《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第4章 不定积分

第四章不定积分教学提示：我们在第二章中讨论了如何求一个函数的导数问题，本章将要讨论与之相反的问题即要寻找一个函数使它的导数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一教学要求：理解原函数、不定积分的概念及不定积分的几何意义；熟练掌握三种基本积分法；会计算几类特殊函数的不定积分。教学重点：原函数、不定积分的概念：微分与不定积分关系：不定积分积分法教学难点：不定积分的计算；用微元法解决实际问题.第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1.原函数的定义定义1如果函数F(x)在区间I上的导函数为f(x)，即对任意的xeI，都有F(x)= f(x)或dF(x)= f(x)dx,则称函数F(x)为f(x)(或f(x)dx）在区间I上的原函数例如，因为（sinx）=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数.又如，当xe(l,+o)时，由于Y(n(x+ V2 -1) = (1+x+x2-1Vx?-1x-1所以In(x+V-1)是一的一个原函数。Vx2-1关于原函数，我们需要说明三点.第一，一个函数具备什么条件时，能保证它一定存在原函数？这个问题将在下一章的定积分中讨论，这里先介绍一个结论，原函数存在定理如果函数f(x）在区间1上连续，则在区间I上存在可导函数F(x），使得对任意的xeI，都有 F(x)=f(x)简单地说就是，连续函数一定有原函数，第二，如果函数f(x)在区间1上存在原函数，那么f(x)的原函数的个数有多少？设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，于是对任意的xe1，都有F(x)=f(x)。显然对任意常数C，有(F(x)+C)'= F(x)= f(x),即F(x)+C也是f(x)在I上的原函数．这说明，如果函数f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数，第三，如果F(αx）和G(x）都是函数f(x)在区间「上的原函数，那么F(x)和G(x)之间有什么关系？由于F(αx)和G(x)都是函数f(αx)在区间I上的原函数，从而对任意的xEI，有

第四章 不定积分 教学提示: 我们在第二章中讨论了如何求一个函数的导数问题，本章将要讨论与之相反的问题， 即要寻找一个函数使它的导数等于已知函数．这是积分学的基本问题之一． 教学要求：理解原函数、不定积分的概念及不定积分的几何意义；熟练掌握三种基本积分法；会 计算几类特殊函数的不定积分． 教学重点：原函数、不定积分的概念；微分与不定积分关系；不定积分积分法． 教学难点: 不定积分的计算；用微元法解决实际问题.  第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 1.  原函数的定义 定义 1  如果函数 F(x) 在区间 I 上的导函数为 f (x) ，即对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F(x) 为 f (x) (或 f (x)dx )在区间 I 上的原函数． 例如， 因为(sin x)¢ = cos x ，所以sin x 是cos x 的一个原函数． 又如，当 x Œ(1,+• )时，由于 2  2 2 2  1 1 (ln( 1)) (1 ) 1 1 1 x  x x  x x x x + - ¢ = × + = + - - - ， 所以 2  ln(x + x -1) 是 2  1 x -1 的一个原函数． 关于原函数，我们需要说明三点． 第一，一个函数具备什么条件时，能保证它一定存在原函数？这个问题将在下一章的定积分中讨 论，这里先介绍一个结论． 原函数存在定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，则在区间 I 上存在可导函数 F(x) ，使得对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) ． 简单地说就是，连续函数一定有原函数． 第二，如果函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，那么 f (x) 的原函数的个数有多少？ 设 F(x) 是函数 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，于是对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) ．显然对任 意常数C ，有 (F(x) +C)¢ = F¢(x) = f (x) ， 即 F(x) + C 也是 f (x) 在 I 上的原函数．这说明，如果函数 f (x) 有一个原函数，那么 f (x) 就有无限多个 原函数． 第三，如果 F(x) 和G(x)都是函数 f (x) 在区间 I 上的原函数，那么 F(x) 和G(x)之间有什么关系？ 由于 F(x) 和G(x)都是函数 f (x) 在区间 I 上的原函数，从而对任意的 x Œ I ，有

116第四章不定积分(F(x)-G(x)= F(x)-G(x)= f(x)- f(x)=0 .由第三章第一节知，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以F(x)-G(x)=Co，(C。为某个常数).这说明，函数f(x)在区间1上的原函数F(x)和G(x)只差一个常数．因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示函数f(x)在区间1上的任意一个原函数：也就是说，f(x)在区间1上的全体原函数所组成的集合，就是函数族(F(x)+CI-00<C<+00) .由以上第二、第三两点说明，我们引进不定积分的定义，2.不定积分的定义定义2函数f(x)在区间1上的全体原函数称为f(x)在1上的不定积分，记作「f(x)dx，其中为积分号，(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.由定义2和原函数结构可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)在1上的不定积分，即[f(x)dx = F(x)+C,其中积分常数C是遍取一切的实数值因此，不定积分「f(x)dx表示的是f(x)的任意一个原函数，要计算函数的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上一个任意常数就可以了例1求[xdx.解当x(-0,+)时，有(x/3)=x2，所以x/3是x在(-00,+)上的一个原函数因此，函数x在(-o0,+o0)上的不定积分为[xdx=x/3+c.例2 求解当xe(0,+o)时,有(nx)=,所以Inx是在(0,+o)上的一个原函数。因此,函数二在(0,+o)上的不定积分为[-dx=Inx+C.当xe(-0,0)时，有(ln(-x)=所以In(-x)是一在(-0,0)上的一个原函数。因此，函(-1)=，xX数一在(-0,0)上的不定积分为[-dx = In(-x)+C .综上所述，函数一在(-80,0)U(0,+o)上的不定积分为L-dx = In|x|+C.这里提醒大家注意的是，在讨论不定积分时，必须指明被积函数f(x)的连续区间I，如例1中，我们指明相应区间为(-0,+）：又如例2中，我们指明相应区间为（-00,0)U(0,+o0）．今后在讨论不定积分

116 第四章 不定积分 (F(x) -G(x))¢ = F¢(x) -G¢(x) = f (x) - f (x) = 0． 由第三章第一节知，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以 0  F(x) -G(x) = C ， 0  (C  为某个常数) ． 这说明，函数 f (x) 在区间 I 上的原函数 F(x) 和G(x)只差一个常数．因此，当C 为任意常数时，表达式 F(x) + C 就可以表示函数 f (x) 在区间 I 上的任意一个原函数．也就是说， f (x) 在区间 I 上的全体原函数所组成 的集合，就是函数族 {F(x) +C | -• < C < +• }． 由以上第二、第三两点说明，我们引进不定积分的定义． 2.  不定积分的定义 定义 2  函数 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作 f (x)dx Ú ，其中Ú 为 积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量． 由定义 2 和原函数结构可知，如果 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x) + C 就是 f (x) 在 I 上的不定积分，即 f (x)dx = F(x) + C Ú ， 其中积分常数C 是遍取一切的实数值．因此，不定积分 f (x)dx Ú 表示的是 f (x) 的任意一个原函数． 要计算函数的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上一个任意常数就可以了． 例 1  求 2 x dx Ú ． 解 当 x Œ (-•,+• ) 时，有 3 2  (x 3)¢ = x ，所以 3  x  3是 2 x  在(-•,+• ) 上的一个原函数． 因此，函数 2 x  在(-•,+• ) 上的不定积分为 2 3  x dx = x 3+ C Ú ． 例 2  求 1 dx  x Ú ． 解 当 x Œ(0,+• ) 时， 有 1 (ln x ) x ¢ = ， 所以ln x 是 1 x  在(0,+• ) 上的一个原函数．因此， 函数 1 x  在(0,+• ) 上的不定积分为 1 dx ln x C x = + Ú ． 当 x Œ(-• ,0) 时，有 1 1 (ln( x )) ( 1) x x - ¢ = × - = - ，所以ln(- x)是 1 x  在(-• ,0) 上的一个原函数． 因此，函 数 1 x  在(-• ,0) 上的不定积分为 1 dx ln( x) C x = - + Ú ． 综上所述，函数 1 x  在(-•,0)U (0,+• ) 上的不定积分为 1 dx ln x C x = + Ú ． 这里提醒大家注意的是，在讨论不定积分时，必须指明被积函数 f (x) 的连续区间 I ．如例 1 中，我 们指明相应区间为(-•,+• ) ；又如例 2  中，我们指明相应区间为(-•,0)U (0,+• ) ．今后在讨论不定积分

117第一节不定积分的概念与性质时，为了叙述方便起见，在不至于发生混淆的情况下，总是假定不定积分是在被积函数f（x）的连续区间「来考虑，而不再指明有关区间13.不定积分的几何意义函数f(x)的原函数F(x)的图像称为f(x)的一条积分曲线.在几何上，不定积分「f(x)dx表示积分曲线F(x)沿着y轴方向从-到+连续地平行移动而产生的曲线族（称为积分曲线族），又积分曲线族中的每一条积分曲线在横坐标x处的切线斜率都为(F(x)+C)=f(x)，因此，积分曲线族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处切线是互相平行的(图4-1)y-F(0)+Cy-Fx/y=F(x)+C3图 4-1在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y=F(x)+C，再从中确定一个满足初始条件条件(x）=的原函数y=(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x，%）的积分曲线.例3设曲线通过点（0,1)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程。解设所求曲线的方程为y=y(x)，按题意有y=x，于是y=x/3+C.因为这曲线通过点(0,1)，代入上式可得C=1.故所求曲线的方程为y=x/3+14.不定积分与微分的关系从不定积分的定义，即可知如下关系：由于[f(x)dx是f(x)的一个原函数，于是有( f(x)dx) = f(x) .或d(J f(x)dx)= f(x)dx .又F(α)是F(x)的一个原函数，所以JF(x)dx= F(x)+C .虽说F（x)dx是一个整体记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作自变量x的微分对待，从而微分等式F(x)dx=dF(x)可以方便地用到被积表达式中来．因此[dF(x)= F(x)+C.由此可见，微分运算（以记号d表示）与不定积分运算（简称积分运算，以记号表示）是互逆的，当记号d与连在一起时，或互相抵消，或抵消后相差一个常数，二、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：性质1若函数f(x)和g(x)的原函数存在，则J[f(x)±g(x)]dx=[f(x)dx±J g(x)dx .证设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是g(x)的一个原函数，则 f(x)dx=F(x)+Cj, Jg(x)dx=G(x)+C2

第一节 不定积分的概念与性质 117 时，为了叙述方便起见，在不至于发生混淆的情况下，总是假定不定积分是在被积函数 f (x) 的连续区间 I 来考虑，而不再指明有关区间I ． 3.  不定积分的几何意义 函数 f (x) 的原函数 F(x) 的图像称为 f (x) 的一条积分曲线．在几何上，不定积分 f (x)dx Ú 表示积分 曲线 F(x) 沿着 y 轴方向从-• 到 +• 连续地平行移动而产生的曲线族(称为积分曲线族) ． 又积分曲线族 中的每一条积分曲线在横坐标 x 处的切线斜率都为(F(x) +C)¢ = f (x) ，因此，积分曲线族中的每一条积 分曲线在具有同一横坐标 x 的点处切线是互相平行的(图 4­1)． 图 4­1  在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式 y = F(x) + C ，再从中确定一个满足初 始条件条件 0 0  y(x ) = y 的原函数 y = y(x) ．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点 0 0  (x , y ) 的 积分曲线． 例 3  设曲线通过点(0,1) ，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程． 解 设所求曲线的方程为 y = y(x) ，按题意有 2 y¢ = x ．于是 3  y = x 3+ C ．因为这曲线通过点(0,1) ， 代入上式可得C = 1．故所求曲线的方程为 3  y = x 3 +1． 4.  不定积分与微分的关系 从不定积分的定义，即可知如下关系： 由于 f (x)dx Ú 是 f (x) 的一个原函数，于是有 ( f (x)dx) f (x) ¢ = Ú ． 或 d( f (x)dx) = f (x)dx Ú ． 又 F(x) 是 F¢(x) 的一个原函数，所以 F¢ (x)dx = F(x) + C Ú ． 虽说 F¢ (x)dx Ú 是一个整体记号，但从形式上看，被积表达式中的 dx 也可当作自变量 x 的微分对待，从 而微分等式 F¢(x)dx = dF(x) 可以方便地用到被积表达式中来．因此 dF(x) = F(x) + C Ú ． 由此可见，微分运算(以记号d 表示)与不定积分运算(简称积分运算，以记号Ú 表示)是互逆的，当 记号d 与 Ú 连在一起时，或互相抵消，或抵消后相差一个常数． 二、不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质： 性质 1  若函数 f (x) 和 g(x) 的原函数存在，则 [ f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx Ú Ú Ú ． 证 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， G(x)是 g(x) 的一个原函数，则 1  f (x)dx = F(x) +C Ú ， 2  g(x)dx = G(x) + C Ú ．

118第四章不定积分其中C、C,为任意常数。从而[f(x)dx±Jg(x)dx=(F(x)±G(x)+(C,±C,),又[(F(x)±G(x)+(C ±C,)" = F(x)±G(x)= f(x)±g(x) ,于是，(F(x)±G(x))+(C±C)是f(x)±g(x)的任意一个原函数，即有[Lf(x)±g(x)x =(F(x)±G(x)+(G±C)=J f(x)dx±Jg(x)dx性质1对有限多个函数也成立性质2若函数f(x)的原函数存在，k是非零常数，则[kf(x)dx= k[ f(x)dx .证设F(x)是f(x)的一个原函数，则[ f(x)dx=F(x)+C，其中C,为任意常数。于是kJ f(x)dx= kF(x)+ kC).又[KF(x)+kC} = kF(x) = kf(x) ,从而kF(x)+kC,是kf(x)的任意一个原函数，即有[k f(x)dx = kF(x)+ kC, = kJ f(x)dx .利用基本积分表和不定积分的两个性质可以计算一些简单函数的不定积分，三、基本积分表（一)利用积分运算是微分运算的逆运算，我们可以从导数公式得到相应的不定积分公式。下面把一些基本积分公式列成一个表，这个表通常称为基本积分表(2) J x'dx = ++(1)[kdx=kx+C+c(μ*-1)（k为常数）u+1(3) [= In|x| +C(4) [e'dx=e'+C(5) Ja'dx=+0(6) Jsin xdx=-cosx+CIna(7) J cos xdx = sin x+C(8) [sec xdx=tan x+C(9) Jcsc* xdx=-cot x+C(10)[sec x-tan xdx = secx+Cdx(11) J csc x· cot xdx = -csc x+ C(12) [arcsinx+CJJi-xdx(13) Jarctanx+C1+x以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础，必须牢记在应用时可根据被积函数的类型直接或经过简单恒等变形后，查得所需结果。例4 求Jr dx= +C=?+C=+C.2x-3+1-2例5 求[-dxx/x

118 第四章 不定积分 其中C 1、C 2 为任意常数．从而 1 2  f (x)dx ± g(x)dx = (F(x) ± G(x)) + (C ±C ) Ú Ú ， 又 1 2  [(F(x) G(x)) (C C )] F (x) G (x) f (x) g(x) ¢ ± + ± = ¢ ± ¢ = ± ， 于是， 1 2  (F(x) ±G(x)) + (C ± C ) 是 f (x) ± g(x) 的任意一个原函数，即有 1 2  [ f (x) ± g(x)]dx = (F(x) ± G(x)) + (C ± C ) = f (x)dx ± g(x)dx Ú Ú Ú ． 性质 1 对有限多个函数也成立． 性质 2  若函数 f (x) 的原函数存在，k 是非零常数，则 kf (x)dx = k f (x)dx Ú Ú ． 证 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 1  f (x)dx = F(x) +C Ú ，其中C 1为任意常数．于是 1  k f (x)dx = kF(x) + kC Ú ． 又 1  [kF(x) + kC ]¢ = kF¢ (x) = kf (x) ， 从而 1  kF(x) + kC 是 kf (x) 的任意一个原函数，即有 1  k f (x)dx = kF(x) + kC = k f (x)dx Ú Ú ． 利用基本积分表和不定积分的两个性质可以计算一些简单函数的不定积分． 三、 基本积分表（一） 利用积分运算是微分运算的逆运算，我们可以从导数公式得到相应的不定积分公式．下面把一些 基本积分公式列成一个表，这个表通常称为基本积分表． (1) kdx = kx +C Ú ( k 为常数) (2)  1  1 x  x dx C m m m + = + + Ú ( m ¹ -1 ) (3)  ln dx  x C x = | | + Ú (4) x x e dx = e + C Ú (5)  ln x x a a dx C a = + Ú (6)  sin xdx = -cos x + C Ú (7)  cos xdx = sin x + C Ú (8)  2  sec xdx = tan x +C Ú (9)  2  csc xdx = -cot x +C Ú (10)  sec x × tan xdx = sec x + C Ú (11)  csc x × cot xdx = -csc x + C Ú (12)  2  arcsin 1 dx  x C x = + - Ú (13)  2  arctan  1 dx  x C x = + + Ú 以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础， 必须牢记． 在应用时可根据被积函数的类型直接或 经过简单恒等变形后，查得所需结果． 例 4  求 3  1 dx  x Ú ． 解 3 1 2  3  3 2  1 1 3 1 2 2 x x  dx x dx C C C x x - + - - = = + = + = - + - + - Ú Ú ． 例 5  求 3  1 dx  x x Ú ．

119第一节不定积分的概念与性质31解了dx=x"dx=VE+C.+C=A+1x/x3(I-x)"dx.例6求一解[(-=Ja-)*d= x*±-2[*+ -2*-4x/+* /+C.例7求[(e-2cos x)dx.解 J(e*-2cosx)dx-Je'dx-2fcos xdx=e'-2sinx+C.例8求[2*e°dx.解 [2ed= [2erd =2g+c-2+C1+In2In(2e)

第一节 不定积分的概念与性质 119 解 4  1  4  3  3  3 3  1 3 4 1 3 x  dx x dx C C x x x - + - = = + = - + - + Ú Ú ． 例 6  求 1 2  (1 x) dx  x - Ú ． 解 1 2 2 1 2  (1 x) dx (1 x) x dx  x - - = - Ú Ú 1 2 1 2 3 2  x dx 2 x dx x dx - = - + Ú Ú Ú 1 2 3 2 5 2  = 2x - 4x 3 + 2x 5 + C ． 例 7  求 ( 2cos ) x e - x dx Ú ． 解 ( 2 cos ) 2 cos 2sin x x x e - x dx = e dx - xdx = e - x + C Ú Ú Ú ． 例 8  求 2 x x e dx Ú ． 解 2 (2 ) x x x e dx = e dx Ú Ú (2 ) ln(2 ) x e  C e = + 2 1 ln 2 x x e  = + C + ．

120第四章不定积分第二节换元积分法利用基本积分表和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步探寻不定积分的其它求法：本节把微分法中的链式法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，换元积分法通常有第一类与第二类换元法两类，一、第一类换元积分法1.第一类换元公式设函数f(u)具有原函数F(u)，如果中间变量u=o(x)可导，则由复合函数导数的链式法则，有dF(0(x)= f(0(x)0'(x)dx .根据不定积分的定义，有[ f(o(x)0(x)dx= J dF(0(x)= F(o(x)+C=[J f(u)dul=0(m) =[F(u)+Cl=0() = F(0(x)+C .于是J f(p(x)p(x)dx = F(p(x)+C .因此，我们就有定理1设f(u)具有原函数F(u)，且中间变量u=p(x)可导，则有第一换元公式[ f(p(x)p'(x)dx =Jf(u)du = F(p(x)+C .公式表明，如果积分的形式是[f(o(x)o(x)dx，那么，我们先将被积表达式中的p(x)与dx被凑成微分dp(x)；其次作变换u=p(x)f(x)=cosx将积分转化为[f(u)du的形式并求出其结果F(u)+C；最后通过变换u=p(x)的回代求出结果F(p(x))+C因此第一换元公式常称为凑微分公式，而第一换元积分法也称为读微分法在实际计算中，积分常常不直接表现为凑微分公式所要求的积分的形式，计算时应采用一些恒等运算将被积函数转化为f(p(x)p(x)。但这一步是应用凑微分公式计算积分的关键和最困难的一步，没有一般的规律可循，只有熟记基本积分表，并掌握凑微分的一些常见形式，多做一些练习，不断总结，积累经验，才能真正掌握凑的技巧.凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成d（x），这需要解题经验，如果记熟下列一些微分式，解题中则会给我们以启示。=2d(v),d(x),I dx = d(n |x),dx =-=d(ax +b),xdx =e'dx = d(e'),Vx2xa. sin xdx=-d(cosx),.secxdx =d(tan x),csc xdx = -d(cot x),YXdxdxI +x =d(aretan x) .= d(arcsinx),V1- x2下面的例子，将继续展示凑微分法的解题技巧。2.凑微分的常见形式我们现在来具体介绍被积函数通过适当的恒等变形后，所能转化的凑微分的常见形式第一种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(x)=kx" f(ax* +b), (k,a,b, μeR, k±0, a0),则用复合函数f(ax++b)中的ax"++b作变换，即u=ax++b，可将积分化为

120 第四章 不定积分 第二节 换元积分法 利用基本积分表和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步探寻不 定积分的其它求法．本节把微分法中的链式法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到 复合函数的积分法，称为换元积分法，换元积分法通常有第一类与第二类换元法两类． 一、第一类换元积分法 1．第一类换元公式 设函数 f (u ) 具有原函数 F(u ) ，如果中间变量u = j(x) 可导，则由复合函数导数的链式法则，有 dF(j(x)) = f (j(x))j¢(x)dx ． 根据不定积分的定义，有 ( )  ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ] u x f x x dx dF x F x C f u du j j j j = j ¢ = = + = Ú Ú Ú ( ) [ ( ) ] ( ( )) F u x = u +C = j = F j x +C ． 于是 f (j(x))j¢ (x)dx Ú = F(j(x)) + C ． 因此，我们就有 定理 1  设 f (u ) 具有原函数 F(u ) ，且中间变量u = j(x) 可导，则有第一换元公式 f (j(x))j¢ (x)dx Ú = f (u)du Ú = F(j(x)) + C ． 公式表明，如果积分的形式是 f (j(x))j¢ (x)dx Ú ，那么，我们先将被积表达式中的j¢(x) 与dx 被凑成 微分 dj(x) ；其次作变换u = j(x) f ( x) = cos x 将积分转化为 f (u)du Ú 的形式并求出其结果 F(u) + C ；最 后通过变换u = j(x) 的回代求出结果 F(j(x)) + C ．因此第一换元公式常称为凑微分公式，而第一换元积 分法也称为凑微分法． 在实际计算中，积分常常不直接表现为凑微分公式所要求的积分的形式，计算时应采用一些恒等 运算将被积函数转化为 f (j(x))j¢(x) ．但这一步是应用凑微分公式计算积分的关键和最困难的一步，没 有一般的规律可循，只有熟记基本积分表，并掌握凑微分的一些常见形式，多做一些练习，不断总结， 积累经验，才能真正掌握凑的技巧． 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成df (x) ,这需要解题经验，如果记熟 下列一些微分式,解题中则会给我们以启示。 1 dx d(ax b) a = + ， 1 2  d d( ) 2 x x = x ， d 2d( ) x  x  x = ， e d d(e ) x x x = ， 1 dx d(ln | x |) x = ， 2  1 1 dx d x x  Ê ˆ - = Á ˜ Ë ¯ , .sin xdx = - d(cos x)， . 2  sec xdx = d(tan x)， 2  csc xdx = -d(cot x)， 2  d d(arcsin ) 1 x  x  x = - ， 2  d d(arctan ) 1 x  x  x = + ． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧。 2． 凑微分的常见形式 我们现在来具体介绍被积函数通过适当的恒等变形后，所能转化的凑微分的常见形式． 第一种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 1  g(x) kx f (ax b) m m+ = + ，(k, a,b, m Œ R, k ¹ 0, a ¹ 0) ， 则用复合函数 1  f (ax b) m+ + 中的 1 ax b m + + 作变换，即 1 u ax b m + = + ，可将积分化为

121第二节换元积分法f[ har" f(ax+ + b)dx =[f(ax+ +b)d(ax+ +b) .a(μ+1)例1 求[2cos 2xdx .解作变换u=2x，则J2cos2xdx=Jcos2xd(2x)=fcosudu=sinu+C.再以u=2x作回代，即得[2cos2xdx=sin2x+C.例 2 求[2xe dx .解作变换u=x，则[2xerdx=2]xerdx=fer'dx-fe'du=e"+C.再以u=x作回代，即得J2xet dx =e +C.1例3 求[--dx2+3x解作变换u=2+3x，则[- du =-dx =d(2 + 3x) -In |u|+C2+3xJ2+3x再以u=2+3x作回代，即得1-dx =In|2+ 3x|+C.2+3x在对变量代换熟练后，为了简化解题步骤，就不一定把中间变量写出来，只需默记在头脑中就可以了如例4求「/3x+4dx解「/3x+4dx[(3x+ 4) d(3x+ 4) (3x+4)3 +Cp(x)第二种形式：通过求导运算，如果被积函数的形式为g(x)=则用分母中的g(x)作变换，即0(x)u=(x)，可将积分化为[0(x)1d(o(x))Yp(x)((x)例5求[tan xdxsinx dx =驿-(cos x)'dx= -In |cos x|+Ctanxdxcos.xcosxcosxdx=类似地，我们有cotxdx(sin x)'dx = In |sin x| +C .sinxsinx例6求xxlnxdx={-.一dx=[一(nx)dx=d(In x)= In|Inx|+C .解xInInInxIn第三种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(t)=(aresin)或(arctan)则依次1+x2V1-x2

第二节 换元积分法 121 1 1 1  ( ) ( ) ( ) ( 1) k  kx f ax b dx f ax b d ax b a m m m m m + + + + = + + + Ú Ú ． 例 1  求 2cos 2xdx Ú ． 解 作变换u = 2x ，则 2cos 2xdx Ú = cos 2xd(2x) Ú = cos udu Ú = sin u + C ． 再以u = 2x 作回代，即得 2 cos 2xdx = sin 2x +C Ú ． 例 2  求 2 2 x  xe dx Ú ． 解 作变换 2 u = x ，则 2 2 2 2 x x  xe dx = xe dx Ú Ú 2 x 2 u = e dx = e du Ú Ú u = e +C ． 再以 2 u = x 作回代，即得 2 2 x  xe dx Ú 2 x = e + C ． 例 3  求 1 2 3 dx  + x Ú ． 解 作变换u = 2 + 3x ，则 1 2 3 dx  + x Ú 1 1 (2 3 ) 3 2 3 d x  x = + + Ú 1 1 3 du u = Ú 1 ln 3 = | u | +C ． 再以u = 2 + 3x 作回代，即得 1 2 3 dx  + x Ú 1 ln 2 3 3 = | + x | +C ． 在对变量代换熟练后，为了简化解题步骤，就不一定把中间变量写出来，只需默记在头脑中就可 以了．如 例 4  求 3  3x + 4dx Ú ． 解 1  3  3  1 3 4 (3 4) (3 4) 3 x + dx = x + d x + Ú Ú 4  3  1 (3 4) 4 = x + + C ． 第二种形式：通过求导运算，如果被积函数的形式为 ( ) ( ) ( ) x  g x  x j j ¢ = ，则用分母中的j(x) 作变换，即 u = j(x) ，可将积分化为 ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ) x  dx d x  x x j j j j ¢ = Ú Ú ． 例 5  求 tan xdx Ú ． 解 sin 1 tan (cos ) ln cos cos cos x  xdx dx x dx x C x x = = - ¢ = - | | + Ú Ú Ú ． 类似地，我们有 cos 1 cot (sin ) ln sin sin sin x  xdx dx x dx x C x x = = ¢ = | | + Ú Ú Ú ． 例 6  求 1 ln dx  x x Ú ． 解 1 1 1 1 1 (ln ) (ln ) ln ln ln ln ln ln dx dx x dx d x x C x x x x x x = × = ¢ = = | | + Ú Ú Ú Ú ． 第三种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 2  (arcsin ) ( ) 1 f x  g x  x = - 或 2  (arctan ) 1 f x  + x ．则依次

122第四章不定积分用复合函数f(arcsinx)或f(arctanx)中的arcsinx，arctanx作变换，可将积分化为f(arctanx)[(aresin)dx=Jf(aresin x)d(arcsinx),(f(arctanx)d(arctanx)dx:1+x2Vi-xarcsinx例 7 求[[x(1-x)arcsinVx(arcsinx1=2d()=2()驿dx:J-xVi-xVxx(1- x)/1-(Vx)2=2[arcsinxd(arcsin/x)=(arcsinVx)+C类似地，我们有arctan xE dt = 2 aretan /z (/.) =2 artan / (aeta /) (acta /) + C .Vx(1+ x)1+ x第四种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(x)=(a0)，则1+(x/a)2/1-(x/a)作变换u=xa，可将积分化为J f(1±(x/a))dx =af f(1±(x/a))d(x/a)=a[f(1±u)dul=/a:例8求dx (a+0).解arctan=d(x/a) =11a1+(x/a)0-1aa11类似地，有dxd(x/a) = aresin=a2-71-(x/a)例9求下列积分：(1)2)3(4) [sin° xdx:(5) ((?sin5xcos3xdx1解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形rd(x+a)d(x-a)(1)[dxx+ax+ax-a-[In|x-al-In|x+a]+C2gdx3+xdx=21N4-x14-xV4-xd(4-x)=3aresin号-V4-x+C.=3arcsin=+14-x21+e'-e"_dx=-ax =Jdx-[+d(1+et) =x-In(1+e')+C.[1--（3)1+er1[1cos2dx=Jdx[cos2xdr(4)[sin’xdx =2.2x- 002a(2) -+*-sin2x+CX

122 第四章 不定积分 用复合函数 f (arcsin x) 或 f (arctan x) 中的arcsin x ，arctan x 作变换，可将积分化为 2  (arcsin ) (arcsin ) (arcsin ) 1 f x  dx f x d x  x = - Ú Ú ， 2  (arctan ) (arctan ) (arctan ) 1 f x  dx f x d x  x = + Ú Ú ． 例 7  求 arcsin (1 ) x  dx  x - x Ú ． 解 arcsin arcsin 1 (1 ) 1 x x  dx dx  x x x x = - - Ú Ú arcsin 2 ( ) 1 x  d x  x = - Ú 2  arcsin 2 ( ) 1 ( ) x  d x  x = - Ú = 2 arcsin xd(arcsin x ) Ú 2  = (arcsin x ) +C ． 类似地，我们有 arctan arctan 2 ( ) (1 ) 1 x x  dx d x  x x x  = + + Ú Ú = 2 arctan x d(arctan x ) Ú 2  = (arctan x ) +C ． 第四种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 2  1 ( ) 1 ( ) g x  x a = + 或 2  1 1- (x a) (a ¹ 0)，则 作变换u = x a ，可将积分化为 2 2 2  (1 ( ) ) (1 ( ) ) ( ) [ (1 ) ] u x a  f x a dx a f x a d x a a f u du Ú ± = Ú ± = ± = ． 例 8  求 2 2  1 dx (a 0) a x ¹ + Ú ． 解 2 2 2  1 1 1 ( ) 1 ( ) dx d x a a x  a x a = + + Ú Ú 1 arctan x  C a a = + ． 类似地，有 2 2 2  1 1 ( ) 1 ( ) dx d x a a x  x a = - - Ú Ú arcsin x  C a = + ． 例 9  求下列积分： (1) 2 2  1 dx  x - a Ú ； (2) 2  3 d 4 x  x  x + - Ú ； (3) 1 d 1 x x  + e Ú ； (4) 2  sin xdx Ú ； (5) 1 d 1 cos x  + x Ú ； (6) sin 5x cos 3xdx Ú ． 解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形． (1) 2 2  1 1 1 1 d d 2 x x  x a a x a x a Ê ˆ = Á - ˜ - Ë - + ¯ Ú Ú 1 d ( ) d ( ) [ ] 2 x a x a a x a x a - + = - - + Ú Ú 1 [ln ln ] 2 x a x a C a = - - + + 1 ln .  2 x a C a x a - = + + (2) 2 2 2  3 d d 3 d 4 4 4 x x x  x x  x x x + = + - - - Ú Ú Ú ( ) 2  2  1 2 3arcsin d 4 2 4 x  x  x - = + - - Ú 2  3arcsin 4 .  2 x  = - - x + C (3) 1 1 e e e  d d 1 d 1 e 1 e 1 e x x x x x x x x x + - Ê ˆ = = Á - ˜ + + Ë + ¯ Ú Ú Ú ( ) 1 d d 1 e  1 e x x = x - + + Ú Ú ln (1 e ) . x = x - + + C (4) 2  1 cos 2 1 1 sin d d d cos 2 d 2 2 2 x  x x x x x x - = = - Ú Ú Ú Ú ( ) 1 1 cos 2 d 2 2 4 = x - x x Ú 1 1 sin 2 .  2 4 = x - x + C

123第二节换元积分法5ans2cosCO(6)[sin5xcos3xdx=[(sin8x+sin2x)dx（积化和差)Jsin8xd(8x)+[ sin2xd(2x)cos8xCos2x+C16°X例10求dx.Nx(x+1)解d(V)=2arctanvx+C.dx=dx=2Jx+1x(x)2 +1Vx(x+1)第五种形式：如果被积函数的形式为g(x)=sin2k+xcos"x，或sin"xcos2k+x，keN．则依次作变换u=cosx或u=sinx，可求得结果.特别地，当k=0时，且n是奇数，变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。例 11 求[sin'xcos xdx解sinxcosxdx=sinxcosxcosxdx=sinx(l-sinx)d(sinx)2sin'x-2sin' x+1s-J(sin* x-2sin'x+sin x)d(sin x) =-sin'x+C357第六种形式：如果被积函数的形式为g(x)=sin2*xcos"x，k,leN。则可利用三角恒等式sin"x(1-cos2x)，cosx(1+cos 2x)2化成cos2x的多项式，然后可求得结果.例12 求[cos° xdx.4/cos2xd(2x)=+ sin2x解Jcos xdx=J(1+cos2x)dx=dx++C24(-cos2x)dx=[dx-Jcos2xdx=sJ sin"xdx =sin2x+C.224第七种形式：如果被积函数的形式为g(x)=tan"xsec2*，或tan2-1xsec"x，keN+，则依次作变换u=tanx或u=secx，可求得结果.例13求sec°xdx.解[secxdx=[(sec’ x) sec xdx=[(1+tan x) d(tan x) =[(1+2tan"x+tan'x)d(tan x)= tanx+2tan'x+tan'x+C.例14 求[tan’ xsec’ xdx 解{tan'xsec"xdx=[tan"xsec"x·sec xtan xdx =[(secx-1)"sec"xd(sec x)sec"x_2=J(sec*x-2sec*x+sec x)d(secx) ecsx-ecx+C7S3例15求[cscxdx1解dx =dxCSO2tantsinxcOs2sin三cos三tan2222= In |tan+(=In|cscx-cotx|+C

第二节 换元积分法 123 (5) 2 2  1 d 1 d d 1 cos 2 2 cos cos 2 2 x x  x  x x x  Ê ˆ = = Á ˜ + Ê ˆ Ê ˆ Ë ¯ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ú Ú Ú tan .  2 x  = + C (6) ( ) 1 sin 5 cos3 d sin 8 sin 2 d 2 x x x = x + x x Ú Ú （积化和差） ( ) ( ) 1 1 1 sin 8 d 8 sin 2 d 2 2 8 2 x x x x È ˘ = + Í ˙ Î ˚ Ú Ú 1 1 cos8 cos 2 .  16 4 = - x - x + C 例 10  求 1 ( 1) dx  x x + Ú ． 解 2  1 1 1 1 2 ( ) 2arctan  ( 1) 1 ( ) 1 dx dx d x x C x x x  x x = × = = + + + + Ú Ú Ú ． 第五种形式：如果被积函数的形式为 2 1  ( ) sin cos k n  g x x x + = ，或 2 1 sin cos n k  x x + ， k Œ N ．则依次作变 换u = cos x 或u = sin x ，可求得结果．特别地，当k = 0 时，且 n 是奇数，变正(余)弦函数的积分为余(正) 弦函数的积分． 例 11  求 2 5  sin x cos xdx Ú ． 解 2 5 2 4  sin x cos xdx = sin x cos x cos xdx Ú Ú 2 2 2  = sin x(1- sin x) d (sin x) Ú 2 4 6  = (sin x - 2sin x + sin x)d (sin x) Ú 2 3 2 5 1 7  sin sin sin 3 5 7 = x - x + x +C ． 第六种形式：如果被积函数的形式为 2 2  ( ) sin cos k l g x = x x ， k,l Œ N ．则可利用三角恒等式 2  1 sin (1 cos 2 ) 2 x = - x ， 2  1 cos (1 cos 2 ) 2 x = + x 化成cos 2x 的多项式，然后可求得结果． 例 12  求 2  cos xdx Ú ． 解 2  1 cos (1 cos 2 ) 2 xdx = + x dx Ú Ú 1 1 cos 2 (2 ) 2 4 = dx + x d x Ú Ú sin 2 2 4 x x  = + + C ． 2  1 sin (1 cos 2 ) 2 xdx = - x dx Ú Ú 1 1 1 cos 2 sin 2 2 4 2 4 x  = dx - xdx = - x + C Ú Ú ． 第七种形式：如果被积函数的形式为 2  ( ) tan sec n k g x = x ，或 2 1 tan sec k n x x - ，k + Œ N ．则依次作变换 u = tan x 或u = sec x ，可求得结果． 例 13 求 6  sec xdx Ú ． 解 6 2 2 2 2 2  sec xdx = (sec x) sec xdx = (1+ tan x) d(tan x) Ú Ú Ú 2 4  = (1+ 2 tan x + tan x)d (tan x) Ú 2 3 1 5  tan tan tan  3 5 = x + x + x +C ． 例 14  求 5 3  tan x sec xdx Ú ． 解 5 3 4 2  tan x sec xdx = tan x sec x × sec x tan xdx Ú Ú 2 2 2  = (sec x -1) sec xd(sec x) Ú 6 4 2  = (sec x - 2sec x + sec x)d(sec x) Ú 1 7 2 5 1 3  sec sec sec 7 5 3 = x - x + x +C ． 例 15  求 csc xdx Ú ． 解 1 1 csc  sin 2sin cos 2 2 xdx dx dx  x x x  = = Ú Ú Ú 2  1 1 2 tan cos 2 2 x  d x x Ê ˆ = × Á ˜ Ë ¯ Ú 1 tan 2 tan  2 x  d x Ê ˆ = Á ˜ Ë ¯ Ú ln tan  2 x  = | | +C = ln | csc x - cot x | + C ．

124第四章不定积分利用上述结果，有11dx=sec xdx =dx-d(x+元/2)sin(x+元/2)sin(x+元/2)cos.x=In [csc(x+/2)-cot(x+ 元/2)/+C = ln |secx+ tan x|+C .第八种形式：如果被积函数的形式为g(x)=sinαxsinβx，或cosαxsinβx，或cosαxcosβx，则可利用三角函数的积化和差公式，可求得结果，例16求sin2xcos3xdx.1[sin5xd(5x)[(sin 5x-sinx)dx =sin xdx =解sin2xcos3x:cos5x+cosx+C.10第九种形式：如果被积函数的形式为g(x)=f(sinx)cosx，或f(cosx)sinx，或f(tanx)secx，则依次用复合函数f(sinx)，f(cosx)，f(tanx)中的sinx，cosx，tanx作变换，可将积分化为[ f(sin x)cos xdx= J f(sinx)d(sin x);[f(cosx)sin xdx =-[ f(cos x)d(cos x) :[f(tan x)sec* xdx=Jf(tanx)d(tanx) .COSx例 17 求[dx1+sinxCOS.Xdx =解d(sinx)=arctan(sinx)+C.1+sin’ xJ1+sin?x3．基本积分表（二)(14) tan xdx = -In /cos x|+C ;(15) [cot xdx= In| sin x/+C ;(16)J sec xdx=In|secx+ tan x|+C ;(17) Jcsc xdx=In/cscx-cot x/+C ;arctan=+C;dx= arcsin =+C,(a>0) ;(19) [dx=(18)a*+xla2-xaaa-In|±-~|+C(20)x:2ax+有些不定积分稍作变形便可运用上述公式二、第二类换元法1．第二类换元公式在使用第一类换元法时，关键是要把「f(x)dx凑成[g[0(x)10'(x)dx= g[0(x)]dp(x)的形式，这时令g(x)=u，则求[f(x)dx就变成了求「g(u)du，如果「g(u)du很容易求出来，也就求出了[f(x)dx。但是有时我们常常会遇到相反的情况，有些不定积分[f(x)dx，在适当地选择了代换变量x=9(t)后，变形为[f[o(t)o()dt，如果[[o(0)]o(t)dt很容易求出来，也就求出了[f(x)dx，假设[f[o(t)]'(t)dt =G(t)+C,这时只须从x=(t)中解出t=-(x)代入G(t)即可，即G(0)+C=G(-(x)+C,这种方法就叫做第二类换元法定理2设x=y(t)是单调可导函数，且y(t)±0.又设(t)()有原函数F(t)，则有第二换元公式

124 第四章 不定积分 利用上述结果，有 1 1 1 sec ( 2) cos sin( 2) sin( 2) xdx dx dx d x  x x x p p p = = = + + + Ú Ú Ú Ú = ln | csc(x + p 2) - cot(x +p 2) | +C = ln |sec x + tan x | + C ． 第八种形式：如果被积函数的形式为 g(x) = sinax sin b x ，或cosax sin b x ，或cosa x cos b x ．则可 利用三角函数的积化和差公式，可求得结果． 例 16  求 sin 2x cos 3xdx Ú ． 解 1 sin 2 cos3 (sin 5 sin ) 2 x x = x - x dx Ú Ú 1 1 sin 5 (5 ) sin 10 2 = x d x - xdx Ú Ú 1 1 cos 5 cos 10 2 = - x + x + C ． 第九种形式：如果被积函数的形式为 g(x) = f (sin x) cos x ，或 f (cos x)sin x ，或 2  f (tan x)sec x ．则依 次用复合函数 f (sin x) ， f (cos x)， f (tan x) 中的sin x ，cos x ， tan x 作变换，可将积分化为 f (sin x) cos xdx = f (sin x)d(sin x) Ú Ú ； f (cos x)sin xdx = - f (cos x)d(cos x) Ú Ú ； 2  f (tan x)sec xdx = f (tan x)d(tan x) Ú Ú ． 例 17  求 2  cos  1 sin x  dx  + x Ú ． 解 2 2  cos 1 ( ) arctan(sin ) 1 sin 1 sin x  dx d sinx x C x x = = + + + Ú Ú ． 3． 基本积分表（二） (14) tan xdx = -ln | cos x | +C Ú ； (15) cot xdx = ln |sin x | +C Ú ； (16) sec xdx = ln |sec x + tan x | +C Ú ； (17) csc xdx = ln | csc x - cot x | +C Ú ； (18) 2 2  1 arcsin ,( 0) x  dx C a a x a = + > - Ú ； (19) 2 2  1 1 arctan x  dx C a x a a = + + Ú ； (20) 2 2  1 1 ln 2 x a dx C x a a x a - = | | + - + Ú ． 有些不定积分稍作变形便可运用上述公式． 二、第二类换元法 1．第二类换元公式 在使用第一类换元法时，关键是要把 f (x) dx Ú 凑成 g[φ(x )]φ¢ (x) dx = g[φ(x)]dφ(x) Ú Ú 的形式，这时令 φ (x) = u ，则求 f (x) dx Ú 就变成了求 g(u) du Ú ，如果 g(u) du Ú 很容易求出来，也就求出 了 f (x) dx Ú ．但是有时我们常常会遇到相反的情况，有些不定积分 f (x) dx Ú ，在适当地选择了代换变量 x = φ (t) 后，变形为 f [φ(t)]φ¢ (t) dt Ú ，如果 f [φ(t)]φ¢ (t) dt Ú 很容易求出来，也就求出了 f (x) dx Ú ，假设 f [φ(t)]φ¢ (t) dt Ú = G(t) + C ， 这时只须从 x = φ (t) 中解出 1  t φ (x) - = 代入G(t)即可，即 G(t) C G(φ (x)) C -1 + = + ， 这种方法就叫做第二类换元法． 定理 2  设 x = y(t) 是单调可导函数，且y ¢(t) ¹ 0 ．又设 f[y(t)]y ¢(t) 有原函数 F(t) ，则有第二换元 公式