  + = sin 的特解具有的形式 y= （ C ）． (A)． a x sin ； (B)． a x cos ； (C)． x a x b x ( sin cos ) + ； (D)．a x b x sin cos + ． 4. 函数 f x y ( , ) 在点 P x y ( , ) 的某一邻域内具有一阶连续的偏导数是 f x y ( , ) 在该点可微的（ B ）． (A)．必要条件，但不是充分条件； (B)．充分条件，但不是必要条件； (C)．充分必要条件； (D)．既不是充分条件，也不是必要条件． 5．设 1 1 0 0 d ( , )d y I y f x y x − =   ，则改变积分次序后 I = （ D ）． 得 分 得 分

(A). 'daxf f(x,)dy:(B). J dxf"f(x,y)dy:(D). J'dxf."(x,)dy.(c). J'dxf." f(x,y)dy:得分、（共2道小题，每小题8分，满分16分）1.判断级数(a>0,ae)的敛散性-oa"n!(n+ 1)*-m-1m(+)-8(4分)na"n!(1）01，则此级数发散(6 分)（2）a>e时，p<1，则此级数收敛.(8分)2. 将函数 F(1)==n三+jarcanx=x,展成x的幂级数.(2分）解：()=（)+21+-1--+-1- (1<).(5 分)x=±1时，J(x)无定义)-(0)+x=x- (-1<x<1) .(8分) 4n+得分四、（共2道小题，第1小题9，第2小题7分，满分16分）1.设可导函数f(x)满足(x)cosx-2f。f(0)sinidt=x+1，求/(n)解对方程两边求导f(x)cosx-3f(x)sinx=1，即f(s)-3f(x)tanx=secx记f(x)=y，上式为：y'-3tanx-y=secx(*)(3分)对应的齐次方程为：崇=3tanx-yCIdy=3tanxdx，Iny=-3lncosx+InC，则齐次的通解为：ycos"x(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) （A）． 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   ； （B）． 1 1 0 0 d ( , )d y x f x y y −   ； （C）． 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y +   ； （D）． 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   . 三、(共 2 道小题，每小题 8 分，满分 16 分) 1．判断级数 0 ( 0, ) ! n n n n a a e a n  =    的敛散性． 解 1 1 ( 1) ( 1)! 1 1 lim lim 1 ! n n n n n n n n a n e n a n a a n  + + → → + +   = = + =     (4 分) (1) 0  a e 时，  1 ，则此级数发散； (6 分) （2） a e  时，  1 ，则此级数收敛． (8 分) 2．将函数 arctan . 2 1 1 1 ln 4 1 ( ) x x x x f x + − − + = 展成 x 的幂级数． 解： 2 4 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 2 1 1 f x x x x x  = − +  − = − + − + − （2 分） 4 4 4 1 ( 1 1) 1 n n x x x x  = = = −   −  ． (5 分) x =1 时， f x( ) 无定义． 4 1 4 4 0 0 1 1 1 ( ) (0) d d ( 1 1) 4 1 n x x n n n n n x f x f x x x x x n    + = = = = + = = −   +      ． (8 分) 四、(共 2 道小题，第 1 小题 9，第 2 小题 7 分，满分 16 分) 1．设可导函数 f (x) 满足 0 ( )cos 2 ( )sin d 1 x f x x f t t t x − = +  ，求 f (x) ． 解 对方程两边求导 f x x f x x ( )cos 3 ( )sin 1 − = ，即 f x f x x x ( ) 3 ( ) tan sec − = 记 f x y ( ) = ，上式为： y x y x  −  = 3tan sec （*） （3 分） 对应的齐次方程为： d 3tan d y x y x =  1 d 3tan d y x x y = ， ln 3ln cos ln y x C = − + ，则齐次的通解为： 3 cos C y x = ； 得 分 得 分

C(x)C'(x)江，代入方程（*)，得令非齐次的通解为=，即C(x)=cos°x,cosx"cosxcos'xC(x)=Jcos xdx=J(1+cos2x)dx=I(2x+sin2x+C)_12x+sin2x+C,则非齐次的通解为(7分)V:cosx将x=0代入方程，得(0)=1，将其代入上式，得C=4，12x+sin2x+4所求f(x)=-(9分)cosJxl0 = 1-[x'+x-y=e',的特解2．用Laplace变换求微分方程组满足初始条件[y'+3x-2y=2e(ola(2分）解设 L(x)=X(s), L(y)=Y(s)[sx(s)-x(0)+X(s)-Y(s)=s-1对方程组每一方程两边取拉氏变换，sY(s)- (0)+3X(s)-2Y(s)=S[(s+1)X(s)-Y(s) =X(s):5-1所以(5分）S+13X(s)+(s-2)Y(s) =Y(s)S-1[x=e',(7分)收ly=e得分五、（共3道小题，第1，2小题6分，第3小题7分，满分19分）1.设函数==+(x,二)，其中具有连续偏导数，求dzS-+！解(2分）--（4分）d=%dx+%dy='+ )dx +(2y-d（6分）yO2. 2-30-α，试证%-%a解设F(x,,2)=2-3xyz-.(共6页第页)

(共 6 页 第3页) 令非齐次的通解为 3 ( ) cos C x y x = ，代入方程（*），得 3 ( ) 1 cos cos C x x x  = ，即 2 C x x ( ) cos = ， 2 1 1 ( ) cos d (1 cos 2 )d (2 sin 2 ) 2 4 C x x x x x x x C = = + = + +   则非齐次的通解为 3 1 2 sin 2 4 cos x x C y x + + = ， （7 分） 将 x = 0 代入方程，得 f (0) 1 = ，将其代入上式，得 C = 4， 所求 3 1 2 sin 2 4 ( ) 4 cos x x f x x + + = ． （9 分） 2．用 Laplace 变换求微分方程组 , 3 2 2 , t t x x y e y x y e   + − =    + − = 满足初始条件 0 0 1, 1 t t x y = =  =    =  的特解． 解 设 L x X s ( ) ( ) = ， L y Y s ( ) ( ) = （2 分） 对方程组每一方程两边取拉氏变换，得 1 ( ) (0) ( ) ( ) , 1 2 ( ) (0) 3 ( ) 2 ( ) , 1 sX s x X s Y s s sY s y X s Y s s  − + − =  −   − + − =  − 即 ( 1) ( ) ( ) , 1 1 3 ( ) ( 2) ( ) , 1 s s X s Y s s s X s s Y s s  + − =  −  +  + − =  − 所以 1 ( ) , 1 1 ( ) , 1 X s s Y s s  =  −   =  − （5 分） 故 , . t t x e y e  =   = （7 分） 五、 (共 3 道小题，第 1，2 小题 6 分，第 3 小题 7 分，满分 19 分) 1．设函数 2 ( , ) x z y f x y = + ，其中 f 具有连续偏导数，求 dz . 解 1 2 z 1 f f x y  = +   （2 分） 2 2 2 z x y f y y  = −   （4 分） 1 2 2 2 1 d d d ( )d (2 )d z z x z = x y f f x+ y f y x y y y   + = + −      （6 分） 2．设 3 3 z xyz a − = 3 ，试证 z z x y x y   =   ． 解 设 3 3 F x y z z xyz a ( , , ) 3 = − − ． 得 分

yzzF-3xz(4分)%=-岁=-32-3"%=-片=-32-3"2-则，所以(6分)x=yyax2-xyay2-xy3.求函数z=In(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正方向的切线方向的方向导数.解先求方向1.由抛物线=4x上，2yW=4，即义=2/ytan=岁-2 / la, =1, の-，所以 cos - imo-号(3分)(5分)二=OzOz7所以(7分)OSsingalk3２32xaayla.2)得分六，计算下列积分（共3道小题，第1小题7分，第2，3小题6分，满分19分）. J'axsidy0≤x≤1,[0≤y≤],解积分区域D即 D>xsys,y<xsyJaxsydy=J'asydx(3分)-s(-)dy-sinydy-sinydy=-cosl +f'dcosy=1-cosl+ ycos l-f.cos yd y=1-sin yl, =1- sin1(7分)_do，其中D是由抛物线y=x，直线y=x所围成的区域。2.1+)解二产的坐标方程：=8coano.于是D o<0≤[o≤rs se tano,(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 2 2 3 3 3 x z z yz yz F x F z xy z xy  −  = − = − =  − −  ； 2 2 3 3 3 y z z xz xz F y F z xy z xy  −  = − = − =  − −  ． （4 分） 则 2 z xyz x x z xy  =  − ， 2 z xyz y y z xy  =  − ，所以 z z x y x y   =   ． （6 分） 3．求函数 z x y = + ln( ) 在抛物线 2 y x = 4 上点 (1, 2) 处，沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正方向的切线方向 的方向导数． 解 先求方向 l ．由抛物线 2 y x = 4 上， 2 4 x yy  = ，即 2/ x y y  = ． (1,2) d tan 2 / 1 d y = y x  = = ， 4 =   ，所以 2 cos 2   = sin = ． （3 分） z z 1 x y x y   = =   + ， (1,2) (1,2) 1 3 z z x y   = =   ． （5 分） 所以 (1,2) (1,2) (1,2) 1 2 1 2 2 cos sin 3 2 3 2 3 z z z l x y      = + = + =    . （7 分） 六、计算下列积分(共 3 道小题，第 1 小题 7 分，第 2，3 小题 6 分，满分 19 分) 1. 1 0 sin d d x x y x y y   解 积分区域 0 1, , x D x y x        即 2 0 1, . y D y x y        2 1 1 0 0 sin sin d d d d x y x y y y x y y x y y =     （3 分） 1 1 1 2 0 0 0 sin ( )d sin d sin d y y y y y y y y y y = − = −    1 1 1 1 0 0 0 0 = − + = − + − cos dcos 1 cos1 cos cos d y y y y y y y   1 0 = − = − 1 sin 1 sin1 y （7 分） 2. 2 2 1 d D x y  +  ，其中 D 是由抛物线 2 y x = ，直线 y x = 所围成的区域。 解 2 y x = 的极坐标方程： r = sec tan   .于是 0 , 4 0 sec tan , D r              得 分

gtanelrdilg=Je dofe所以(3分)D/x+y-J, secotanod0=scco% = 2-1(6分)3.计算I=J,(e'siny-b(x+y)dx+(e cosy-ax)dy，其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x到点O(0,0)的弧解%-%=b-aI=J,(e' siny-b(x+ y)dx+(e' cosy -ax)dy(b-a)dxdy-Jo,(e'sin y-b(x+y)dx+(e'cosy-ax)dy(3 分)(x-a)2+/sa2(v20)=na (b-a)-(-2a*b)=a(b-a)+2a"b.(6分)(共6页第页)

(共 6 页 第5页) 所以 2 2 1 d D x y  +  sec tan 4 0 0 1 d dr r r    =    （3 分） 4 4 0 0 sec tan d sec 2 1   = = = −      （6 分） 3.计算 ( sin ( ))d ( cos )d x x L I e y b x y x e y ax y = − + + −  ，其中 a b, 为正的常数, L 为从点 A a (2 ,0) 沿 曲线 2 y ax x = − 2 到点 O(0,0) 的弧． 解 Q P b a x y   − = −   ( sin ( ))d ( cos )d x x L I e y b x y x e y ax y = − + + −  2 2 2 ( ) ( 0) ( )d d ( sin ( ))d ( cos )d x x OA x a y a y b a x y e y b x y x e y ax y − +   = − − − + + −   （3 分） 1 1 2 2 2 2 π ( ) ( 2 ) π ( ) 2 2 2 = − − − = − + a b a a b a b a a b . （6 分）