《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 函数、极限与连续 第一节 函数（函数）

三、函数1.函数的概念设数集DCR，则映射f：D→R称为定义定义在D上的函数，记为y=f(x),xeD其中x称为自变量，J称为因变量，D称为定义域，记作Dr, 即D,=D由定义知，对每个xED，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即 J=f(x).因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系上页目录下页返回结束机动

三、函数 定义 y f x x D = ( ), .  , Df = . 即 D D f 设数集 D R  , 在 D上的函数，记为 则映射 f D R : → 称为定义 其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，记作 由定义知，对每个 x D  , 按对应法则 f , 总有唯一 记作 f x( ), 确定的值 y 与之对应，这个值称为函数 f 在 x 处的函数 即 y f x = ( ). 因变量 y 与自变量 x 之间的 这种依赖关系，通常称为函数关系. 1.函数的概念 值

记作值域：由函数值f(x）的全体所构成的集.Rf 或f(D), 即 R,=f(D)=(yly=f(x),xD)构成函数的要素：定义域D及对应法则f相同函数：定义域与对应法则都相同的函数单值函数：对VxED，对应J总是唯一的函数如果给定一个对应法则，对VxED多值函数：总有确定的值与之对应，但这个不总是唯一的，称这种法则确定了一个多值函数目录上页下页返回结束机动

定义域 D 及对应法则 f . = ( ) = { | = ( ), }. Rf 或 f D( ), 即 R f D y y f x x D f  由函数值 f x( ) 的全体所构成的集. 定义域与对应法则都相同的函数. 如果给定一个对应法则， 对 x D  , 对 x D  , 对应 y 总是唯一的函数. 值域： 构成函数的要素： 相同函数： 单值函数： 多值函数： 总有确定的 y 值与之对应， 但这个 y 不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数. 记作

例4 判断y=arcsin(2+x2)是否为函数关系对于任何实数x，都没有按给定的规则与之对应的值．所以此例不是函数关系例5 判断 x>是否为函数关系按这个规则，每个x值有无穷多个y与之对应所以此例不是函数关系例6 y=x与y=x/x是不是相同的函数关系两个函数定义域不同，因此是不同的函数关系目录上页下页返回结束机动

例4 arcsin 2 判断 y x = (2 + ) 是否为函数关系. 例5 判断 x > y 是否为函数关系. 例6 y x = 与 2 y x x = 是不是相同的函数关系? 对于任何实数 x , 都没有按给定的规则与之对应 的 y 值. 所以此例不是函数关系. 按这个规则，每个 x 值有无穷多个 y 与之对应. 所以此例不是函数关系. 两个函数定义域不同, 因此是不同的函数关系

例7确定函数 =1/lg(3x-2)的定义域解要使函数有意义，须使23x-2>0X>3即3x-2±1x￥1所以函数J的定义域为U (1,+)目录上页下页返回结束机动

例7 确定函数 y x = 1 lg(3 2) − 的定义域. 解 要使函数有意义， 即 须使 3 2 x −   3 2 x −   2 3 x  x   所以函数 y 的定义域为       2 ,1 (1, ) 3 D = +

2.函数的表示法具体表示一个函数时，要根据函数自身的特点采取适当的方法，把一个函数的定义域和对应关系表述清楚：常用的方法有表格法、图形法和解析法，这在中学数学里大家已经熟悉：其中用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面的点集C=((x,y)ly= f(x),xeD)称为函数y=f(x)的图形。有时函数要用儿个式子表示，这种在自变量的不同通常变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数上页目录下页返回结束机动

即坐标平面的点集 C x y y f x x D = {( , ) | = ( ), }  称为函数 y f x = ( ) 的图形． 2.函数的表示法 具体表示一个函数时， 要根据函数自身的特点 把一个函数的定义域和对应关系 表述清楚．常用的方法有表格法、图形法和解析法， 这在中学数学里大家已经熟悉． 其中用图形法表示 函数是基于函数图形的概念， 有时函数要用几个式子表示. 这种在自变量的不同 变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数， 通常 称为分段函数. 采取适当的方法

符号函数x>0x=0y=Sgnx=x<0-1,2取整函数32y=[x]=n,1-1-2n≤x<n+l,nez.[≤]表示不超过x的最大整数目录上页下页返回结束机动

符号函数      1, > 0 = sgn = 0, = 0 1, < 0 x y x x − x 取整函数 [x]表示不超过 x的 最大整数y x n = [ ] = , n x n n Z   < +1, . 1 2 3 4 1 2 3 −1 −2 −1 −2 x y O 1 −1 x y O

狄利克雷函数x是有理数时x是无理数时无理数点有理数点取最值函数y = min(f(x),g(x)y=maxtf (x),g(x))f(x)f(x)g(x)g(x)XX00目录上页下页返回结束机动

无理数点 有理数点 • 1 x y o 狄利克雷函数    1, = 0, x y x 是有理数时 是无理数时 取最值函数 y f x g x = max{ ( ), ( )}, y f x g x = min{ ( ), ( )}. y x o f x( ) g x( ) y x o f x( ) g x( )

3.函数的几种特性(1)有界性设函数f(x)的定义域为D，数集XCD.若M对 VxeX，有f(x)≤M，则称f(x)在 X上有上界而M 称为f(x）在X上的一个上界.设函数f（x）的定义域为D，数集XCD.若EM对 VxEX，有f(x)≥M，则称f(x)在X上有下界，而M称为f(x）在X上的一个下界上页目录下页返回结束机动

(1) 有界性 设函数 f x( ) 的定义域为 D, 数集 X D  . 3. 函数的几种特性 若 M , 对 x X  , 有 f x M ( )  , 则称 f x( ) 在 X 上有上界， 而 M 称为 f x( ) 在 X 上的一个上界． 设函数 f x( ) 的定义域为 D, 数集 X D  . 若 M , 对 x X  , 有 f x M ( )  , 则称 f x( ) 在 X 上有下界， 而 M 称为 f x( ) 在 X 上的一个下界．

设f(x）的定义域为D，数集XcD.若EM>O对 VxEX，有Lf(x)<M，则称f(x)在X上有界若这样的M不存在，则称f(x）在X上无界MMJ-fx)北X有界无界-MM目录上页下页返回结束机动

有界 无界 0x −M M O x y X y=f(x) −M M O x y X 若这样的 M 不存在， 则称 f x( ) 在 X 上无界. 设 f x( ) 的定义域为 D, 数集 X D  . 若 M  , 对 x X  , 有   f x M ( ) , 则称 f x( ) 在 X 上有界．

（2）单调性设f(x)的定义域为D，区间ID，若Vxi,x,EI当xf(x2))则称f(x）在区间I上单调增加（或减少）单调增加和单调减少的函数统称为单调函数y=f(x)y= f(x)f(x2)f(x)f(x2)f(x)目录上页下页返回结束机动

( 2 ) 单调性 设 f x( ) 的定义域为 D, 区间 I D  , 若 1 2   x x I , , 则称 f x( ) 在区间 I 上单调增加 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 当 x x 1 2 ( )), ( 或减少 ) I x y O y f x = ( ) 2 f x( ) 1 f x( ) x y O y f x = ( ) 1 f x( ) 2 f x( ) I