吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014CII试卷（答案）

吉林大学2013~2014学年第二学期《高等数学CI》试卷答案2014年6月28日题号三总分得分得分单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）， (,)(0,0)在(0.0)处(C).1. 二元函数(x,)=+lo(x, y) =(0,0)（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在2.过点（3,2,5）且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线方程为（B).(A) X-3_-2_2-5x-3_y-2_z-5(B)2x-3_y-2_2-5x-3 y-2 z-5(C)(D)-3-33．设1=['d]。f(x,)dx，则改变积分次序后1=（C(B) J axff(x,)dy.(A) J'dx/y f(x,y)dy.(C) 'dxf (x,y)dy.(D) J'dxf* f(x,y)dy.4.函数f(x,J)=3-y+3x2+3y2-9x的极大值点为（A）.(A) (-3,2):(B) (1,2);(D) (1,0).(C) (-3,0);5。设空间区域=(,)≤--，则积分=d=(（B）(A) 号:(B) :(C) 4元;(D)2元6.若,,是方程y+p(x)y=q(x)(g(x)0)的两个解，要使ayi+By,也是该方程的解，(共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页） 吉林大学 2013~2014 学年第二学期《高等数学 CⅡ》试卷答案 2014 年 6 月 28 日 题号 一 二 三 总 分 得分 得 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．二元函数      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 在 (0,0) 处（ C ）． （A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在． 2．过点（3,2,5）且与两平面 x − 4z = 3 和 2x − y − 5z = 1 的交线平行的直线 方程为（ B ）． （A） 1 5 3 2 4 3 − = − = − x − y z ． （B） 1 5 3 2 4 3 − = − = x − y z ． （C） 1 5 3 2 4 3 − = − − = − x − y z ． （D） 1 5 3 2 4 3 − = − − = x − y z ． 3．设 1 1 0 0 d ( , )d y I y f x y x − =   ，则改变积分次序后 I = （C ）． （A） 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   ． （B） 1 1 0 0 d ( , )d y x f x y y −   ． （C） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y −   ． （D） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y +   ． 4. 函数 ( ) 3 3 2 2 f x y x y x y x , 3 3 9 = − + + − 的极大值点为( A )． （A） ( 3,2) − ； （B） (1, 2) ； （C） ( 3,0) − ； （D） (1,0) . 5．设空间区域   2 2 Ω =   − − ( , , ) 0 1 x y z z x y ，则积分 z dv  =  ( B ) ． （A） π 2 ； （B） π 4 ； （C） 4π ； （D） 2π． 6．若 1 2 y y , 是方程 y p x y q x q x  + =  ( ) ( )( ( ) 0) 的两个解，要使 1 2   y y + 也是该方程的解

α,β应满足关系式（D).（A)αβ=0;(C) α+β=0:(D)α+β=1.(B) αβ=l;得分、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）[x +y2-2y-3-0=6-x21.曲线在xoy面上的投影曲线方程为[2y+2-3=0≥=02.设≥=xy++二，则d==+]d+x-]d)3.微分方程ydx+(x-3y)dy=0满足条件=1的解为xy-y=0时，级数之兴收敛。4.设a>0，当常数a满足条件_a<1台n5.差分方程yul-3y,=0在给定初始条件%=3下的特解_J,=3[x=-1+26.过点M(1,2,-1)且与直线y=3t-4垂直的平面方程为z=1-13v-z+4=0得分计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分）-[x+2y+2-1=01．设有直线L：，平面元：x+y=0，求直线L与平面元的夹角；如果[x-2y+=+1=0L与元相交，求交点坐标1 (1,-（2分)解：直线L的方向S=12平面元:x+y=0的法向量n=(1,1,0)，设直线与平面的夹角为の，则[51sine，得夹角为（5分）F（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页）  , 应满足关系式 ( D )． （A）  = 0 ； （B）  =1 ； （C）   + = 0 ；（D）   + =1． 得 分 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．曲线    + − = = − − 2 3 0 6 2 2 y z z x y 在 xoy 面上的投影曲线方程为 2 2 2 3 0 0 x y y z  + − − =   = . 2．设 x z xy y = + ，则 d z = 2 1 d d x y x x y y y     + + −         ． 3．微分方程 2 y x x y y d ( 3 )d 0 + − = 满足条件 1 1 x y = = 的解为 3 xy y − = 0 . 4．设 a  0 ，当常数 a 满足条件 a 1 时，级数 1 n n a n  =  收敛． 5．差分方程 yt+1 −3yt = 0 在给定初始条件 y0 = 3 下的特解 1 3 . t t y + = 6. 过点 M (1,2, 1) − 且与直线 2 3 4 1 x t y t z t  = − +   = −   = − 垂直的平面方程为 x y z − − + = 3 4 0 ． 得 分 三、 计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分） 1. 设有直线 2 1 0 : 2 1 0 x y z L x y z  + + − =   − + + = ，平面  : 0 x y + = ，求直线 L 与平面  的夹角；如果 L 与  相交，求交点坐标． 解:直线 L 的方向 4(1,0, 1) 1 2 1 1 2 1 = − − = i j k s .（2 分） 平面  : 0 x y + = 的法向量 n = (1,1,0) ，设直线与平面的夹角为  ，则 2 1 . . sin = = s n s n  ，得夹角为 . 6  .（5 分）

[x+2y+z-1=0解方程组表-2++1=0得交点为(一-2-2-2).（8分）[x+y=02. 设：=(g,)， 其中具有二阶连续偏导数，求察三ax'axay解：-yf+20 (3分axa"z+=2f+[2+启对]+2+2[2y+]（6分）axoy.. （8分)=2f+2xf+2xf+5xyf+2xyfm3.将函数(s)=--5x+6在在x=4点展成幂级数解：1f(x)=(x-2)(x-3)x-3 x-211(x-4)+1 (x-4)+2"1-[-(x-4)]2 1-(-x-4)2-2-(-4r-2(-)-2(-[-]a-4). (<×5)(I-(x-4)k1|-<1.解得|x-4k1交集）2(共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页） 解方程组      + = − + + = + + − = 0 2 1 0 2 1 0 x y x y z x y z 得交点为 ). 2 1 , 2 1 , 2 1 (− .（8 分） 2．设 2 2 z f xy x y = ( , ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 x y z x z      2 , ． 解： 2 1 2 2 z y f xyf x  = +   ． .（３分） 2 2 2 1 11 12 2 2 z yf y f xy f x x y  = +  +           2 2 21 22 + +  +  2 2 2 xf xy f xy f x        .（6 分） 3 2 2 3 1 2 11 12 22 = + + + + 2 2 2 5 2 yf xf xy f x y f x yf      . .（8 分） 3．将函数 2 1 ( ) 5 6 f x x x = − + 在 x = 4 点展成幂级数. 解： 0 0 1 0 1 1 1 ( ) ( 2)( 3) 3 2 1 1 1 1 1 ( 4) 1 ( 4) 2 1 [ ( 4)] 2 4 1 2 1 4 [ ( 4)] 2 2 1 ( 1) 1 ( 4) . (3 5) 2 n n n n n n n n f x x x x x x x x x x x x x   = =  + = = = − − − − − = − = −  − + − + − − −   − − −      − = − − − −      = − − −          （ 4 | ( 4) | 1, 1 2 x x − − −  −  ．解得 | 4 | 1 x −  交集）

4.求函数f(x,)=xy-x在半圆域D=(x,y)2+1,y≥0)上的最大值和最小专[afy-1=0解先来区域 D 内的脏点。 由得x=0,y=1,该点在边界上，舍=x=0oy去，2分再求区域边界上的驻点在边界×+=1上，令L(x,)=x-×+(x+-1)，解方程组[4, = y-1+2x=0L,=x+22y=0..5分得x=0,y=1，该点函数值f(0,1)=0….[x +y2-1=0在边界y=0,-1≤x≤1上，函数f(x,J)=-x，此时函数最大值f(-1,0)=1,最小值f(1,) - -......7分综上，函数在区域D上的最大值f(-1,0)=1,最小值F(1,0)=-1,..·8分5.求幂级数之"的收敛域及和函数.解=1，而=，故×三时，该幂级数发散，从而幕级数收城为（1，1) （ 分设和面数为5()，有()-+其中（5分）再设S()=2，在（-1，1)内逐项求导，得5()=2=S(-s(0)+s(d-d---) 于是（7分）（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页） 4．求函数 f (x, y) = xy − x 在半圆域 ( , ) 1, 0 2 2 D = x y x + y  y  上的最大值和最小 值. 解 先求区域 D 内部的驻点，由       = =   = − =   0 1 0 x y f y x f 得 x = 0, y =1 ,该点在边界上，舍 去. .2 分 再求区域边界上的驻点. 在边界 1 2 2 x + y = 上，令 ( , ) ( 1) 2 2 L x y = xy − x +  x + y − ，解方程组      + − = = + = = − + = 1 0 2 0 1 2 0 2 2 x y L x y L y x y x   得 x = 0, y =1 ，该点函数值 f (0,1) = 0 . .5 分 在边界 y = 0,−1 x 1 上，函数 f (x, y) = −x ，此时函数最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. .7 分 综上，函数在区域 D 上的最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. . .8 分 5．求幂级数 1 1 n n n x n  = +  的收敛域及和函数． 解 解： 1 1 lim 1 1 1 n n n n n n  → + + = = + + ，所以该幂级 数的收敛 半径 1 R 1  = = ，而 1 lim 1 n n → n + = ， 故 x =1 时，该幂级数发散，从而幂级数收敛域为（ -1 ， 1 ）． .（3 分） 设和函数为 S x( ) ，有 1 1 ( ) n n n n x S x x n   = = = +   ，其中 1 1 n n x x x  = = −  ．.（5 分） 再设 1 1 ( ) n n x S x n  = =  ，在（-1，1）内逐项求导，得 1 1 1 1 ( ) 1 n n S x x x  − =  = = −  ， 于是 ( ) 1 1 1 0 0 1 ( ) 0 ( )d d ln(1 ) 1 x x S x S S t t t x t = + = = − −  −   ， .（7 分）

故（8分S(x)=-)-In(1-x), xe(-1,1).6. 计算[[ecos(x+)tdy, D:0≤x≤号,0≤y≤号解 JJicos(x+ )kxdy=,dax[,cos(x+ )dy-Jdx/2.cos(x+ )dy（4分）sin(x+)dx-J,sin(x+/d=,(-sinx)dx-,(cosx-1)d (6分=(x+cos x) -(sinx-x) （8分)=元-2y=7.计算三重积分(++)dv，其中2是曲线绕=轴旋转一周而成X=0的曲面与≥=4所围成的区域解：曲线轴旋转一周而成的曲面方程为22=+..2分利用柱面坐标计算，则原式=[dej。rdr/z(+zd6元=2元(4rp+8r-r)d)256.8分3（共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页） 故 ( ) ln(1 ), ( 1,1) 1 x S x x x x = − −  − − ． .（8 分） 6. 计算 x y dxdy D  cos( + ) ， 2 ,0 2 : 0   D  x   y  . 解 x y dxdy D  cos( + ) = 2 2 2 2 0 0 0 2 cos( ) cos( ) x x dx x y dy dx x y dy      − − + − +     .（4 分） = 2 2 2 2 0 0 0 2 sin( ) sin( ) x x x y dx x y dx      − − + − +   = 2 2 0 0 (1 sin ) (cos 1) x dx x dx   − − −   .（6 分） = 2 2 0 0 ( cos ) (sin ) x x x x   + − − = −2 . .（8 分） 7. 计算三重积分 ( ) 2 2 x y z d v  + +  ，其中  是曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周而成 的曲面与 z = 4 所围成的区域. 解：曲线 2 2 0 y z x  =   = 绕 z 轴旋转一周而成的曲面方程为 2 2 2z x y = + .2 分 利用柱面坐标计算，则原式= 2 2 8 4 2 0 0 2 d d ( )d r r r r z z   +    .6 分 = 8 3 5 0 5 2 (4 8 )d 8  r r r r + −  = 256 3  .8 分

8.已知曲线y=f()经过原点，且在原点的切线平行于直线2x-y-5=0，而y=f(x)满足微分方程y"-6y+9y=e，求此曲线的方程方程y"-6y+9y=e3*的特征方程为解r2-6r+9=0解得特征根为r==3对应齐次方程通解为Y=C,+C,xe..3分设非齐次方程的特解形式为y=Axe，代入原方程得........分y-由y(0)=0,(0)=2得C=0,C,=2，故所求曲线方程为Y=(x+4)e**....8分（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页） 8.已知曲线 y f x = ( ) 经过原点，且在原点的切线平行于直线 2 5 0 x y − − = ，而 y f x = ( ) 满足微分方程 3 6 9 e x y y y   − + = ，求此曲线的方程. 解 方程 3 6 9 e x y y y   − + = 的特征方程为 2 r r − + = 6 9 0 解得特征根为 1 2 r r = = 3 对应齐次方程通解为 3 3 1 2 e e x x Y C C x = + . .3 分 设非齐次方程的特解形式为 * 2 3 e x y Ax = ，代入原方程得 * 2 3 1 e 2 x y x = .6 分 由 y y (0) 0, (0) 2 = =  得 1 2 C C = = 0, 2 ，故所求曲线方程为 3 ( 4)e 2 x x Y x = + .8 分