吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）高等数学CI2015-2016（答案）

2015-2016学年第一学期《高等数学CI》答案2016年1月13日四五总分二三得分一、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）。1.设函数f(x).g()在点x=0的某邻域内连续,且当x→0时,f(x)是g()的高阶无穷小,则当x→0时，[f()sintdt 是g(t)tdt 的（B）(A）低阶无穷小(B)高阶无穷小(C）同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小x"sin!,x>02.设函数f(a)=在x=0处有一阶连续的导数，则（D）0,x≤0(A) α>0(B) α>1(C) α≥2(D) α>2x2-13.曲线y有（A2x-2x-3(A)一条水平渐近线，一条铅直渐近线(B)一条水平渐近线，两条铅直渐近(C）两条水平渐近线，一条铅直渐近线(D)没有水平渐近线，两条铅直渐近线4.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0,1)上(D)(A)当f(x)≥0时，f(x)≥g(r)(B)当(x)≥0时，(n)≤g(n)(C)当 F"(x)≥0时，f(x)≥g(x)(D)当F"(x)≥0时，(x)≤g(#)5.如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,-2]、[2,3]上的图形分别是直径为1的上、(共6页第1页)

(共 6 页 第1页) 2015– 2016 学年第一学期《高等数学 CI》答案 2016 年 1 月 13 日 一 二 三 四 五 总分 一、选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．设函数 f x( ), g x( ) 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 高阶无穷小,则当 x →0 时, ( ) 0 sin d x f t t t  是 ( ) 0 d x g t t t  的（ Ｂ ）. (A) 低阶无穷小 (B)高阶无穷小 (C) 同阶但不等价无穷小 (D)等价无穷小 2．设函数 1 sin , 0, ( ) 0, 0 x x f x x x     =     在 x = 0 处有一阶连续的导数，则（D ）. (A)   0 (B)  1 (C)   2 (D)   2 3．曲线 2 2 1 2 3 x y x x − = − − 有（ A ）. (A)一条水平渐近线,一条铅直渐近线 (B)一条水平渐近线,两条铅直渐近 (C)两条水平渐近线,一条铅直渐近线 (D)没有水平渐近线,两条铅直渐近线 4．设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上（ D）. (A)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (B)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (C)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (D)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  5．如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 [ 3, 2] − − 、[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、 得 分

下半圆周，在区间[-2,0]、[0,2]上图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=[~f(1)dt，则下列结论正确的是(C )(B) F(3)=_F(2)(A) F(3)=-_F(-2)(D) F(-3)=-F(-2)(C) F(-3)==F(2)6.若反常积分1℃e-k*dx收敛，则必有（B）(A) k>0(B) k<0(C) k≥0(D) k≤0得分二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）。1.若曲线y=x+ax2+bx+1有拐点(-1,0),则b=_2. lim(1+3x)SI3.曲线tan(x+y+)=e’在点(0,0)处的切线方程为=-2x4. 设f(x)=sin*x,则 ()(x)=_2 sin(2x+n(1+sinx+)dx=_1+5.[(1+ x226.设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为R(Q)=104Q-0.4Q，销售量Q=50个单位时，总收入的边际收入为64(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 下半圆周，在区间 [ 2,0] − 、 [0, 2] 上图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ，则下列结论正确的是( C ). 3 2 1 O 1 2 3 x 1 1 y （A） 3 (3) ( 2) 4 F F = − − （B） 5 (3) (2) 4 F F = （C） 3 ( 3) (2) 4 F F − = （D） 5 ( 3) ( 2) 4 F F − = − − 6.若反常积分 0 e d k x x − − 收敛，则必有( B ). (A) k  0 (B) k  0 (C) k  0 (D) k  0 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．若曲线 3 2 y x ax bx = + + +1 有拐点 ( 1,0) − ,则 b = _3_. 2． 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + =_ e 6 _. 3．曲线 tan( ) e 4 y x y  + + = 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=-2x_ . 4．设 2 f x x ( ) sin = ,则 ( ) ( ) f x n = _ -1 1 2 sin(2 ) 2 n n x  − + _. 5． 1 2 1 1 sin d 1 x x x − x   +   +   +  = _1 2  + _. 6．设某商品的总收益 R 关于销售量 Q 的函数为 2 R(Q) =104Q − 0.4Q ,销售量 Q = 50 个单位时,总收入的边际收入为_64_. 得 分

解答题（共6道题，每小题8分，满分48分），1+x_11.求lm1-e(-)m*ax)1m(1-e-*)x+x2-l+e1+2x-e-xlim2.2+e-xlimx=In(1+t)，所确定的函数，求，2.已知y=()是由参数方程y=t-arctantYdxdy1-dy_d1+t2dxdx1+1ddy)dyddx1+tdx?41dt1+t23．计算不定积分『edx解令/x=t,x=t,dx=3tdFefdx=Je-3°'dt=3fr’de' =3e'-6Je' -idi=3e'f -6[ de'= 3e'- -6te' +6fe'dt= 3e'f -6te' +6e' +C=3e派-6xe派+6e派+C4．计算定积分『Vcosx-cosxdx(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 三、 解答题（共 6 道题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1. 求 0 1 1 lim 1 e x x x x → −   +   −   − . 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1 lim lim 1 (1 ) 1 1 2 lim lim 2 2 3 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x e e x e x x x e x e x x e − → → − − − − → → − →   + + − +   − =   − − + − + + − = = + = = 2．已知 y = y(x) 是由参数方程 2 ln(1 ), arctan x t y t t  = +   = − 所确定的函数，求 d d y x ， 2 2 d d y x . 2 2 2 2 2 2 2 d 1 1 d d 1 d 2 2 d 2 d 1 d d 1 ( ) d 1 d d 2 d 4 d 2 d 1 y y t t t t x t x t t t y y t t x x t x t t t − + = = = = + + = = = + 3．计算不定积分 e dx x  . 解 令 3 2 , ,d 3 d 3 x t x t x t t = = = 3 3 3 3 2 2 3 2 3 e d e 3 d 3 de 3e 6 e d 3e 6 de 3e 6 e 6 e d 3e 6 e 6e 3e 6 e 6e x t t t 2 t t 2 t t 2 t t t 2 t t x x x x t t t t t t t t t t t t t C x x C =  = = −  = − = − + = − + + = − + +       4．计算定积分 2 3 2 cos cos d . x x x   − −  得 分

cosx-cos.xdxVcos x sin xldx=2fJcos xsin xdx=-2f Vcos xd(cosx)1元=-(cos)2-135.求曲线y=Vx(0≤x≤4)上的一条切线，使该切线与直线x=0，x=4以及曲线y=x所围成的平面图形的面积最小解设(xo,%)为曲线y=Vx(0≤x≤4)上任一点，易得曲线于该点处的切线方程(x-x)即y=为： y-%0=2J元2/2/x得其与x=0，x=4的交点分别为(0.兰)，（4,+2Vo于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=Vx所围的平面图形面积为：416-- /x =2y0 +Vx32Jx4-16=2 /x+V3-(0x4)的最小值问题即求S=2/x+-Vx3令S=×±+2x=0得唯一驻点x=2且为唯一极小值所以当x=2时，S最小X+即所求切线即为：J=2V22(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 2 2 3 2 2 2 2 0 0 3 2 cos cos d cos sin d 2 cos sin d 2 cos d(cos ) 4 4 (cos ) 2 3 3 0 x x x x x x x x x x x x        − − − = = = − = − =     5．求曲线 y = x (0  x  4) 上的一条切线，使该切线与直线 x = 0， x = 4 以及 曲线 y = x 所围成的平面图形的面积最小. 解 设 ( ) 0 0 x , y 为曲线 y = x (0  x  4) 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程 为： ( ) 0 0 0 2 1 x x x y − y = − 即 0 0 2 2 x y x y = + 得其与 x = 0， x = 4 的交点分别为       2 0, 0 y ，         + 0 0 2 2 4, y y 于是由此切线与直线 x = 0 ， x = 4 以及曲线 y = x 所围的平面图形面积为： 3 4 16 2 2 2 0 0 4 0 0 0 = + −         = + −  x x dx y x y x S 3 4 16 2 0 = 0 + − x x 问题即求 3 4 16 = 2 + − x S x (0  x  4) 的最小值 令 2 0 2 3 2 1 = + = − − S x x 得唯一驻点 x = 2 且为唯一极小值 所以 当 x = 2 时，S 最小 即所求切线即为： 2 2 2 2 = + x y

6.已知函数f(x)在x=0点的某邻域内有连续的一阶导数，且f(0)±0. f(0)±0g(h)+br(2h)-()=0,求a,b.limh解由题意 lim[af(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)=0,得到a+b-1=0m)+bm[(h)+b(2)=a+2)()=有又limha+2b=0得到α=2,b=-1.得分四、（本题满分10分）。[g(x)-cosx，×*0 其中()具有二阶连续导数,(0)=1.设f(x)=+x=0,a(1)求a的值，使f(x)在x=0连续(2）已知f(x)在x=0连续，求f(x)并讨论f(x)在x=0的连续性解 (1) m (a)= m ()cos= im(0()+sin x)=0(0)故当a=p(0)时f()在x=0处连续.(2) ×0时 ()=0()+sinx[()-cosx)xx=0时(x)-cosx -p(0)(0)-m)mx= lim 2()-cos x- xo (0) m g(x)+sin x-g(0)x2xg()+cosx(0(0)+1)S12(共6页第5页)

(共 6 页 第5页) 6．已知函数 f x( ) 在 x = 0 点的某邻域内有连续的一阶导数, 且 f f (0) 0, (0) 0    , 0 ( ) (2 ) (0) lim 0 h af h bf h f → h + − = , 求 a b, . 解 由题意 0 lim[ ( ) (2 ) (0)] ( 1) (0) 0 h af h bf h f a b f → + − = + − = ,得到 a b + − =1 0 又 0 0 ( ) (2 ) (0) lim lim[ '( ) 2 '(2 )] ( 2 ) '(0) 0 h h af h bf h f af h bf h a b f → → h + − = + = + = 有 a b + = 2 0 得到 a b = = − 2, 1. 四、（本题满分 10 分）. 设 ( ) cos , 0, ( ) , 0, x x x f x x a x  −   =    = 其中 ( ) x 具有二阶连续导数,(0) 1 = . (1) 求 a 的值,使 f x( ) 在 x = 0 连续; (2) 已知 f x( ) 在 x = 0 连续,求 f x ( ) 并讨论 f x ( ) 在 x = 0 的连续性. 解 (1) 0 0 0 ( ) cos lim ( ) lim lim( '( ) sin ) '(0) x x x x x f x x x x    → → → − = = + = 故当 a =  '(0) 时 f x( ) 在 x = 0 处连续. (2) x  0 时 2 [ '( ) sin ] [ ( ) cos ] '( ) x x x x x f x x   + − − = x = 0 时 0 0 2 0 0 0 ( ) cos '(0) ( ) (0) '(0) lim lim ( ) cos '(0) '( ) sin '(0) lim lim 2 ''( ) cos 1 lim [ ''(0) 1] 2 2 x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x         → → → → → − − − = = − − + − = = + = = + 得 分

[p(x)+sin x]-[o(x)-cosx)lim (x) = limx[()2xf(x)在x=0 的连续.得分五、（本题满分6分）已知f(x)连续，且当x≥0时，恒有F(x)>0.证明当0[b]。f(dt-af。f(d)解令 F(x)=J"f(t)dt-,(xf。f()dt-a]。f(0)d),F(a)=0. F(x)=()-()d()=()-J()dl)(()d由(x)>0 知函数 f(x)单调递增,当 x>t 有,f(x)-f(t)>0 ，有F(x)>0函数 F(x)单调递增,当0F(a)=0F(b)=I'f(0)dt--[b]。f()dt-al° f()di)>0.即'f(db]。f(dt-af。f(d)(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) 2 0 0 0 [ '( ) sin ] [ ( ) cos ] lim '( ) lim [ ''( ) cos ] 1 lim [ ''(0) 1] '(0) 2 2 x x x x x x x x f x x x x x f x     → → → + − − = + = = + = f x'( ) 在 x = 0 的连续. 五、（本题满分 6 分）已知 f x ( ) 连续,且当 x  0 时，恒有 f x ( ) 0  . 证明当 0  a b 时， 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    解 令 0 0 1 ( ) ( )d [ ( )d ( )d ], ( ) 0. 2 x x a a F x tf t t x f t t a f t t F a = − − =    0 0 0 0 0 1 1 1 '( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 2 2 2 1 1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] . 2 2 x x x x x F x xf x f t dt xf x xf x f t dt f x dt f t dt f x f t dt = − − = − = − = −      由 f x'( ) 0  知函数 f x( ) 单调递增 , 当 x t  有 , f x f t ( ) ( ) 0 −  , 有 F x'( ) 0  函数 F x( ) 单调递增, 当 0  a b 时, F b F a ( ) ( ) 0  = 0 0 1 ( ) ( )d [ ( )d ( )d ] 0. 2 b b a a F b tf t t b f t t a f t t = − −     即 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    得 分