吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）高等数学AI2015-2016（题目）

2015-2016学年第一学期《高等数学AI》试卷2016年1月13日四五总分二三得分一、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.设函数f(x),g(x)在点x=0的某邻域内连续,且当x→>0时,f(x)是g(x)的高阶无穷小,则当x→0时,[。()sintds是.g()id 的（)（A）低阶无穷小(B)高阶无穷小(C）同阶但不是等价无穷小(D)等价无穷小xasin,x>0,2. 设函数F(x)=在x=0处有连续的一阶导数，则（[0,x≤0(C) α≥2(A) α>0(B) α>1(D) α>2x?-13.曲线y=有（）x2-2x-3(A)一条水平渐近线，一条铅直渐近线(B)一条水平渐近线,两条铅直渐近线(C)两条水平渐近线,一条铅直渐近线(D)没有水平渐近线,两条铅直渐近线4.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1)上（)(A)当f(x)≥0时，f(x)≥g(x)(B)当F(n)≥0时，f(x)≤g()(C)当 f"()≥0 时, f(x)≥g()(D)当F"()≥0时, f(x)≤g(x)5.如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,-2]、[2,3]上的图形分别是直径为1的上、(共6页第1页)

(共 6 页 第1页) 2015– 2016 学年第一学期《高等数学 AI》试卷 2016 年 1 月 13 日 一 二 三 四 五 总分 一、选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．设函数 f x( ), g x( ) 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 高阶无穷小,则当 x →0 时, ( ) 0 sin d x f t t t  是 ( ) 0 d x g t t t  的（ ）. (A) 低阶无穷小 (B)高阶无穷小 (C) 同阶但不是等价无穷小 (D)等价无穷小 2．设函数 1 sin , 0, ( ) 0, 0 x x f x x x     =     在 x = 0 处有连续的一阶导数，则（ ）. (A)   0 (B)  1 (C)   2 (D)   2 3．曲线 2 2 1 2 3 x y x x − = − − 有（ ）. (A)一条水平渐近线,一条铅直渐近线 (B)一条水平渐近线,两条铅直渐近线 (C)两条水平渐近线,一条铅直渐近线 (D)没有水平渐近线,两条铅直渐近线 4．设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上（ ）. (A)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (B)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (C)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (D)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  5．如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 [ 3, 2] − − 、[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、 得 分

下半圆周，在区间[-2,0]、[0,2]上图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(s)=I。f(0)d，则下列结论正确的是((B) F(3)=F(2)(A) F(3)=-F(-2)(C) F(-3) =_F(2)(0) F(-3)=-号F(-2)6.设lima,=a,且α0,则当n充分大时有（a/@咀V(C) a,>a-() a,<a+!2得分二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.若曲线y=x+ax+bx+1上有拐点(-1,0)，则b=2. lm(1+3m)=3．曲线tan(x+y+)=e’在点(0,0)处的切线方程为4. 设f(x)=sin2x,则 f(m)(x)1+sinx5.X1+16. 设 F(x)=f,cost’dt,则 F()-(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 下半圆周，在区间 [ 2,0] − 、 [0, 2] 上图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ， 则下列结论正确的是( ). 3 2 1 1 2 3 x 1 1 y O (A) 3 (3) ( 2) 4 F F = − − (B) 5 (3) (2) 4 F F = (C) 3 ( 3) (2) 4 F F − = (D) 5 ( 3) ( 2) 4 F F − = − − 6. 设 lim , n a a = 且 a  0, 则当 n 充分大时有（ ）. (A) 2 n a a  (B) 2 n a a  (C) 1 n a a n  − (D) 1 n a a n  + 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．若曲线 3 2 y x ax bx = + + +1 上有拐点 ( 1,0) − ,则 b = _ . 2． 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + =_. 3．曲线 tan( ) e 4 y x y  + + = 在点 (0,0) 处的切线方程为 . 4．设 2 f x x ( ) sin = ,则 ( ) ( ) f x n = _. 5． 1 2 1 1 sin d 1 x x x − x   +   +   +  = . 6．设 0 ( ) cos d 2 2 x F x t t =  ,则 F(1) = _. 得 分

得分解答题（共6道题，每小题8分，满分48分），(1+)1. 求m(1-)[x= In(1+t),、所确定的函数，求兴，2.已知y=()是由参数方程y=t-arctantdxdx3．计算不定积分[edx(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 三、 解答题（共 6 道题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1. 求 0 1 1 lim 1 e x x x x → −   +   −   − . 2．已知 y = y(x) 是由参数方程 2 ln(1 ), arctan x t y t t  = +   = − 所确定的函数，求 d d y x ， 2 2 d d y x . 3．计算不定积分 3 e dx x  . 得 分

[+,x<0求F()=,d在[-1,上的表达式4. 设f(x)=[ x,x≥0.5．计算定积分Vcosx-cosxdx6. 设数列(x)满足：0<X<元,xa=sinx,(n=1,2,),2)计算[lm(1)证明limx，存在，并求此极限值。()(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 4. 设 1, 0, ( ) , 0. x x f x x x  +  =    求 1 ( ) ( )d x F x f t t − =  在 [ 1,1] − 上的表达式. 5．计算定积分 2 3 2 cos cos d . x x x   − −  6. 设数列 xn 满足： 1 1 0 , sin ( 1,2, ). n n   = = x x x n  + (1)证明 lim n n x → 存在,并求此极限值. (2)计算 2 1 1 lim n x n n n x x + →      

四、（本题满分10分）。得分[g(x)-cosx0.其中(1)具有二阶连续导数,(0)=1.设f(x)=rx=0,a,(1)求a的值，使(x)在x=0点连续；(2)已知f(x)在x=0点连续,求f(x)并讨论f(x)在x=0点的连续性(共6页第5页)

(共 6 页 第5页) 四、 （本题满分 10 分）. 设 ( ) cos , 0, ( ) , 0, x x x f x x a x  −   =    = 其中 ( ) x 具有二阶连续导数,(0) 1 = . (1) 求 a 的值,使 f x( ) 在 x = 0 点连续; (2) 已知 f x( ) 在 x = 0 点连续,求 f x ( ) 并讨论 f x ( ) 在 x = 0 点的连续性. 得 分

得分五、（本题满分6分）已知f(x)连续，且当x≥0时，恒有(x)>0，证明当0[bf, f()dt-af。 f(0)d])(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) 五、（本题满分 6 分）已知 f x ( ) 连续,且当 x  0 时，恒有 f x ( ) 0  ， 证明当 0  a b 时， 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    得 分