吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2015-16CII试卷（答案）

吉林大学2015~2016学年第二学期《高等数学CI》试卷2016年6月28日二三四总分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1.过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+≥=4垂直的直线方程是（A）.x-1_y+2_=-4(A)(B) 2x-3y+z=8-2-12(C) 1_2_=-4(D) -1_ -2_=-4-242-312.函数F(x,)=/+在点(0.0)处的偏导数（B）（A）F(0,0)存在，;(0,0)不存在(B）J(0,0)不存在，;(0,0)存在(C）(0,0)，J(0,0)都存在(D）J(0,0)，(0,0)都不存在0-3.设方程xyz+e=1确定：是x，y的函数，则%=(C)axJ(D) 2(B)(A)-(C) --xy+e'xy+ei4.空间区域Q=(x,y,2)≤4--+≤1,z≥0)的体积是（A)(A)4fedof'r/4-rdr(B) J°dof'r/4-rdr(C) 4f dof'/4-rdr(D) J"dof 4-r'dr（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2015~2016 学年第二学期《高等数学 CII》试卷 2016 年 6 月 28 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，下列每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） 1. 过点 (1, 2, 4) − 且与平面 2 3 4 x y z − + = 垂直的直线方程是（ A ）． （A） 1 2 4 2 3 1 x y z − + − = = − − （B） 2 3 8 x y z − + = （C） 1 2 4 1 2 4 x y z − + − = = − （D） 1 2 4 2 3 1 x y z − − − = = − 2. 函数 ( ) 2 4 f x y x y , = + 在点(0,0)处的偏导数（ B ）. （A） (0,0) x f  存在， (0,0) y f  不存在 （B） (0,0) x f  不存在， (0,0) y f  存在 （C） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都存在 （D） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都不存在 3. 设方程 e 1 z xyz + = 确定 z 是 x，y 的函数，则 z x   =（ C ）． （A） e z yz − （B） e z yz （C） e z yz xy − + （D） e z yz xy + 4. 空间区域 2 2 2 2  =  − − +   {( , , ) 4 , 1,z 0} x y z z x y x y 的体积是（ A） （A） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r r   −   （B） 2 2 2 0 0 d 4 d r r r   −   （C） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r   −   （D） 2 2 2 0 0 d 4 d r r   −   得 分

5.设空间区域Q=(x,y,2)++2,z≥+)，(x,,2)为连续函数，则三重积分[[ f(x,y,=)dV=（ D ).A) L(s)d(B) 4f'da/a-" f(x,y,z)da(c) J."dof'drf," (rcoso,rsino,=)d(D) 2" do"dof f(rsingcoso,rsinpsino,rcosp)r'sinpdr6.如果级数(-1"（p>O)绝对收敛，则常数p的取值范围是（A），np(A) p>1(B) 0<p<1(c) p≥1(D) 0<p≤1二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分，请将答案写在题后得分的横线上.）sin(xy).1．极限lim2.向量a=(2,-3,5)与b=(3 m,-2)互相垂直，则m=4/3x2 + v2 +z? :-3.曲线r：在Ox平面上的投影柱面方程为+:x2+x2+2? = 24.差分方程yx+-,=x2"的通解为c5.将函数f(x)=展开成(x-2)的幂级数的形式为(x-2),(x-2/<2)_0 2"+(共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 5. 设空间区域 2 2 2 2 2  = + +   + {( , , ) 2, } x y z x y z z x y ， f x y z ( , , ) 为连续函 数，则三重积分 f x y z V ( , , )d  =  （ D ）． （A） 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 d d ( , , )d x x y x x y x y f x y z z − +    − − − − − （B） 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 4 d d ( , , )d x x y x y x y f x y z z − − −    + （C） 2 2 1 2 0 0 d d ( cos , sin , )d r r r f r r z z     −    （D） 2 2 4 2 0 0 0 d d ( sin cos , sin sin , cos ) sin d f r r r r r              6. 如果级数 1 ( 1) ( 0) n p n p n  = −   绝对收敛，则常数 p 的取值范围是（ Ａ ）. （A） p 1 （B） 0 1   p （C） p 1 （D） 0 1   p 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，请将答案写在题后 的横线上.） 1. 极限 lim sin( ) x y xy → x → 0  =    ． 2.向量 a = − (2, 3, 5) 与 b = − (3, , 2) m 互相垂直，则 m =-4/3． 3. 曲线 2 2 2 4, : x y z y z x  + + =    = + 在 Oxz 平面上的投影柱面方程为 2 2 x xz z + + = 2 . 4. 差分方程 1 2 x x x y y x + − = 的通解为c . 5. 将函数 1 f x( ) x = 展 开 成 ( 2) x − 的幂级数 的形式为  1 0 ( 1) ( 2) ,( 2 2) 2 n n n n x x  + = −  − −  . 得 分

6.微分方程y"-3y+2y=0的通解为—Ce+c,e2得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）a21.设f为C(2)类函数，且z=f(x+y,x-J)，求d=和axay.=f'-f解】%-+%··2分ar故dz=(f+f)dx+(f-f)dy...4分?z-i-+i-.·分=fi-fu..2.设可导函数f()满足f(x)cosx+2f, f(t)sin tdt =x+1求f(x).【解】对方程两端关于x求导，得f(x)cosx-f(x)sinx+2f(x)sinx=1即f(x)=-(x)tanx+secr....3分解得6分f(x)=Ccos x由 f(0)=1得C=1f(x)=cosx+sin··分3.设平面区域D=(x,)x+≤1,x≥0)，计算二重积分-dxdyJJ1+x?+y2【解】（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 6. 微分方程 y y y   − + = 3 2 0 的通解为 2 1 2 x x c e c e + . 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设 f 为 (2) C 类函数，且 z f x y x y = + − ( , )，求 d z 和 2 z x y    . 【解】 1 2 1 2 , , z z f f f f x y   = + = −       .2 分 故 1 2 1 2 d ( )d ( )d z f f x f f y = + + −     .4 分 2 11 12 21 22 z f f f f x y  = − + −       11 22 = − f f  .8 分 2．设可导函数 f x( ) 满足 0 ( )cos 2 ( )sin d 1 x f x x f t t t x + = +  求 f x( ) ． 【解】对方程两端关于 x 求导，得 f x x f x x f x x ( )cos ( )sin 2 ( )sin 1 − + = 即 f x f x x x ( ) ( ) tan sec = − + .3 分 解得 f x C x x ( ) cos sin = + .6 分 由 f (0) 1 = 得 C =1 f x x x ( ) cos sin = + .8 分 3．设平面区域   2 2 D x y x y x = +   ( , ) 1, 0 ，计算二重积分 2 2 1 d d 1 D xy x y x y + + +  . 【解】 得 分

积分区域D关于×轴对称，函数 (s)=1++是变量的偶函数，函数 g(x,J)=是变量y的奇函数，1+x?+ydr=ln2. dy=2f, dof.1r.分则1+产+-dxdy=2[]Ji+x?+y2dxdy=0,.·6分Ji+x+y....·8分4.求幂级数一的收敛域与和函数-m"-1, 收敏区间为(1)【解】 R=lima+iln当=—时级数发散，当=-1时级数收敛，故收敛域为[,]…………·分设 S(x)=),-1≤x0,y>0,z>0，用Lagrange乘数法求函数u=xyz在约束条件(共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 积分区域 D 关于 x 轴对称，函数 2 2 1 ( , ) 1 f x y x y = + + 是变量 y 的偶函数， 函数 2 2 ( , ) 1 xy g x y x y = + + 是变量 y 的奇函数， 则 1 2 2 2 2 1 1 d d 2 d d 1 1 = + + + +   D D x y x y x y x y 1 2 2 0 0 ln 2 2 d d 1 2   = =  +   r r r .4 分 2 2 d d 0 1 D xy x y x y = + +  ，.6 分 故 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 d d d d d d 1 1 1 2 D D D xy xy x y x y x y x y x y x y +  = + = + + + + + +    .8 分 4. 求幂级数 1 1 n n x n  − =  的收敛域与和函数. 【解】 1 1 lim lim 1 n n n n a n R → → a n + + = = = ，收敛区间为 ( 1,1) − 当 x =1 时级数发散，当 x =−1 时级数收敛，故收敛域为 [ 1,1) − .2 分 设 1 1 ( ) , 1 1, n n x S x x n  − = = −    则 1 ( ) ln(1 ), 1 1, n n x xS x x x n  = = = − − −    且 x  0 ， ln(1 ) ( ) x S x x − − = .5 分 1 (0) 1, ( 1) lim ( ) ln 2 x S s S x →− + = − = = − 从而 1 1 ln(1 ), 0, 1 1, 1, 0. n n x x x x x n x  − =  − −  −   =    =  .8 分 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1. 设 x y z    0, 0, 0 ，用 Lagrange 乘数法求函数 u x y z 3 2 = 在约束条件 得 分

x+y+2=12下的最大值。【解】令F(x,y,)=xy2+2(x+y+z-12),则..3分[F,=3xy22+a=0,F, =-2x'y+/=0,..6分F,=x'y +a=0,[x+y+z=12.解得唯一驻点(6,4,2)，x=6,y=4,z=2，最大值为u=63.42.2=6912..··分2.求微分方程y"+4y=2x满足y(0)=0,y(0)=1的特解。【解特征方程．2分齐次微分方程通解.cos.2.sin24分又微分方程的一个特解为二,..分.7分因而非齐次通解为c.cos2x+c.sin2x+号将初始条件代入上式得特解为.os2+-sin2+-..8分3. 是由曲线=V-(1≤23)统=轴旋转一周所形成的曲面x=0（1）写出的方程；（2）设区域α是由曲面≥与平面z=3围成的区域，计算e'dxdydz【解】()的方程2=1+×+.≤2≤3).4分(2) Jfe'dxdydz-f'e'd J dxdy= f'(z-1)dz=e+e...8 分4.设>0，讨论级数的敛散性。n【解】（共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） x y z + + =12 下的最大值. 【解】令 ( , , ) ( 12) 3 2 F x y z = x y z +  x + y + z − ，则.3 分        + + = = + = = + = = + = 12. 0, 2 0, 3 0, 3 2 3 2 2 x y z F x y F x yz F x y z z y x    .6 分 解得唯一驻点 (6,4,2) ， x = = = 6, y 4,z 2 ，最大值为 6 4 2 6912. 3 2 umax =   = .8 分 2. 求微分方程 2 y y x + = 4 2 满足 y y (0) 0, (0) 1 = =  的特解． 【解】 特征方程 2 r + = 4 0.2 分 齐次微分方程通解 1 2 c x c x cos 2 sin 2 + .4 分 又微分方程的一个特解为 1 1 2 2 4 x − .6 分 因而非齐次通解为 2 1 2 1 1 cos 2 sin 2 2 4 c x c x x + + − .7 分 将初始条件代入上式得 特解为 1 1 1 1 2 cos 2 sin 2 4 2 2 4 x x x + + − .8 分 3.  是由曲线 1,(1 z 3) 0 y z x  = −     = 绕 z 轴旋转一周所形成的曲面. （1）写出  的方程； （2）设区域  是由曲面  与平面 z = 3 围成的区域，计算 e d d d z xyz   . 【解】 （1）  的方程 2 2 z x y z = + +   1 ,(1 3) ；.4 分 （2） 3 3 3 1 1 e d d d e d d d e (z 1)d z z z z D x y z z x y z e e   = = − = +     .8 分 4. 设 a  0，讨论级数 1 ! n n n a n n  =  的敛散性. 【解】

a"n!≥0,Unn"n"a"*'(n+1)!Un+Ia(n + 1)n+I-a"n!un(1+nlim "al = n-oune分（.）当ae时，级数发散；…..6分na+"(n+1)!aUn+l（3）当a=e时，，>l，得un>u,，故limu,0级(n +1)n+/a"n!Un(1+-n数发散．·分（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 1 1 1 1 ! 0, ( 1)! ( 1) ! 1 (1 ) lim n n n n n n n n n n n n n a n u n u a n n a u n a n n u a u e + + + + → =  + =  = + + = .4 分 （1）当 a e  时，级数收敛；.5 分 （2）当 a e  时，级数发散；.6 分 （3）当 a e = 时， 1 1 1 ( 1)! 1 ( 1) ! 1 (1 ) n n n n n n n u a n n a u n a n n + + + + =  =  + + ，得 n n 1 u u +  ，故 lim 0 n n u →  级 数发散. .8 分