《高等数学》课程试卷习题（无答案）第7章 多元函数微分学习题

81多元函数的基本概念一、是非题1.当变点(x,Jy)以无穷多种方式趋向点(x,y)时，f(x,y)都趋向于A，则limf(x,J)=A.(Yy-→o1()2.函数2的间断点是(0,0)：x?+y?3.函数：=sin二的间断线是x=0及y=0.()xy1)4.函数u=l的间断点是（x,%,二）(V(x-xo)+(y-yo) +(z-z0)的间断面：x=m元和y=n元,(m,n=0,±1,±2,).5.函数u:()sinxsinyxy2+0，在点(0,0)不连续.x+y6. 函数 f(x,y)=()0,x+y =0,二、填空题1.一个顶点在原点，边长为a，而且一边在x轴上（x>0)的正三角形区域2.以O(0,0),A(1,0),B(1,2),C(0,1)为顶点的梯形闭域为3. 设f(x,y)=x+2y，则f(xy,f(x,y))=xy4.lim538/x +y2三、选择题1-x2-y 的定义域为(1.函数≥=arcsinOx? +y(B)圆域(A）空集(C）圆周(D）一个点2.xy2. 指出f(x,J)=与不相同的函数()x? +yX.x?- y?￥0(A)r+y?f(x+y,x-y)-(B) f(x+y,xx?+y?0,x2 +y2 =0u?-y22u2-2uv(C)f(u+v,u-v)(D) f(u,u-v)u? + y22u-2+yxy?3.lim)-(rj)-(0,0) x* + y3(D)不存在(A)存在且等于0.(B)存在且等于1.(C)存在且等于-14. 设(x,y)=In(x-y2-y)（其中x>y>0)，则f(x+y,x-y)=（)

§1 多元函数的基本概念 一、是非题 1．当变点(x, y) 以无穷多种方式趋向点 0 0  (x , y ) 时， f (x, y)都趋向于 A ，则 0 0 lim ( , ) x x y y f x y A Æ Æ = .( ) 2． 函数 2 2  1 z  x y = + 的间断点是(0,0) ． ( ) 3． 函数 1 z  sin xy = 的间断线是 x = 0 及 y = 0 ． ( ) 4．函数 2 2 2  0 0 0  1 ln ( ) ( ) ( ) u x x y y z z = - + - + - 的间断点是 0 0 0  (x , y ,z ) ． ( ) 5．函数 sin sin z  u x y = 的间断面：x = mp 和 y = np,(m, n = 0,±1,± 2,L ) ． ( ) 6．函数 2 2  2 2  4 4  2 2  , 0,  ( , ) 0, 0, x y  x y  f x y  x y  x y Ï Ô + ¹ = Ì + Ô Ó + = 在点(0,0) 不连续． ( ) 二、填空题 1．一个顶点在原点，边长为a ，而且一边在 x 轴上(x > 0) 的正三角形区域 ． 2．以O(0,0), A(1,0), B(1, 2),C (0,1) 为顶点的梯形闭域为 ． 3．设 f (x, y) = x + 2y ，则 f (xy, f (x, y)) = ． 4． 0  2 2  0  lim x y xy x y Æ Æ = + ． 三、选择题 1．函数 2 2  2 2  1 z arcsin 1 x y  x y = + - - + 的定义域为( ) (A) 空集 (B)圆域 (C ) 圆周 (D) 一个点 2．指出 2 2  2 ( , ) xy f x y  x y = + 与不相同的函数( ) (A) 2 2  1  2 2  ( , ) x y  f x y x y  x y - + - = + (B) 2 2  2 2  2 2  2  2 2  , 0 ( , ) 0, 0 x y  x y  f x y x y  x y  x y - Ï + ¹ + - = Ì + Ó + = (C) 2 2  3  2 2  ( , ) u v  f u v u v  u v - + - = + (D) 2  4  2 2  2 2 ( , ) 2 2 u uv  f u u v  u uv v - - = - + 3． 2  3 3  ( , ) (0,0)  lim x y xy Æ x + y =( ) (A)存在且等于 0．(B)存在且等于 1．(C ) 存在且等于-1 (D) 不存在． 4．设 2 2  f (x, y) = ln(x - x - y ) （其中 x > y > 0 ），则 f (x + y, x - y) = （ ）

(A) 2In(Vx-) :(B) In(x-y); (C)-(lnx-lny):(D) 2ln(x-y)5.下列结论中错误的是(B1xyxy(B) lim=lim=0(A) lim-=0aox+y538x+yyx(C) Jlim =-1.(D) lim兴不存在。,x+yjsox+y)6.函数f(x,y)=sin(x2+y)在点(0,0)处（(A)无定义；（B)无极限；(C)有极限，但不连续；(D)连续7.函数==f(x,J)在点P(x0,%)间断，则（)(A)函数在点P处一定无定义；(B)函数在点P处极限一定不存在；(C)函数在点P处可能有定义，也可能有极限；(D)函数在点P处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值四、解答题1.求下列函数的定义域(1)== aresin(x-y°)+lnln(10-x -4y)x2 + y2 -1(2)u:4-x-V2(3)u=arccosx+y2.设fx-y，求f(x,y)，f(x-y,)x+Vx3.求下列函数的极限2(+y)2(2) limer+y(1) lim1sin(ex+y1-0y-xy,sinxy(3) lim(4) lim0X338 /xy+1-11-cos(x2 + y2)(5) lim8 (r +y)xy2xy(x,y)±(0,0)x+ y24.设f(x,y)=问limf(x,y)是否存在？300,(x, y)=(0,0)xsin(x-2y)x+2y的连续性.5.讨论函数f(x,y)=x-2y0,x=2y$2偏导数

(A) 2ln( x - y ) ；(B) ln(x - y) ；(C) 1 (ln ln ) 2 x - y ；(D) 2ln(x - y) .  5．下列结论中错误的是(B ) (A) 0  lim 0 x y kx xy Æ x y = = + (B) 0 0  0 0  1 lim lim 0 x x 1 1 y y xy x y  y x Æ Æ Æ Æ = = + + (C) 20  lim 1 x y x x xy Æ x y = - = - + ． (D) 0  0  lim x y xy Æ x y Æ + 不存在． 6．函数 2  f (x, y) = sin(x + y) 在点(0,0) 处（ ） (A)无定义；(B)无极限；(C ) 有极限，但不连续；(D) 连续.  7．函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0  P (x , y ) 间断，则（ ） (A)函数在点 P0 处一定无定义； (B)函数在点 P0 处极限一定不存在； (C ) 函数在点 P0 处可能有定义，也可能有极限； (D) 函数在点 P0 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值.  四、解答题 1．求下列函数的定义域 (1) 2 2 2  z = arcsin(x - y ) + ln ln(10 - x - 4 y ) (2) 2 2  2 2  1 4 x y  u x y + - = - - (3) 2 2  arccos z  u x y = + 2．设 2 2  , y  f x y x y  x Ê ˆ Á + ˜ = - Ë ¯ ，求 f (x, y)， f (x - y, xy) ． 3．求下列函数的极限 (1) 2 2 2( )  2 2  2 lim 1 x y x y x y + Æ• Æ• Ê ˆ Á - ˜ Ë + ¯ (2) 2 2 2 2 1 1  0  0  lim sin( ) x y x y x y e e - + + Æ Æ ． (3) 0  0  sin lim x y xy Æ x Æ (4) 0  0  lim  1 1 x y xy  xy Æ Æ + - (5) 2 2  2 2 2 2  0  0  1 cos( ) lim  ( ) x y x y  Æ x y x y Æ - + + 4．设 4 2  , ( , ) (0,0) ( , ) 0 , ( , ) (0,0) xy x y  f x y  x y  x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = ，问 0  0  lim ( , ) x y f x y Æ Æ 是否存在？ 5．讨论函数 sin( 2 ) , 2 ( , ) 2 0 , 2 x x y  x y  f x y  x y  x y Ï - Ô ¹ = Ì - Ô Ó = 的连续性． §2 偏导数

一、是非题)(1.f(xo,%)表示曲面被平面x=x所截得到的曲线在点(xo,%)处的切线对y轴的斜率。()2.若函数z=f(x,y)的各偏导数在某点都存在，则z=f(x,y)在该点不一定连续3.若函数==(s,)在点(%,%)可微，则在该点%与%不一定存在。C)axa4.若二元函数：=(x,J)在区域D内存在二阶偏导数，则%()()= f(x,y) .ay(ax()5.二阶混合偏导数与求导顺序无关。二、填空题1.设函数f(x,y)在P(xo,J)的某邻域内有定义，如果当点P沿着平行于x轴的方向移动到点P(x+Ax,y)时，则关于x的偏增量为2.二阶混合偏导数在下与求导次序无关3．函数f(x,J)在点(xo,y)处可微的条件是f(x,y)在点(x,%)处的偏导数存在。4.函数f(x,J)在点(xo,%)可微是f(x,J)在点(xo,%)处连续的条件.5.设z=x,则=(0,0)==6. 设z=ysin(xy)+(1-y)arctanx+e-2y,则=(1,0)=三、选择题1.指出偏导数的正确表达（）(4) (a,b)= Jim (a+h,b+k)-(a,b)(B) f(0,0)=lim (x, 0)&+Vh? +k?xf(0, y+Ay)-f(0, )(D) f,(x,0)=lim (x,y)-(x,0)(C) J,(0, y)= lim Ay(AyAx2．二元函数xy,(x,y)±(0,0)x?+y?f(x,y)=0,(x, y)= (0,0)力在点(0,0)处(（A）连续，偏导数存在：(B)连续，偏导数不存在；(C)不连续，偏导数存在；(D)不连续，偏导数不存在.sin(xy)xy0)3. 设f(x,y)则J(0,1)=（xy,xy=0[x(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在4. 设z= f(x, y), f(x,y)=2,且 f(x, 0)=1, f,(x, 0)=x则 f(x, J)为 ().(A) 1- xy+x ;(B) 1+xy+y?;(C)1-xy+y2;(D)1+xy+y?四、解答题1.设f(x,J)=x-lp(x,J)，其中p(x,y)在点(0,0)，邻域内连续，间(1)p(x,y)在什么条件下，偏导数f(0,0)，J;(0,0)存在；(2)p(x,J)在什么条件下，于(x,y)在(0,0)处可微

一、是非题 1． 0 0  ( , ) x f x y 表示曲面被平面 0 x = x 所截得到的曲线在点 0 0  (x , y ) 处的切线对 y 轴的斜率． （ ） 2．若函数 z = f (x, y) 的各偏导数在某点都存在，则 z = f (x, y) 在该点不一定连续． （ ） 3．若函数 z = f (x, y) 在点 0 0  (x , y ) 可微，则在该点 f f x ¶ ¶ ¶ ¶ 与 不一定存在． （ ） 4．若二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内存在二阶偏导数，则 ( , ) xy z  f x y  y x ¶ Ê ¶ ˆ Á ˜ = ¶ Ë ¶ ¯ ． （ ） 5．二阶混合偏导数与求导顺序无关． （ ） 二、填空题 1．设函数 f (x, y) 在 0 0 0  P (x , y ) 的某邻域内有定义，如果当点 P0 沿着平行于 x 轴的方向移动到点 1 0 0  P(x + D x, y ) 时，则关于 x 的偏增量为 ． 2．二阶混合偏导数在 下与求导次序无关． 3．函数 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 处可微的 条件是 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 处的偏导数存在． 4．函数 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 可微是 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 处连续的 条件． 5．设 z = xy , 则 (0,0) x z = =  ． 6．设 2  sin( ) (1 ) arctan y z y xy y x e - = + - + ,则 (1,0) x z = ． 三、选择题 1．指出偏导数的正确表达( ) (A) , 0  2 2  ( , ) ( , ) x ( , ) lim h k f a h b k f a b f a b h k Æ + + - = + (B) 0  ( ,0) x (0,0) lim x f x  f Æ x = (C) 0  (0, ) (0, ) y (0, ) lim y f y y f y  f y  D Æ y + D - = D (D) 0  ( , ) ( ,0) x ( ,0) lim x f x y f x  f x  Æ x - = 2．二元函数 2 2  ,( , ) (0,0) ( , ) 0 , ( , ) (0,0) xy x y  f x y  x y  x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = 在点(0,0) 处( )： (A ) 连续，偏导数存在； (B ) 连续，偏导数不存在； (C)不连续，偏导数存在； (D ) 不连续，偏导数不存在． 3．设 2  sin( ) , 0 ( , ) , 0 x y  xy f x y  xy x xy Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = ，则 (0,1) x f = （ ） (A) 0  (B) 1  (C) 2  (D ) 不存在 4．设 ( , ), ( , ) 2 yy z = f x y f x y = ，且 ( , 0) 1, ( , 0) y f x = f x = x 则 f (x, y) 为（ ）． (A) 2  1- xy + x ； (B) 2  1+ xy + y ； (C) 2 2  1- x y + y ； (D) 2 2  1+ x y + y ． 四、解答题 1．设 f (x, y) =| x - y |j(x, y)，其中j(x, y) 在点(0,0) ，邻域内连续，问(1) j(x, y) 在什么条件下， 偏导数 (0,0) x f ¢ ， (0,0) y f ¢ 存在；(2)j(x, y) 在什么条件下， f (x, y)在(0,0) 处可微．

2.求下列各函数的偏导数：(1)≥= arctg≥(3)u= e)?(2)z = /ln(xy)A3.求下列函数的二阶偏导数：x+y(1) z= sin'(ax+ by) ;(2)==arctg(3)==ye2*+xsin2y.1=xyx?+ y?4.曲线，在点(2.4.5)处的切线对于x轴的倾角是多少？4(y=45.求下列函数的偏导数(1) z= /In(x) +ln /x2 +y(2) z= sin(xy)+cos'()(3) : =ln tan =(4) z=(1+xy)y$3全微分一、是非题1.全增量是指多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，()2.设f(x,y)=x,则dy=Ay+o(p)，其中p=(Ax)"+(Ay)()3.如果函数==f(x,Jy)在点(x,y)可微，则f(x,y)在点(x,y)的偏导数存在.()()4.偏导数存在是多元函数可微的充分必要条件.()5.如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续，则f(x,y)在点(x,y)处可微.二、填空题1.函数≥=在点(1,2)处，当Ax=0.1，Ay=0.2的全增量为z=*2.函数≥=x2+y2在点(1,2)处，当Ax=0.1，Ay=-0.2的全微分为dz=3.函数z=ln(2+x2+y）在点(1,2)的全微分为dz=4.利用全微分可得/(2.98)+（4.01)5.已知+)+地为某函数的全微分，则a=(x+y)三、选择题1．设f(x,y)是一二元函数，（so,y）是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是((A)若f(x,J)在点(x,%)连续，则f(x,y)在点(x,%)可导(B)若f(x,y)在点(x,J)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x,y%)连续.(C)若f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(xo,yo)可微(D)若f(x,y)在点(x,y)可微，则f(x,y)在点(xo,%)连续).2.二元函数z=f(x,J)在(xo%）处满足关系（(A)可微可导=连续

2.求下列各函数的偏导数： (1) y  z arctg x = (2) z = ln(xy) (3) 2 3 xy z u = e 3．求下列函数的二阶偏导数： （1） 2  z = sin (ax + by) ； （2） 1 x y  z arctg xy + = = ； （3） 2  sin 2 x z = ye + x y ． 4．曲线 2 2  4 4 x y  z  y Ï + Ô = Ì Ô Ó = ，在点(2,4,5)处的切线对于 x 轴的倾角是多少？ 5．求下列函数的偏导数 （1） z = ln(xy) 2 2  +ln x + y （2） 2  z = sin(xy) + cos (xy) （3） ln tan x  z  y = （4） (1 ) y z = + xy §3 全微分 一、是非题 1．全增量是指多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量． ( ) 2．设 f (x, y) = x ,则 dy = Dy + o(r) ，其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) ． ( ) 3．如果函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微，则 f (x, y)在点(x, y) 的偏导数存在． ( ) 4．偏导数存在是多元函数可微的充分必要条件． ( ) 5．如果函数 z = f (x, y) 的偏导数在点(x, y) 连续，则 f (x, y)在点(x, y) 处可微． ( ) 二、填空题 1．函数 2 2 xy z  x y = - 在点(1,2) 处，当Dx = 0.1， Dy = 0.2 的全增量为Dz = ． 2．函数 2 2 z = x + y 在点(1,2) 处，当Dx = 0.1， Dy = - 0.2的全微分为dz = ． 3．函数 2 2  z = ln(2 + x + y ) 在点(1,2)的全微分为dz = ． 4．利用全微分可得 2 2  (2.98) + (4.01) ª ． 5．已知 2  ( ) ( ) x ay dx ydy  x y + + + 为某函数的全微分，则a = ． 三、选择题 1．设 f (x, y)是一二元函数， 0 0  (x , y ) 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A ) 若 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 连续，则 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 可导． (B ) 若 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 的两个偏导数都存在，则 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 连续． (C)若 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 的两个偏导数都存在，则 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 可微． (D ) 若 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 可微，则 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 连续． 2．二元函数 z = f (x, y) 在 0 0  (x , y ) 处满足关系（ ）． (A ) 可微 ¤ 可导fi 连续

(B)可微=可导=连续(C)可微=可导，或可微=连续，但可导不一定连续(D)可导二连续，但可导不一定可微)3. 若f(xo,)=f,(xo,yo)=0，则f(x,y)在(x,yo)是（(A)连续但不可微(B)连续但不一定可微(C)微但不一定连续（D)不一定可微也不一定连续3xy(x,y)+(0,0)，则在原点处（)4. 设f(x,y)=x+y20(x,y)=(0,0)(A)偏导数不存在，也不连续(B)偏导数存在但不连续(C)偏导数存在且可微(D)偏导数不存在也不可微5.下列条件中（）成立时，f(x,y)在(x,yo)点必有全微分df=0(A)在点(x,)两个偏导数f=0,f,=0AxAy(B)f(x,J)在点(x,y)的全增量AfAxr? + Ay2(C)(x,)在点(%,)的全增量f,=sin(Ar+)JAr? + Ay?1(D)f(x,y)在点(x,y)的全增量Af,=(Ar +Ay)sinAr?+Ay四、解答题1.求下列各函数的全微分：(1) z=/x?+y2 :(3)u=arcsin=(2)z=e"cosy;A(4) u= n(x +y? +2):(5) u=(xy)2．求下列函数的全微分：(1)u=f(r),r=x+y2[提示：du=f(r)dr=f(r)(rdx+rdy)];(2) u=(p(xy)+y(一)3.设==n+tcosu，u=e，=lnt，求全导数坐dt来du4.设u=e(y-=)，x=t，y=sint，z=cost,dt5.设x+e=，求当dx6.设=yer+cosy，求全微分d.7设=xyf(x+y,x-y)，f可微，求d.8.设z=f(rcose,rsinの)可微，求全微分dz：S4多元复合函数的求导法则

(B ) 可微fi 可导fi 连续 (C)可微fi 可导，或可微fi 连续，但可导不一定连续 (D ) 可导fi 连续，但可导不一定可微 3．若 0 0 0 0  ( , ) ( , ) 0 x y f x y = f x y = ，则 f (x, y)在 0 0  (x , y ) 是（ ） (A ) 连续但不可微 (B ) 连续但不一定可微 (C)微但不一定连续 (D ) 不一定可微也不一定连续 4．设 2 2  3 ,( , ) (0,0) ( , ) ,  0 ,( , ) (0,0) xy  x y  f x y  x y  x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = 则在原点处（ ） (A)偏导数不存在，也不连续 (B)偏导数存在但不连续 (C ) 偏导数存在且可微 (D) 偏导数不存在也不可微 5．下列条件中 ( ) 成立时,  f (x, y)在 0 0  (x , y ) 点必有全微分df = 0 (A)在点 0 0  (x , y ) 两个偏导数 0, 0 x y f = f = (B) f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 的全增量 1  2 2 x y  f x y D D D = D + D ,  (C) f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 的全增量 2 2  2  2 2  sin( x y  ) f x y D + D D = D + D (D) f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 的全增量 2 2  3  2 2  1 f ( x y  )sin x y D = D + D D + D 四、解答题 1．求下列各函数的全微分： （1） 2 2 z = x + y ； （2） cos x z = e y ； （3） arcsin s  u t = ； （4） 2 2 2  u = ln(x + y + z ) ； （5） ( ) z u = xy .  2．求下列函数的全微分： （1） 2 2  u = f (r),r = x + y [提示： ( ) ( )( ) x g  du = f ¢ r dr = f ¢ r r dx + r dy ]； （2） ( ) ( ) x  u xy y = j +y .  3．设 2 z = uv + t cos u ， t u = e ，v = ln t ，求全导数 dz  dt ． 4．设 ( ) x u = e y - z ， x = t ， y = sint ， z = cost ，求 du dt ． 5．设 y x xy + e = e ，求 dy dx ． 6．设 2 cos x z = ye + y ，求全微分dz ． 7．设 2 2 2 2  z = xyf (x + y , x - y ) ， f 可微，求dz ． 8．设 z = f (r cosq,rsinq) 可微，求全微分dz ． §4 多元复合函数的求导法则

一、填空题则du1. 设u=f(x,y,t),x=x(t),y=y(t),dt和u则u2.设u=f(x,y,t),x=p(s,t),y=p(s,t),OSat二、选择题1. 设:= (x,n),u=5,则%)=ar?S%%af+afaf(B) Oyy+ax?axay++aff(D) (C) CuCu?ax2ax2axayaxdy18=2. 设==f(u,v),u=x +y,v=x-z,则=)axoy(afaf)(afafafafafaf(A) 2x(B) 2x(C) 2x(D) 4xQuO(auOv2Qu?(Qu?ovOv2则Ou3.若函数u=f(t,x,y),x=(s,t),y=(s,t)均具有一阶连续偏导数，=()at(A) f+f(B) f'+f+(C)fo,+fw2(D)f+ fo,+fw2三、解答题1.求下列各函数的一阶偏导数：(l)z=uv-v,而u=xcosy,v=xsiny(2)z=xlny,而x=,y=3v-2u;4(3) ==(1+xy);(4) z=(x2 +y2);r+y?(6): = yarctan(x+y+)(5)==(x2 +y2)e;x+y(7) f(xy,y+z,xz)=0af2.设u=(2°+3y+2)，求%，9arax求%,3. 设u=f(2x,3y2,22)，azaxO四、证明题1.设z=xy+xff可导，证明xz+y,=2+xy，y，且可微，证明！，1三2.设=f(x-y)xaxyoyy85隐函数的求导

一、填空题 1．设u = f (x, y,t), x = x(t), y = y(t) ，则 du dt = ． 2． 设u = f (x, y,t), x = j(s,t), y = j(s,t) ，则 u s ¶ = ¶ 和 u t ¶ = ¶ ． 二、选择题 1．设 z = f (x,u),u = xy ,则 2  2 z  x ¶ ¶ =( ) (A) 2 2  2  2 2 f f y  x u ¶ ¶ + ¶ ¶ (B) 2 2 2  2  2 2 f f f y y  x x y  u ¶ ¶ ¶ + + ¶ ¶ ¶ ¶ (C) 2 2 2  2  2 2  2 f f f y y  x x y  u ¶ ¶ ¶ + + ¶ ¶ ¶ ¶ (D) 2 2 2  2 2 f f f y  x x y  u ¶ ¶ ¶ + + ¶ ¶ ¶ ¶ 2．设 2 2 2 2  z = f (u, v),u = x + y , v = x - y ,则 2 z  x y ¶ ¶ ¶ =( ) (A) 2  2  2 f f x  u v  Ê ¶ ¶ ˆ Á + ˜ ¶ ¶ Ë ¯ (B) 2 2  2 2  2 f f x  u v Ê ¶ ¶ ˆ Á + ˜ ¶ ¶ Ë ¯ (C) 2 2  2 2  2 f f x  u v Ê ¶ ¶ ˆ Á - ˜ ¶ ¶ Ë ¯ (D) 2 2  2 2  4 f f xy u v Ê ¶ ¶ ˆ Á - ˜ ¶ ¶ Ë ¯ 3．若函数u = f (t, x, y), x = φ (s,t), y = y(s,t)均具有一阶连续偏导数，则 u t ¶ = ¶ ( ) (A) 2 2 3 2 f ¢φ ¢ + f y¢ ¢ (B) 1 2 2 3 2 f ¢+ f ¢φ ¢ + f y¢ ¢ (C) 2 2 fφ ¢ + fy ¢ (D) 2 2 f + fφ ¢ + fy ¢ 三、解答题 1．求下列各函数的一阶偏导数： (1) 2 2 z = u v - uv ，而u = x cos y,v = xsin y ； (2) 2  z = x ln y ，而 , 3 2 v  x y v u u = = - ； (3) 2  (1 ) y z = + x y ； (4) 2 2  ( ) xy z = x + y ； (5) 2 2 2 2  ( ) x y xy z x y e + = + ； (6) xy arctan(x y xy) z  x y + + = + ； (7) f (xy, y + z, xz) = 0 ． 2．设 3 2  u = f (2x + 3y + 2z) ，求 f x ¶ ¶ ， 2  2 f x ¶ ¶ ． 3．设 3 2  u = f (2x ,3y , 2z) ，求 f z ¶ ¶ ， 2 f z x ¶ ¶ ¶ ． 四、证明题 1．设 y  z xy xf x Ê ˆ = + Á ˜ Ë ¯ ， f 可导，证明 x y xz + yz = z + xy ． 2．设 2 2  ( ) y  z  f x y = - ，且 f 可微，证明 2  1 z 1 z z  x x y y  y ¶ ¶ + = ¶ ¶ ． §5 隐函数的求导

一、是非题F·F·F1.设F(x,J,=)=0满足隐函数定理的条件，则..=-()yaaxFFF2.由方程x+++y-6=0所确定函数=在点(1,2,-1)的偏导数=kz2-1)=()6()3.设y=f(x,t)，则由F(x,J,t)=0两边对x求导的结果为F+E,y+F,t,=0.4.设x+=(-2),则+()=Varay二、填空题1. 设[F(,-)=0，且y=为x的函数，则="=[G(x,J,2)=0 '2. 已知+y-:=e,xe=tant,y=cos,则dtl3.设=0确定：=()，则%+%axtayxx则4.设==2(x,J)由方程e-2=+e=0确定，贝ax?三、选择题u+则u1.设函数u=u(x,y)，v="(x,y)由方程组()=记+确定，u，ax(A)(B)二V(C) -"(D)-2.设方程y=F(x2+y)+F(x+y)确定隐函数y=f(x）（其中F可微)，且f(0)=2，F(2)=2)F(4)=1, 则f(0)=(111(A) 1/7(B) -(D) -(C) -7433. 当=(）时，由方程y-x-siny=0总能确定y=(x)，且y(x)就具有连续导函数(A)/ak1(B) [21(C) />0(D) ≤0)条件下，由方程：=X+y(-)所确定的函数：=(,)满足方程%=e(-)%4. 在(ayax(A)(=)连续(B) (=)可微(C) (=)可微且(=)0(D)(=)可微且2yzΦ(=)15.设y=f(x,t)，t由方程F(x,y,t)=0所确定的x,的函数，其中f,F都具有一阶连续的偏导数则=（dx(A)LF+fF:(B)L·F-F,(C) L.F+JF:(D)LF-FF,F.f.-F,+Ff.-F,+F四、解答题

一、是非题 1．设 F(x, y,z) = 0 满足隐函数定理的条件，则 1 y z x x y z x y z  F F F  y z x F F F ¶ ¶ ¶ × × × × = - = - ¶ ¶ ¶ × × ． （ ） 2．由方程 3 3 3  x + y + z + xyz - 6 = 0 所确定函数 z 在点(1, 2,- 1) 的偏导数 (1,2, 1)  | x z - = 1 5 ． ( ) 3．设 y = f (x,t) ，则由 F(x, y,t) = 0 两边对 x 求导的结果为 0 Fx Fy x t x + × y + F ×t = ． （ ） 4．设 2 2  x + z = yf (x - z ), 则 z z  z y y  x y ¶ ¶ + = ¶ ¶ ． ( ) 二、填空题 1．设 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z  G x y z Ï = Ì Ó = ，且 y,z 为 x 的函数，则 z' = ． 2．已知 , tan , cos , x x x + y - z = e xe = t y = t 则 t 0 dz  dt = = ． 3．设 ( , ) 0 y z  f x x = 确定 z = z(x, y)，则 z z  x y  x y ¶ ¶ + = ¶ ¶ ． 4．设 z = z(x, y)由方程 2 0 xy z  e z e - - + = 确定，则 2  2 z  x ¶ = ¶ ． 三、选择题 1．设函数u = u(x, y) ，v = v(x, y) 由方程组 2 2 x u v  y u v Ï = + Ì Ó = + 确定，u ¹ v ，则 u x ¶ = ¶ （ ） (A) x  u - v ； (B) v  u v - - ； (C ) u u v - - ； (D) y  u - v .  2．设方程 2 2  y = F(x + y ) + F(x + y) 确定隐函数 y = f (x) （其中 F 可微），且 f (0) = 2 ， 1 (2) 2 F¢ = ， F¢(4) = 1，则 f ¢(0) = ( ) (A) 1/7  (B) 1 7 - (C) 1 4 - (D) 1 3 - 3．当l = ( ) 时，由方程 y - x - l sin y = 0 总能确定 y = y(x) ，且 y(x) 就具有连续导函数 (A) | l | 0 (D) l £ 0 4．在( )条件下，由方程 2  z = x + yφ (z ) 所确定的函数 z = z(x, y)满足方程 2  ( ) z z  φ z  y x ¶ ¶ = ¶ ¶ (A) 2  φ(z  ) 连续 (B) 2  φ(z  ) 可微 (C) 2  φ(z  ) 可微且 2  φ(z ) ¹ 0 (D) 2  φ(z  ) 可微且 2  2yzφ ¢ (z ) ¹ 1 5．设 y = f (x,t) ，t 由方程 F(x, y,t) = 0 所确定的 x, y 的函数，其中 f , F 都具有一阶连续的偏导数， 则 dy dx = （ ） (A) x t t x t f F f F  F × + × ； (B) x t t x t f F f F  F × - × ； (C ) x t t x t y t f F f F  f F F × + × × + ； (D) x t t x t y t f F f F  f F F × - × × + .  四、解答题

1.求由方程x2+2xy-y2=α所确定的隐函数y的一阶与二阶偏导数2.求由方程x-ytan(az)=0所确定的隐函数-的一阶与二阶偏导数3．设：=(,)是由方程=ln三确定的隐函数，求，axay二y4.设：=(x,)是由方程-=+=0确定的隐函数，求%，%，=axayaxay5.设z=f(x,y)是由方程f(x-z,yz)=0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求d，并由此求和axay[x+y+z=0，求尝，6.设[x+y+2=1"Kd='dz7. 设:=(,)由:+n=-],edt=0确定，求axay[x+y+z+u+y=]8.从方程组中求出u，，u，[x2 +y2 +2*+u+2=186多元函数的极值及其求法一、是非题1.设函数z=f(x,J)在点(x,)处可微，且f(,)=0，f,(x%)=0，则函数f(x,)在(,y)()处可能有极值，也可能无极值()2.二元函数==1-x2+y的极大值点是(1,1)3.函数(x,)=+++在(）处有值极小值3元)(x丽4.函数：=sinx+siny+sin(x+)在区域0≤x.0≤y内有极大值为/5()25.函数μ=x-2y+2=在条件×++2=1有2个极值点（-2)与(--)()333333二、填空题1.由方程x2+y2+=2-xz-Vz+2x+2v+2=-2=0所确定函数=的驻点是，最小值是2.函数==x2(4-x-y)在区域B:x≥0.y≥0.x+y≤4的最大值是3.函数z=x-2y-3在区域B:x≥0,y≥0,x+y≤1的最大值是，最小值是4.用铁皮制造一个体积为2m的有盖长方体水箱，当长为、宽为，高为时，盒子容积最大，5．一块长方形的铁片，宽为1，要把它的两边折起来做成一个等腰梯形断面的排水槽，当边的倾斜角=，宽度x=时，才使断面的面积最大三、选择题1.设函数f(x,y)在点(xo,%)处可微，且f(xo,%)=0，f,(xo,%)=0，则f(x,J)在(xo,%)处（）(A)必有极值，可能是极大，也可能是极小；（B)可能有极值，也可能无极值；

1.求由方程 2 2 3  x + 2xy - y = a 所确定的隐函数 y 的一阶与二阶偏导数.  2.求由方程 x - y tan(az) = 0 所确定的隐函数 z 的一阶与二阶偏导数.  3．设 z = f (x, y) 是由方程 ln x z  z y = 确定的隐函数，求 z  x ¶ ¶ ， z  y ¶ ¶ ． 4．设 z = f (x, y) 是由方程 3  0 z e - z + xy = 确定的隐函数，求 z  x ¶ ¶ ， z  y ¶ ¶ ， 2 z  x y ¶ ¶ ¶ ． 5．设 z = f (x, y) 是由方程 f (x - z, yz) = 0所确定的隐函数，其中 f 具有连续的偏导数，求dz ，并由 此求 z  x ¶ ¶ 和 z  y ¶ ¶ ． 6．设 2 2 2  0 1 x y z  x y z Ï + + = Ì Ó + + = ，求 dx dz ， dy dz ． 7．设 z = z(x, y)由 2 ln 0 x t y z z e dt - + - = Ú 确定，求 2 t x y ¶ ¶ ¶ ． 8．从方程组 2 2 2 2 2  1 1 x y z u v  x y z u v Ï + + + + = Ì Ó + + + + = 中求出 x u  ， x v ， 2 x u ， 2 x v  ． §6 多元函数的极值及其求法 一、是非题 1．设函数 z = f (x, y) 在点 0 0  (x , y ) 处可微，且 0 0  ( , ) 0 x f x y = ， 0 0  ( , ) 0 y f x y = ，则函数 f (x, y)在 0 0  (x , y ) 处可能有极值， 也可能无极值． （ ） 2．二元函数 2 2  z = 1- x + y 的极大值点是(1,1) ． （ ） 3．函数 2 2  1 1 f (x, y) x xy y  x y = + + + + 在 3 3  1 1 ( , ) 3 3 处有值极小值 4  3  3 ． （ ） 4．函数 z = sin x + sin y + sin(x + y) 在区域0 ,0 2 2 x y p p £ £ £ £ 内有极大值为 3 ． （ ） 5．函数m = x - 2 y + 2z 在条件 2 2 2  x + y + z = 1 有 2 个极值点 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 - 与 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 - - ． （ ） 二、填空题 1．由方程 2 2 2  x + y + z - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2 = 0 所确定函数 z 的驻点是 ． 2．函数 2  z = x y(4 - x - y) 在区域 B : x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 4 的最大值是 ，最小值是 ． 3．函数 z = x - 2y - 3在区域 B : x ³ 0, y ³ 0, x + y £1的最大值是 ，最小值是 ． 4．用铁皮制造一个体积为 3 2m 的有盖长方体水箱，当长为 、宽为 ，高为 时，盒子 容积最大． 5． 一块长方形的铁片，宽为l ，要把它的两边折起来做成一个等腰梯形断面的排水槽，当边的倾 斜角q = ，宽度 x = 时，才使断面的面积最大． 三、选择题 1．设函数 f (x, y)在点 0 0  (x , y ) 处可微，且 0 0  ( , ) 0 x f x y = ， 0 0  ( , ) 0 y f x y = ，则 f (x, y)在 0 0  (x , y ) 处（ ） (A)必有极值，可能是极大，也可能是极小； (B)可能有极值，也可能无极值；

(C)必有极大值；(D)必有极小值2.二元函数==1-x2+y的极大值点是（）(A) (1,1)(B) (0,1)(C) (1,0)(D) (0,0)(x)--，则（）3．已知函数f(x,J)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limj38 (x +y)(A）点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)无法判断点(0,O)是否为f(x,y)的极值点4.二元实值函数==2x-y在区域D=(x,y)=R10≤y≤1-|x上的最小值为（)(B) -1 (C) -2(D) -3(A) 0)5.设m,M分别为函数z=f(x,y)在区域D上的最小值和最大值，且m≤μ≤M，则（(A)函数≥=f(x,y)在定义域D内一定有点P(x,y)，使f(P)=μ;(B)当f(x,y)为闭区域D上的连续函数时，则在D上至少有一点P(x,J)，使f(P)=μ;(C)当f(x,y)为有界区域D上的连续函数时，则==f(x,y)在D上至少有一点P(xr,J)，使f(P)=μ;(D)当f(x,J)为连通区域D上的连续函数时则f(x,J)在D上至少有一点P(x,J)，使f(P)=μ6.若函数f(x,y)在区域D内连续，关于极值的陈述（)是正确的(A)f(x,y)在偏导数不存在的点也可能取到极值(B)若f(x,y)在D内有唯一驻点，则f(x,J)至多有一极值点(C）若函数f(x,J)有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点(D)在驻点(o,)处，若[fg(x0,o)P-f(,%)f,(0,J0)≥0，则(o,J)不为极值点7.下列命题中错误的是（）(A)若f(x)在[a,b]上可导，且存在唯一的极小值点M。，则f(M)必是f(x)在[a,b]上的最小值(B)若f(x,y)在有界闭域D内存在唯一的极小值点M。，则f(M。)必是f(x,y)在D上的最小值.(C)若f(x,y)在有界闭域D内取到最小值，且M是f(x,y)在D内的唯一极小值点，则f(M。）必是f(x,y)在D上的最小值(D)连续函数f(x,y)在有界闭域D上的最大、最小值可以都在aD上取到.四、解答题1.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y的极值.2.求函数f(x,y)=e(x+y+2y)的极值.3.求函数==xy在满足条件x+y=1下的极大值，4.要造一个容积为定数k的长方体无盖水池，应如何选择尺寸方使表面积最小，5.求函数==x2+y2-2(x+y)在矩形域0≤x≤2,0≤v≤2的最大值6.一个长方形口盒子，它的底面积与四个侧面积的和为一个常数m，问盒子各边的长多大时，才能使盒子的容积最大？7.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元：问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？8.设f(x,y)=(y-x)(y-2x)，0<x<+o0，-00<y<+o0，则在过原点(0,0)的任何一条直线上，f(x,y)均在点(0,0)处取极小值，但f(x,J)在(0,0)处无极值9.求函数==15x2+3y2+1-(3x2+y2+1)在单位圆域x2+y2≤1上的最大值及最小值

(C ) 必有极大值； (D) 必有极小值.  2．二元函数 2 2  z = 1- x + y 的极大值点是（ ） (A) (1,1) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (0,0) 3．已知函数 f (x, y)在点(0,0) 的某个邻域内连续，且 2 2 2  0  0  ( , ) lim 1 ( ) x y f x y xy Æ x y Æ - = + ，则（ ） (A) 点(0,0) 不是 f (x, y)的极值点． (B)点(0,0) 是 f (x, y)的极大值点． (C ) 点(0,0) 是 f (x, y)的极小值点． (D) 无法判断点(0,0) 是否为 f (x, y)的极值点． 4．二元实值函数 z = 2x - y 在区域 2  D = {(x, y) Œ R | 0 £ y £ 1- | x |}上的最小值为（ ） (A) 0  (B) -1 (C) -2 (D) -3 5．设m, M 分别为函数 z = f (x, y) 在区域 D 上的最小值和最大值，且m £ m £ M ，则（ ） (A)函数 z = f (x, y) 在定义域 D 内一定有点 P(x, y) ，使 f (P) = m ； (B)当 f (x, y)为闭区域 D 上的连续函数时，则在 D 上至少有一点 P(x, y) ，使 f (P) = m ； (C ) 当 f (x, y)为有界区域 D 上的连续函数时， 则 z = f (x, y) 在 D 上至少有一点 P(x, y) ， 使 f (P) = m ； (D) 当 f (x, y)为连通区域 D 上的连续函数时则 f (x, y)在 D 上至少有一点 P(x, y) ，使 f (P) = m .  6．若函数 f (x, y)在区域 D 内连续，关于极值的陈述( )是正确的 (A) f (x, y)在偏导数不存在的点也可能取到极值 (B)若 f (x, y)在 D 内有唯一驻点，则 f (x, y)至多有一极值点 (C ) 若函数 f (x, y)有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点 (D) 在驻点 0 0  (x , y ) 处，若 2  0 0 0 0 0 0  [ ( , )] ( , ) ( , ) 0 xy xx yy f x y - f x y f x y ³ ，则 0 0  (x , y ) 不为极值点 7．下列命题中错误的是( ) (A)若 f (x) 在[a,b ]上可导，且存在唯一的极小值点M 0 ，则 0  f (M  ) 必是 f (x) 在[a,b ]上的最小值． (B)若 f (x, y)在有界闭域 D 内存在唯一的极小值点M 0 ，则 0  f (M  ) 必是 f (x, y)在 D 上的最小值． (C ) 若 f (x, y)在有界闭域 D 内取到最小值，且M 0 是 f (x, y)在 D 内的唯一极小值点，则 0  f (M  ) 必是 f (x, y)在 D 上的最小值． (D) 连续函数 f (x, y)在有界闭域 D 上的最大、最小值可以都在¶ D 上取到． 四、解答题 1．求函数 2 2  f (x, y) = 4(x - y) - x - y 的极值． 2．求函数 2 2  ( , ) ( 2 ) x f x y = e x + y + y 的极值． 3．求函数 z = xy 在满足条件 x + y =1下的极大值． 4．要造一个容积为定数 k 的长方体无盖水池，应如何选择尺寸方使表面积最小． 5．求函数 2 2  z = x + y - 2(x + y) 在矩形域0 £ x £ 2,0 £ y £ 2 的最大值． 6．一个长方形敞口盒子，它的底面积与四个侧面积的和为一个常数m ，问盒子各边的长多大时， 才能使盒子的容积最大？ 7．要建造一个容积为 10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米 20 元，侧面材料单 价每平方米 8 元．问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？ 8.设 2 2  f (x, y) = ( y - x ))(y - 2x ), -• < x < +• ， -• < y < +• ，则在过原点(0,0) 的任何一条直线上， f (x, y)均在点(0,0) 处取极小值，但 f (x, y)在(0,0) 处无极值.  9.  求函数 2 2 2 2 2  z = 15x + 3y +1- (3x + y +1) 在单位圆域 2 2  x + y £ 1上的最大值及最小值

10.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），利润函数为f(x,J)=6x-x+16y-4y2+10(单位:万元),已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料20000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？11.曲面==x+y被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到该椭圆的最长和最短距离.12.周长为2p的矩形绕其一边旋转构成一圆柱体，问矩形的边长各为多少可使圆柱体体积最大

10.  设某工厂生产甲乙两种产品,  产量分别为 x 和 y (单位:千件),  利润函数为 2 2  f (x, y) = 6x - x +16 y - 4y +10 (单位:万元),  已知生产这两种产品时,  每千件产品均需消耗某种原料 2000 公斤,  现有该原料 20000 公斤,  问两种产 品各生产多少千件时,  总利润最大? 最大利润为多少? 11．曲面 2 2 z = x + y 被平面 x + y + z = 1截成一椭圆，求原点到该椭圆的最长和最短距离． 12．周长为 2p 的矩形绕其一边旋转构成一圆柱体，问矩形的边长各为多少可使圆柱体体积最大．