吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）高等数学BI2015-2016（题目）

2015-2016学年第一学期《高等数学BI》试卷2016年1月13日四五总分三得分一、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.设函数f(x).g()在点x=0的某邻域内连续,且当x→0时,f(x)是g()的高阶无穷小,则当x→0时，[。()sintdt是].g(1)d 的（（A）低阶无穷小(B)高阶无穷小(C）同阶但不是等价无穷小(D)等价无穷小xasin,x>0,2. 设函数f(x)=在x=0处有连续的一阶导数，则（.[0,x≤0(D) α>2(A) α>0(B) α>1(C) α≥22-13.曲线y)有（x2-2x-3(A)一条水平渐近线，一条铅直渐近线(B)一条水平渐近线,两条铅直渐近线(C)两条水平渐近线,一条铅直渐近线(D)没有水平渐近线,两条铅直渐近线4.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1)上()(A)当f(x)≥0时，f(x)≥g(x)(B)当F(n)≥0时，f(x)≤g()(C)当 f"()≥0 时, f(x)≥g()(D)当F"()≥0时, f(x)≤g(x)5.如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,-2]、[2,3]上的图形分别是直径为1的上、(共6页第1页)

(共 6 页 第1页) 2015– 2016 学年第一学期《高等数学 BI》试卷 2016 年 1 月 13 日 一 二 三 四 五 总分 一、选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．设函数 f x( ), g x( ) 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 高阶无穷小,则当 x →0 时, ( ) 0 sin d x f t t t  是 ( ) 0 d x g t t t  的（ ）. (A) 低阶无穷小 (B)高阶无穷小 (C) 同阶但不是等价无穷小 (D)等价无穷小 2．设函数 1 sin , 0, ( ) 0, 0 x x f x x x     =     在 x = 0 处有连续的一阶导数，则（ ）. (A)   0 (B)  1 (C)   2 (D)   2 3．曲线 2 2 1 2 3 x y x x − = − − 有（ ）. (A)一条水平渐近线,一条铅直渐近线 (B)一条水平渐近线,两条铅直渐近线 (C)两条水平渐近线,一条铅直渐近线 (D)没有水平渐近线,两条铅直渐近线 4．设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上（ ）. (A)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (B)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (C)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (D)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  5．如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 [ 3, 2] − − 、[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、 得 分

下半圆周，在区间[-2,0]、[0,2]上图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=°f(1)dt，则下列结论正确的是((B) F(3)==F(2)(A) F(3)=-_F(-2)(C) F(-3) =_F(2)(D) F(-3) =F(-2)6.若反常积分1℃e-kxdx收敛，则必有((A) k>0(B) k<0(C) k≥0(D) k≤0得分二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）。1.若曲线y=x+ax2+bx+1有拐点(-1,0)，则b2. lim(1+3x)m:3.曲线tan(x+y+)=e在点(0,0)处的切线方程为4. 设f(x)=sinx,则f(n)(x)+sinx5. 1+x2+xIdxy?+2?6.空间曲线C：在xoz平面上的投影曲线方程是三(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 下半圆周，在区间 [ 2,0] − 、 [0, 2] 上图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ，则下列结论正确的是( ). 3 2 1 1 2 3 x 1 1 y O (A) 3 (3) ( 2) 4 F F = − − (B) 5 (3) (2) 4 F F = (C) 3 ( 3) (2) 4 F F − = (D) 5 ( 3) ( 2) 4 F F − = − − 6.若反常积分 0 e d k x x − − 收敛，则必有( ). (A) k  0 (B) k  0 (C) k  0 (D) k  0 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．若曲线 3 2 y x ax bx = + + +1 有拐点 ( 1,0) − ,则 b = _. 2． 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + =_. 3．曲线 tan( ) e 4 y x y  + + = 在点 (0,0) 处的切线方程为 . 4．设 2 f x x ( ) sin = ,则 ( ) ( ) f x n = _. 5． 1 2 1 1 sin d 1 x x x − x   +   +   +  =_. 6．空间曲线 C 2 2 2 4, : x y z y z  + + =   = 在 xoz 平面上的投影曲线方程是_. 得 分

解答题（共6道题，每小题8分，满分48分），1+x_!1. 求lm(1--x)x= In(1+t),d1所确定的函数，求业，2.已知y=()是由参数方程dxdx?y=t-arctant3.计算不定积分[edx(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 三、 解答题（共 6 道题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1. 求 0 1 1 lim 1 e x x x x → −   +   −   − . 2．已知 y = y(x) 是由参数方程 2 ln(1 ), arctan x t y t t  = +   = − 所确定的函数，求 d d y x ， 2 2 d d y x . 3．计算不定积分 3 e dx x  . 得 分

-{+≤:求F()-,0d在上的表达式4. 设f(x)=1x,x≥0.5.求曲线y=V(0≤x≤4)上的一条切线，使该切线与直线x=0，x=4以及曲线y=Vx所围成的平面图形的面积最小6.求过直线4：二-，且平行于直线：2--号的平面方程(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 4. 设 1, 0, ( ) , 0. x x f x x x  +  =    求 1 ( ) ( )d x F x f t t − =  在 [ 1,1] − 上的表达式. 5．求曲线 y = x (0  x  4) 上的一条切线，使该切线与直线 x = 0， x = 4 以及 曲线 y = x 所围成的平面图形的面积最小. 6. 求过直线 1 2 1 2 : 1 0 2 x y z L − − + = = − ，且平行于直线 2 2 1 : 2 1 2 x y z L + − = = − − 的平面方程．

得分四、（本题满分10分）。[0(x) -cosx，0.其中(1)具有二阶连续导数9(0)=1设f(x)=xx=0,a,(1)求a的值，使(x)在x=0点连续；(2)已知f(x)在x=0点连续,求f(x)并讨论f(x)在x=0点的连续性(共6页第5页)

(共 6 页 第5页) 四、（本题满分 10 分）. 设 ( ) cos , 0, ( ) , 0, x x x f x x a x  −   =    = 其中 ( ) x 具有二阶连续导数,(0) 1 = . (1) 求 a 的值,使 f x( ) 在 x = 0 点连续; (2) 已知 f x( ) 在 x = 0 点连续,求 f x ( ) 并讨论 f x ( ) 在 x = 0 点的连续性. 得 分

得分五、（本题满分6分）已知f(x)连续，且当x≥0时，恒有f(x)>0证明当0[b],f()dt-af。f(0d])(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) 五、（本题满分 6 分）已知 f x ( ) 连续,且当 x  0 时，恒有 f x ( ) 0  . 证明当 0  a b 时， 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    得 分