《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第一节 导数的概念

第二章导数与微分微积分学的创始人导数思想最早由法国数学家Ferma在研究英国数学家Newton极值问题中提出德国数学家Leibniz导数描述函数变化快慢微分学微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数目录上页下页返回结束机动

微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 第二章 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton

第一节导数的概念第2章一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数下页返回

第2章 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 导数的概念

一、 引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为s=f(t)则t到的平均速度为自由落体运动= T()- f(o)2g1t-toS=而在t.时刻的瞬时速度为f(to)f (t)f(t)-f(to)?1Ov= limt-tot-→to目录上页下页返回结束机动

一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 2 2 1 s = gt s o ( ) 0 f t f (t) 自由落体运动

2.曲线的切线斜率y= f(x)/曲线 C:= f(x)在 M点处的切线NT割线MN的极限位置MTM(当→α时)ot0xx切线MT的斜率ak= tanα = lim tanβ→αf(x)-f(xo)割线MN的斜率tan @X-Xof(x)- f(xo)k = limx-Xox→xo目录上页下页返回结束机动

x y o y = f ( x ) C 2. 曲线的切线斜率 曲线   N T x0 M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan  = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率    lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x

f(to)f(t) sf(t)-f(to)to瞬时速度EV=limy4t-tot->toy= f(x)/Nf(x)-f(xo)切线斜率k = limTx-xox-→xo两个问题的共性yXXOD所求量为函数增量与自变量增量之比的极限类似问题还有加速度是速度增量与时间增量之比的极限变化率问题角速度是转角增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限电流强度是电量增量与时间增量之比的极限目录上页返回结束机动下页

两个问题的共性: s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 瞬时速度 切线斜率 x y o y = f ( x ) C   N T x0 M x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题   

导数的定义二、！定义1.设函数 y= f(x)在点 x,的某邻域内有定义f(x)-f(xo) = limAyy= f(x)- f(xo)若lim△x=X-xX-→xoX-Xo△x-→0 △x存在，则称函数f（x）在点x处可导并称此极限为记作：y=f(x)在点x的导数df(x)dyy|x=x0o : f'(xo);dxdxx= Xox=XoAy即x=xo = f(xo) = lim△x->0 △xf(xo +h)-f(xo)f(xo +△x)-f(xo)lim lim=三hAxAx-0h->0上页目录下页返回结束机动

二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x   =  →0 lim ( ) ( ) 0  y = f x − f x 0  x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y =  ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y =  ( ) 0 = f  x x y x   =  →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数

运动质点的位置函数s=f（t）f(to)f(t), s在t时刻的瞬时速度tof(t)-f(to)V= lim= f'(to)t-tot->to曲线 C :y= f(x）在 M点处的切线斜率f(x)-f(x)yk = limy=f(x)x-XoNx→xoTM= f'(xo)xxXo说明：在经济学中，边际成本率Q边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数目录上页下页返回结束机动

运动质点的位置函数 s = f (t) s o 0 t ( ) 0 f t f (t) 在 t 0 时刻的瞬时速度 曲线 C : y = f ( x) 在 M 点处的切线斜率 x y o y = f ( x ) C  N T x0 M x ( ) 0 = f  t ( ) 0 = f  x 说明: 在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数

f(x)-f(xo)y= f(x)- f(xo)limlim△x=X-Xx->xoAx-0△xX-Xo若上述极限不存在，就说函数在点不可导=α,也称 f(x)在 xo的导数为无穷大若lim△x0△x就称函数在「内可导若函数在开区间I内每点都可导，此时导数值构成的新函数称为导函数df(x)dy记作：y; f(x)dxdxdf(xo)注意：f'(xo) = f'(x)￥X=Xodx目录上页下页返回结束机动

( ) ( ) 0  y = f x − f x 0  x = x − x 若上述极限不存在 , 在点 不可导. x0 若 lim , 0 =     → x y x 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f ( x ) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( ) 0 f  x 0 ( ) x x f x = =  x f x d d ( ) 0  就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大

例1.求函数f(x）=C（C为常数）的导数C-C解: y'= lim f(x+△x)-f(x)=0lim△x-0AxArAr-0即(C)=0例2.求函数f(x)=x"（nEN+）在x=α处的导数x"-anf(x)-f(a))=lim解: f'(a)= limx-→ax-ax→ax-a.n-2n-3= lim(xn-l-+axCXx→a=nan-1目录上页下页返回结束机动

例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解: y  即 例2. 求函数 解: x a f x f a − ( ) − ( ) x→a = lim x a x a n n x a − − = → lim lim( x→ a = n−1 x −2 + n a x 2 −3 + n a x +  ) −1 + n a x f x x f x  ( +  ) − ( ) 0 lim  → = x

说明：对一般幂函数=x"（μ为常数)(x")'= μxμ-I（以后将证明例如(V)=(x)=×=2Vx(=) =(x-l) =-x-1-1T=11VxVx目录上页下页返回结束机动

说明： 对一般幂函数  y = x (  为常数) 1 ( ) −  =   x  x 例如， ( x ) ( ) 2 1 = x  2 1 2 1 − = x 2 x 1 = ( )  x 1 ( ) 1 =  − x − 1−1 = − x 2 1 x − = ) 1 (  x x ( ) 4 3 =  − x 4 7 4 − 3 − = x （以后将证明）