吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014学期高数AI试卷（答案）

吉林大学2013-2014学年第一学期《高等数学AI》试卷2014年1月6日二三四总分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.曲线y=2x+3sinx的水平渐近线是（Bx-cosx(A) y=0.(B) y=2(C) y=3.(D) y=4.2. 设y=x + arctan则x=0为函数的（A（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点[sin2x, x0(A)0.(B) 1.(C) 2.(D)3.M4.设方程e"+xy=e确定y=y(x)，C(D) (c)(A) 1.(B) -1.e2e?（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2013~2014 学年第一学期《高等数学 AI》试卷 2014 年 1 月 6 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1. 曲线 2 3sin cos x x y x x    的水平渐近线是（ B ） （A） y  0. （B） y  2. （C） y  3 . （D） y  4. 2. 设 2 1 y x arctan x   ，则 x  0为函数的（ A ） （A）跳跃间断点. （B） 可去间断点. （C）无穷间断点. （D） 振荡间断点. 3. 设函数 sin 2 , 0 ( ) , 0 3 2, 0 x x x f x a x x x             在点 x  0 处连续，则常数a =（ C ） （A） 0. （B） 1. （C） 2. （D） 3. 4．设方程e e y   xy 确定 y yx  ( ) ，则 2 2 0 d d x y x  =（ C ） （A）1. （B）1. （C） 2 1 e  . （D） 2 1 e . 得 分

4(x+)-2的单调增加且为下凸的区间是（C）5.函数y(A) (-0,-3)(B) (-3,-2).(C) (-2,0)。(D) (0,+o0)(x)-()=-1, 则 (x)在x=a6.设f(x)在x=α的某邻域内连续，且lim(x-a)(D)（A）不可导。(B）可导且(a)0.（C）取得极小值.（D）取得极大值得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1. lim fan x-sins区-÷，则k=_32.设函数(n)连续，且lim=1,则(0)=—13. 设F(x)=J,e" du,则dF()=2xe"dx_3元4. J"(sin' x-cos x)dx=1516[x=1+t5.曲线在对应t=-1处的切线方程是y=2x-5y= 5t+ In(2+t6. arcsin ar-1+x4（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 5.函数 2 4( 1) 2 x y x    的单调增加且为下凸的区间是（ C ） （A）( , 3).   （B）( 3, 2).   （C）( 2,0).  （D）(0, ).  6. 设 f ( ) x 在 x  a 的某邻域内连续，且 2 () () lim 1 ( ) x a fx fa  x a     ，则 f ( ) x 在 x  a （ D ） （A）不可导. （B）可导且 f a() 0  . （C）取得极小值. （D）取得极大值. 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. 设 0 tan sin 1 lim 2 k x x x  x   ，则 k  3 . 2. 设函数 f ( ) x 连续，且 0 ( ) lim 1 x f x  x  ，则 f (0)  1 . 3. 设 2 2 0 () e d x u F x u    ，则d () F x  4 2e d x x x  . 4. 2 5 4 0 (sin cos )d x x x     8 3 15 16   . 5. 曲线 3 1 5 ln(2 t) x t y t        在对应t  1处的切线方程是 y x  2 5  . 6. 2 2 2 4 arcsin d 1 x x x x     0 . 得 分

得分三、解答题（共6道小题，每小题8分，满分48分）1.*e*-1-x.3分=lim x(e'-1)=lim es1-.2分Y"m...2分"..1分2.设y=x2*+1n(x++4),求=2*+x2*ln2·4分drVx+4L4分（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 三、解答题（共 6 道小题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1．求 0 1 1 lim( ). e 1 x x x   = 0 e 1 lim (e 1) x x x x  x    .3 分 = 2 0 e 1 lim x x x  x   .2 分 = 0 e 1 lim 2 x x x  .2 分 = 1 2 .1 分 2．设 2 2 ln( 4), x yx x x   求 0 d d x y x  . 解： 2 d 1 2 2 ln 2 d 4 y x x x x x    .4 分 0 d 3 d 2 x y x   .4 分 得 分

ya sinsx>0.讨论当α满足什么条件时，1()在点x=0处连3. 设函数f(x):[o,x≤0,oxa.sin--0解：α>1时J(0)=lim-= lim x' sin | = 0x-0(0)=0 (0)=0.··3分*0时，()=s+*0()αxa-l..3分：当α>2时，lim(x)=0=(0)(n)在x=0连续....2分x"_14.设函数y=+sin2x,neNt,求y(n)-y(x)=2" sin(2x+ n).....8分（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 3. 设函数 1 sin , 0, ( ) 0, 0, x x f x x x          讨论当 满足什么条件时，f ( ) x 在点 x  0处连 续. 解：  1时 1 0 0 1 sin 0 1 (0) lim lim sin 0 x x 0 x x f x x x               f (0) 0    ∴ f (0) 0  .3 分 x  0 时， 1 2 1 11 fx x x ( ) sin cos x x x                1 2 1 1 x x sin cos x x        .3 分 ∴当  2 时， 0 lim ( ) 0 (0) x fx f      f ( ) x 在 x  0 连续． .2 分 4. 设函数 1 sin 2 1 n x y x x     ，n N ,   求 ( ) ( ). n y x ( ) ( ) 2 sin(2 ) 2 n n y x xn    .8 分

5.求了（-)dx1-xi+ed-(令t=V1+e,则x=In(r-1)，dx=-d--[ 90-) -2 1n( -1)42...4分2/1- x2--/1-x-21n(-1)+4/ ,d= -V/1- x - 21 ln(r° -1)+ 41+ 2 1n /-)1+C.......3分Vi+ef-1-V1-x?-2x/1+e*+4V1+e*+2ln+C...1分Vi+et+1[xe,x≥0,6. 设f(x)=求["f(x-2)dx.-1<x<0,li+cosx"解：令x-2=t，则J"(x-2)dx=J"F()dt=J%dt+f,xe"dx3分+cos='seo()d(-r)..2分= tan...分--=tan}--(1-e-)...........分得分(共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） 5. 求 2 e ( )d 1 1e x x x x x x     . 2 e d d 1 1e x x x x x x x       (令 1 ex t   ，则 2 x t  ln( 1)  ， 2 2 d d 1 t x t t   ) 2 2 2 d(1 ) 2 ln( 1)d 2 1 x t t x        .4 分 2 2 2 2 1 2 ln( 1) 4 d1 t x tt t t        2 2 1 1 2 ln( 1) 4 2 ln 1 t x tt t C t          . 3 分 2 1e 1 1 2 1 e 4 1 e 2 ln 1e 1 x x x x x x C             .1 分 6. 设 2 e , 0, ( ) 1 , 1 0, 1 cos x x x f x x x             求 4 1 f ( 2)d . x x   解：令 x   2 t ，则 4 20 2 2 1 11 0 1 ( 2)d ( )d d e d 1 cos x f x x ft t t x x t           .3 分 0 2 2 2 2 1 0 1 sec d e d( ) 2 2 2 x x x x             .2 分 2 0 2 1 0 1 tan e 2 2 x  x    .2 分 1 1 4 tan (1 ) 2 2 e   .1 分 得 分

1四、按要求解答下列各题（共2道小题，每题8分，满分16分）1.设函数(n)的[2,4)上连续，在(2,4)内可导，且满足(2)=],(x-1)(x)dx，证明在(2,4)内至少存在一点5，使(1-5)(5)=27(5)。证：J(n)在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点5，使,(x-1F (N)dx =(5-1) (5).分设F(1)=(x-1)()，则F(t)的[2,与]上连续，在(2,5)内可导，F(2)= f(2)= F(5)......2分由Ro11e定理，在(2,点）内至少存在一点，使F()=0，即在(2,4)内至少存在一点5,使(1-5)F(5)=2(1-5)(5), 即(1-$)1(6)=2f().2分2.（1）证明：对于任意正整数n，不等式<1n(+）<六成立；(2）设数列x=1++#+-Inn（n=1,2），证明limx,存在.证明：（1）设(l)=In(+1)，对 r()在[0,x)应用 Lagrange中值定理()- )-10)x-0即有-n(+)1+5由于0<5<x，则有1+<In(1+ x)<x1+ x取x二(n=1,2.)，则有<ln(1+)<.4分n +1（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 四、按要求解答下列各题（共 2 道小题，每题 8 分，满分 16 分）. 1．设函数 f ( ) x 的[2, 4]上连续，在(2, 4)内可导，且满足 4 2 3 f (2) ( 1) ( )d  x fx x  ， 证明在(2, 4)内至少存在一点 ，使(1 ) ( ) 2 ( )  f     f ． 证： f ( ) x 在[3,4]上连续，在(3,4)内至少存在一点 1  ，使 4 2 2 1 1 3 ( 1) ( )d ( 1) ( ) x fx x f      .4 分 设 2 Fx x f x ( ) ( 1) ( )   ，则 F x( )的[2, 1  ]上连续，在(2, 1  )内可导， 1 FfF (2) (2) ( )    .2 分 由 Rolle 定理，在(2, 1  )内至少存在一点 ，使 F() 0   ，即在(2,4)内至少存在 一点 ，使 2 (1 ) ( ) 2(1 ) ( )    f    f ，即 (1 ) ( ) 2 ( )    f    f .2 分 2.（1）证明：对于任意正整数n ，不等式 1 11 ln(1 ) n nn 1     成立； （2）设数列 11 1 1 ln ( 1,2, ) 2 3 n n n n x         ，证明 lim n n x  存在． 证明：（1）设 f ( ) ln(1 ) t t   ，对 f ( )t 在[0,x]应用 Lagrange 中值定理 ( ) (0) '( ) 0 f x f f x     即有 1 ln(1 ) 1 x  x    由于0    x ，则有 ln(1 ) 1 x x x x     取 1 x n ( 1,2, ) n    ，则有 1 11 ln(1 ) n nn 1    .4 分

（2）先证单调性：x=-m(+)+n=-(+0故数列(x）)单调减少，再证有界性：-++*+- n>(++(++(++)-n++=h(+)故数列(x）有下界。由单调有界原理，此数列收敛。............4分(共6页第7页）

（共 6 页 第 7 页 ） （2）先证单调性： 1 1 11 ln( 1) ln = ln(1 ) 0 1 1 n n n n n nn x x           故数列{ }n x 单调减少. 再证有界性： 11 1 1 1 1 1 ln >ln(1+ )+ln(1+ )+.+ln(1+ ) ln 23 1 2 23 1 =ln +ln +.+ln ln =ln(n+1)>0 1 2 n n n n n n n n x          故数列{ }n x 有下界. 由单调有界原理，此数列收敛. .4 分