吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013级七、八年医用数学A2（答案）

2013-2014学年第二学期《医科数学AII》试卷2014年6月24日五总分一六填空题(共6道小题，每小题3分，满分 18分)-3352-153-1.设四阶行列式，则AI+A,+A,+A1701302.设A为三阶方阵，且AA=E，则RCA-E)3.设A=(α,αz,αs,α),且R(A)=3，α,=2α,-α,+α4,向量b=α+α,+αg+α4，则非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=(1,1,1,D) +k(,-2,1,-1),keR4.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则P(A)=5.从区间(0,1)内任取两个数，则这两个数的乘积小于二的概率(1+In4)6.3.为了估计灯泡使用时数的方差，共测试了10个灯泡，求得X=1500h，S=20h，如果灯泡的使用时数X～N(u,α)，则置信度为95%的的置信区间为(2002s(9)=19.0, xg7s(9)=2.70)[13.8,36.5]得分、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）-2a-2aj2Jan2a3-20131.设a2a2a=M+0，则行列式2as-2a-2a2a-2az1-2a2-2aaaay(A). 8M;(B). -8M;(C).2M ;(D). -2M .2.设ata2,a3,a为三维向量空间R的向量，则（C(A).a,可由a2,,a4线性表示；(B)。a,a2,as,a线性无关：(C).a,a2,a3,a4线性相关；(D).a,a2,a3a,线性相关性不能确定,(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2013- 2014 学年第二学期《医科数学 AⅡ》试卷 2014 年 6 月 24 日 一 二 三 四 五 六 总分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设四阶行列式 2 3 3 5 1 5 3 8 1 7 3 1 0 1 3 0 − − − − ，则 A A A A 11 21 31 41 + + + =_．0 2．设 A 为三阶方阵，且 2 A A E - = ，则 R A E ( ) - = ．3 3．设 1 2 3 4 A = ( , , , )     ，且 R A( ) 3 = ， 1 2 3 4     = − + 2 ，向量 1 2 3 4 b = + + +     ，则非齐次线性 方程组 Ax b = 的通解为_． (1,1,1,1) (1, 2,1, 1) T T x k = + − − ， k R  4．设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的 概率相等，则 P A( ) = ． 2 3 5.从区间 (0,1) 内任取两个数，则这两个数的乘积小于 1 4 的概率 . 1 (1 ln 4) 4 + 6. 3.为了估计灯泡使用时数的方差 2  ，共测试了 10 个灯泡，求得 X h =1500 ， S h = 20 ，如果灯泡的使 用时数 2 X N~ ( , )   ，则置信度为 95%的  的置信区间为 ．( 2 0.025  (9) 19.0 = , 2 0.975  (9) 2.70 = ) [13.8,36.5] 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a a a a M a a a =  ，则行列式 11 12 13 31 32 33 21 22 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a − − − − − − = − − − （ A ） （A）． 8M ； （B）． −8M ； （C）． 2M ； （D）．−2M ． 2．设 1 2 3 4 a a a a , , , 为三维向量空间 3 R 的向量，则（ C ） (A)． 1 a 可由 234 a a a , , 线性表示； (B)． 1 2 3 4 a a a a , , , 线性无关； (C)． 1 2 3 4 a a a a , , , 线性相关； (D)． 1 2 3 4 a a a a , , , 线性相关性不能确定． 得 分 得 分

x+x+x,=0,3.齐次线性方程组x+x,+x,=0，有非零解，则应满足的条件是（). B[+ x+x,=0.=-2或=1：(B)±-2且±1：(C)：=2或=-1：(D).*2且-1(A).4。甲，乙，丙三人独立地译一密码，他们每人译出此密码的概率都是0.25，则密码被译出的概率为(). C(0. %:(D). 53.(8). d:(A). :645.对于任意随机变量X,Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则（). B(A). D(XM)= D(X)D(Y):(B). D(X +Y)= D(X)+ D(Y):(C).X,Y一定独立;(D).X,Y不独立.6.设x～(n)~(nz），相互独立，则+~（)D(A). xi +x2 ~x(n):(B). +~x(n-1);(C). +~t(n) ;(D). zi + ~(n +n)得分三、计算与证明(共3道小题，第1小题7分，第2小题8分，第3小题6分，满分21分)1.设方阵A=diag(1,1,1,8)，且满足ABA=BA+3E，求矩阵B解由ABA"=BA+3E，则AB=B+3A，即(A-E)B=3A(2分)因A-=A=8+0，则A=2，A可逆，由44=4E,则=4(4)"=2diag(1,1,1,)=diag(2,2,2,),A-E=diag(1,1,),[4-E-0,则A-E可,(A-E)"=diag(1,1,)（5分）B=3(A-E)"A=3diag(1,1,1,)diag(2,2,2,)= diag(6,6,6,-1) .（7分）2.已知4维向量组α=(1,0,2,1)，α2=(1,2,0,1)，α,=(2,5,-1,4)"，α,=(1,-1,3,-1)T，a,=(2,1,3,0)所生成的向量空间为V，在向量组α,,α4,α,中，求(1)。向量空间为V的一个基及V的维数；(2)。其余向量在此基上的坐标(111#2-115-2n025-1025解 A=(α,α2,3,α4,α,)=2C3n-r0 -2 -511-10(002-2(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 3．齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 x x x x x x x x x     + + =   + + =   + + = ， ， . 有非零解，则  应满足的条件是 ( )．B （A）．  =−2 或  =1 ；（B）．  −2 且  1 ；（C）．  = 2 或  =−1 ；（D）．   2 且  −1． 4．甲，乙，丙三 人独立地译一密 码，他们每 人译出此密码的 概率都是 0.25 ，则密码被译出的 概率为( )．C （A）． 1 4 ； （B）． 1 64 ； （C）． 37 64 ； （D）． 63 64 ． 5．对于任意随机变量 X ,Y ，若 E(XY) = E(X )E(Y) ，则( )．B （A）． D(XY) = D(X )D(Y) ； （B）． D(X + Y) = D(X ) + D(Y) ； （C）． X ,Y 一定独立； （D）． X ,Y 不独立． 6．设 ~ ( ), ~ ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1  n   n ， 2 2 2 1  ,  相互独立，则 ~ 2 2 2 1 +  ( )． D （A）． ~ ( ) 2 2 2 2 1 +   n ； （B）． ~ 2 2 2 1 +  ( 1) 2  n − ； （C）． ~ 2 2 2 1 +  t(n) ； （D）． ~ 2 2 2 1 +  ( ) 1 2 2  n + n ． 三、计算与证明(共 3 道小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分，第 3 小题 6 分，满分 21 分) 1．设方阵 A diag(1,1,1,8)  = ，且满足 1 1 ABA BA E3 − − = + ，求矩阵 B ． 解 由 1 1 ABA BA E3 − − = + ，则 AB B A = +3 ，即 ( ) 3 A E B A − = ． （2 分） 因 4 1 A A 8 0 −  = =  ，则 A = 2 ， A  可逆， 由 AA A E  = ，则 1 1 1 ( ) 2diag(1,1,1, ) diag(2,2,2, ) 8 4 A A A − = = = ， 3 diag(1,1,1, ) 4 A E− = − ， 3 0 4 A E− = −  ，则 A E− 可逆， 1 4 ( ) diag(1,1,1, ) 3 A E − − = − ． （5 分） 1 4 1 3( ) 3diag(1,1,1, )diag(2,2,2, ) diag(6,6,6, 1) 3 4 B A E A− = − = − = − ． （7 分） 2．已知 4 维向量组 1 (1, 0, 2,1)T  = ， 2 (1, 2, 0, 1)T  = ， 3 (2, 5, 1, 4)T  = − ， 4 (1, 1, 3, 1)T  = − − ， 4 (2, 1, 3,0)T  = 所生成的向量空间为 V ， 在向量组 1 2 3 4 5      , , , , 中，求 ⑴．向量空间为 V 的一个基及 V 的维数；⑵．其余向量在此基上的坐标． 解 1 2 3 4 5 1 1 2 1 2 0 2 5 1 1 ( , , , , ) 2 0 1 3 3 1 1 4 1 0 A          − = =     −     − 3 1 4 1 1 1 2 1 2 2 0 2 5 1 1 0 2 5 1 1 0 0 2 2 2 r r r r     − −   −   − − −     − − 得 分

204：0120(2分)r-50 0 1lo00010()。所以向量组α,α2,α,是向量空间V的一个基，则向量空间V的维数为3.(5分)(2). α =α +2α,-αg, α,=α +3α2-αg故α,在此基上的坐标是1,2,-1，α,在此基上的坐标是1,3,-1(8分)3.设n是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，5，52…，与，是对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，试证明n，5i52，m-线性无关.(0)证 设kon +k,5+k,52+..+knr5n-- =0两边左乘矩阵4，得O= A(kon +h5i+k 5, +..+kn-5n--)=koAn'+hA5 +k,AE, +..+kn- AEn-- =kob因为b±0，则k=0.从而（*）式成为(3分)k5+h 52 +..+kn-5n, =0因向量组5j52…5n，是对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则5i52…，5,，线性无关.(6分)所以k=k,==k-,=0，因此n，51,52,5n-线性无关.得四、(共1道小题，满分11分)=1线性方程组！x-y+5z=a，有无穷多解，求a，b之值，并求出通解，3x+ 4y+ bz= 61111-.816-31（或1-2解 B=(4,b)=(3分)4b60 b-14 0 b-1 +s1因为线性方程组有无穷多解，所以R(A)<3，则b-1=0，即b=1.故R(A)=2,(5分)(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 3 4 4 3 4 1 1 2 1 2 0 2 5 1 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r r r r r   +   −      − −      2 3 1 3 1 1 0 3 4 5 0 2 0 4 6 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r r r r     −   −   − −     2 1 2 1 0 0 1 1 2 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r r r        −   − −     （2 分） ⑴．所以向量组 1 2 3    , , 是向量空间 V 的一个基，则向量空间 V 的维数为 3． （5 分） ⑵．    4 1 2 3 = + − 2 ，    5 1 2 3 = + − 3 故 4 在此基上的坐标是 1,2, 1− ，5 在此基上的坐标是 1,3, 1− （8 分） 3.设 *  是非齐次线性方程组 Ax b = 的一个解， 1 2 , , ,    n r − 是对应齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础 解系，试证明 * 1 2 , , , ,     n r − 线性无关. 证 设 * k k k k 0 1 1 2 2     + + + + = n r n r − − 0 (*) 两边左乘矩阵 A，得 * * 0 ( ) = + + + + = + + + + = A k k k k k A k A k A k A k b 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0         n r n r n r n r − − − − 因为 b  0 ，则 k0 = 0 .从而（*）式成为 k k k 1 1 2 2    + + + = n r n r − − 0 （3 分） 因向量组 1 2 , , ,    n r − 是对应齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 1 2 , , ,    n r − 线性无关. 所以 k k k 1 2 = = = = n r − 0 ，因此 * 1 2 , , , ,     n r − 线性无关. （6 分） 四、(共 1 道小题，满分 11 分) 线性方程组 1, 5 , 3 4 6, x y z x y z a x y bz ìï + + = ï ïï í - + = ï ï ï + + = ïî 有无穷多解，求 a，b 之值，并求出通解． 解 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) 1 1 5 0 1 3 3 3 4 6 5 0 0 1 2 r B A b a b b a b 骣ç ÷ 骣 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ = = - - ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç琪 ÷ ç ÷ ÷÷ ç ç桫 ç + ÷ ç ÷ ç - ÷ ç桫 ÷ : （或 1 1 1 1 1 0 1 2 2 5 0 0 1 2 r a a b 骣ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç - ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + ÷÷ ç - ÷ ç桫 ÷ : ） （3 分） 因为线性方程组有无穷多解，所以 R A( ) 3 < ，则 b- =1 0 ，即 b = 1．故 R A( ) 2 = ． （5 分） 得 分

+5由线性方程组有解，则R(A)=R(B)，所以R(B)=2，从而=0,即a=-5(8分)03-2[x=-3z-2B:1-231，所以同解方程组为[y=22+3靴000#取≥=0，则x=-2,=3，所以特解n=L0X=-3对应齐次方程组的同解方程组为：「1-2(3)双- (0-(2) ,，则基础解系为==2(1)所以方程组的通解为x=n+ks=3+k2keR(11分）（o）得分五、（共3道小题，第1，2小题6分，第3小题10分，满分22分）1.袋中有5个红球，3个白球，无放回地每次取一球，直到取出红球为止，以X表示取球的次数，求X的分布列解X的可能取值为1,2,3,4(2 分)P-Px-2)-% P(X-3-PXx-4-*-%+、P(X=k)565656(6分)2.设X服从N(0,1)分布，求Y=XI的分布密度函数解=x]的反函数为从(0)=-xx0时，(3分)12r()= fx(-y)I(-y)"+fx()ly"==1元12元√2元(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 由线性方程组有解，则 R A R B ( ) ( ) = ，所以 R B( ) 2 = ，从而 5 0 2 a + = ，即 a = - 5 （8 分） 1 0 3 2 0 1 2 3 0 0 0 0 r B 骣 - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - ÷ ç ÷÷ ç ÷ ç桫 ÷ : ，所以同解方程组为 3 2 2 3 x z y z  −   + = − = ， 取 z = 0 ，则 x y = −2, = 3 ，所以特解 2 3 0     −   =       对应齐次方程组的同解方程组为： 3 2 x z y z    = − = 取 z =1 ，则 3 y 2     x −         = ，则基础解系为 3 2 1    −   =       所以方程组的通解为 2 3 3 2 , 0 1 x k k k R        − −     = + = +              ． （11 分） 五、(共 3 道小题，第 1，2 小题 6 分，第 3 小题 10 分，满分 22 分) 1．袋中有 5 个红球，3 个白球，无放回地每次取一球，直到取出红球为止，以 X 表示取球的次数，求 X 的 分布列． 解 X 的可能取值为 1,2,3,4, (2 分) , 8 5 P(X = 1) = , 56 15 7 5 8 3 P(X = 2) =  = , 56 5 6 5 7 2 8 3 P(X = 3) =   = 56 1 5 5 6 1 7 2 8 3 P(X = 4) =    = 则 X 1 2 3 4 P X k { } = 5 8 15 56 5 56 1 56 (6 分) 2．设 X 服从 N(0,1) 分布，求 Y X =| | 的分布密度函数． 解 y x =| | 的反函数为 , 0 ( ) , 0 x x h y x x −  =    , 从而可得 Y=|X|的密度函数为： 当 y  0 时， (3 分) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) | ( )' | ( ) | ' | 2 2 y y y Y X X f y f y y f y y e e e    − − − = − − + = + = 得 分

当≤0时，Jr()=0(2.,J>0因此有(6分)(0)=1 V元[o,y≤0x +bxy,0≤x≤1,0≤y≤2,3. 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,)=求其它,1(0(1)。常数b：(2)P(X+Y≥1)：(3)。讨论X,Y的独立性.解 (1) f(x,y)dxdy=1,1="(+bx)bx=I( y+bx)d=I(2x* +2bx)d-2+b即b=1(3 分)(2), P(X+≥1)= JI(x,y=J(r+)bd=y+=+++-G++--0(6分)(3)。 ()=I (+)y=2x*+x(03x≤1)t0)-fa+-$++)t-+0y2显然x()-()+(x,),所以X与Y不独立。(10 分)得分六、计算题（共1道小题，满分10分)[(β+1)xP,00,[0,其它,求参数β的矩估计量和极大似然估计量。解()因为E()-1x(β+D)x所以β=β+21-μ故参数β的矩估计量为β=-2(5 分)1-X(2)。设似然函数为J(β+1"/Ix,0<x <1L(β)=0,其它(共6页第顶)

(共 6 页 第5页) 当 y ≤0 时， ( ) Y f y = 0 因此有 2 2 2 , 0 ( ) 0, 0 y Y e y f y y   −   =     (6 分) 3．设随机向量 ( , ) X Y 的联合密度函数为 2 , 0 1,0 2, ( , ) 0, x bxy x y f x y  +     =   其它, 求 (1)．常数 b ；(2) P X Y { 1} +  ；(3)．讨论 X Y, 的独立性． 解 (1)． f x y dxdy ( , ) 1 + + − − =   ,     = + =  +  = + 1 0 1 0 2 2 0 2 2 1 0 2 0 2 ) | (2 2 ) 2 1 1 (x bxy)dydx (x y bx y dx x bx dx 2 3 = + b 即 1 3 b = (3 分) (2)． 1 2 2 0 1 1 1 ( 1) ( , ) ( ) x 3 x y P X Y f x y dxdy x xy dydx − +  +  = = +      =  +  − = + + 1 0 1 0 2 3 2 1 2 2 ) 2 1 3 4 6 5 ) | ( 2 1 3 1 (x y x y dx x x x dx x 72 65 ) | 4 1 3 1 3 4 4 1 6 5 ( 1 0 4 3 2 =  x +  x + x = 65 72 = (6 分) (3)． 2 2 2 0 1 2 ( ) ( ) 2 ,(0 1) 3 3 X f x x xy dy x x x = + = +    , 0 2 6 1 3 1 ) | 2 1 3 1 3 1 ) ( 3 1 ( ) ( 1 0 3 2 1 0 2 = + = +  = +    f y x x y dx x y x y y Y 显然 ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y   ,所以 X 与 Y Y 不独立. (10 分) 六、计算题(共 1 道小题，满分 10 分) 设 1 2 , , , X X X n 为总体 X 的一个样本， X 的密度函数 ( 1) , 0 1, ( ) 0, x x f x    +   =   其它,   0 ， 求参数  的矩估计量和极大似然估计量． 解 (1)．因为 1 0 1 ( ) ( 1) 2 E X x x dx      + = = + = +  ，所以 1 2 1   = − − , 故参数  的矩估计量为 1 ˆ 2 1 X  = − − (5 分) (2)．设似然函数为 ( ) 1 ( 1) ,0 1 0, n n i i i x x L    =   +   =     其它 得 分

In L(B)=nln(β+1)+βZin x,0= 0lnL(R) -+Inxββ+1故极大似然估计量为β=(10分)2nx(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) ( ) 1 ln ln( 1) ln n i i L n x    = = + +  ( ) 1 ln 0 ln 1 n i i L n x    =  = = +  +  故极大似然估计量为 1 ˆ 1 ln n i i n x  = − = −  (10 分)