《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第七节 函数图形的描绘

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第3章 第七节 函数图形的描绘 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘

曲线的渐近线一、定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线y= f(x)或为“纵坐标差M=kx+bPN例如，双曲线bX二=0有渐近线hO但抛物线V=x无渐近线目录上页返回结束机动下页

无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 一、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线  = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x + b M x y o C y = f ( x ) P x y o

1.水平与铅直渐近线y=b若 lim f(x)=b,则曲线 y=f(x)有水平渐近线x+0(或x→-)若 lim f(x)=0,则曲线 y=f(x)有垂直渐近线 x= Xo X-→X0(或x→x)例1.求曲线y=+2的渐近线x-1解：：lim+-0 x-1：y=2为水平渐近线2）=00，：x=1为垂直渐近线lim(x-1 x-1目录上页下页返回结束机动

1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或 x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或 x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x −   y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + =  x→ x −   x = 1 为垂直渐近线. 2 1

2.斜渐近线（P75题13)若 lim [f(αx)-(kx+b)]=0, 则曲线y=f(x)有X+00斜渐近线y=kx+b(或x→8)lim [f(x)-(kx +b)]=0bf(x)x>+00k = limxxX→+06f(x)lim1=0f(x)k = limxxX-→+00xX→+00一(或x→-00)hf(x)limb= lim [f(x)-kx]k--1=0xxx→+00X→+8(或x→-0)上页机动目录下页返回结束

2. 斜渐近线 斜渐近线 y = k x + b . (或 x → −) 若 (k x + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+  x b k x f x x x (k x + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+  = b lim [ f (x) k x] x = − →+  (或 x → −) (或 x → −) ( P75 题13)

Y例2.求曲线的渐近线y== x? +2x-34解：：y=lim y=00(x + 3)(x - 1)X-→-3y=x- 2x(或x→l)所以有铅直渐近线x=-3及 x=1Xf(x)又因k = limlim=12x→0 x~ +2x -3xX-0-2x2 +3x=-2b = lim[f(x)-x] = limx→00 x2 + 2x-3x-00y=x-2为曲线的斜渐近线目录上页下页返回结束机动

例2. 求曲线 的渐近线 . 解: , ( 3)( 1) 3 + − = x x x  y lim , 3 =  →− y x (或 x → 1) 所以有铅直渐近线 x = −3 及 x = 1 又因 x f x k x ( ) lim → = 2 3 lim 2 2 + − = → x x x x b lim [ f (x) x] x = − → 2 3 2 3 lim 2 2 + − − + = → x x x x x  y = x − 2为曲线的斜渐近线 . − 3 1 y = x − 2

函数图形的描绘二、步骤：1.确定函数y=f(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求f(x),f"(x),并求出f(x)及f"(x)为0和不存在的点；3.列表判别增减及凹凸区间，求出极值和拐点4.求渐近线5.确定某些特殊点，描绘函数图形目录上页下页返回结束机动

二、函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周

例3.描绘 y=1x3-x2+2 的图形解：1)定义域为(-0,+80),无对称性及周期性2)y'= x2-2x, y"=2x-2令y=0,得x=0,2令y"=0,得x=13) x (-8,0) /01(0.1)1/(1.2)[(2,+802十0y十?4-32-3V2(拐点(极大)(极小)3-1x2-321目录上页下页返回结束机动

例3. 描绘 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 2 , 2 y  = x − x y  = 2 x − 2 , 令 y  = 0 , 令 y  = 0 , 3) x y  y  y (− ,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2 , + ) + 0 − − 0 + − − + + 2 3 4 (极大) (拐点） 3 2 (极小) 4) x y −1 3 3 2 2 0 −1 1 2 3

例4.描绘方程（x-3）~+4-4xV=0的图形(x -3)2解: 1) =定义域为(一80,1),(1,+0)4(x-1)2)求关键点2(x-3)+4y-4y-4xy=0y'= x-3-2y _ (x-3)(x+1)2(x-1)4(x-1)22+4y"-8y'-4xy"=01-4y2(x-1)(x-1)令y=0得 x=-1,3;目录上页下页返回结束机动

例4. 描绘方程 的图形. 解: 1) , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 定义域为 2) 求关键点  2( x − 3) + 4 y − 4 y − 4 x y  = 0 2( 1) 3 2 − − −   = x x y y  2 + 4 y − 8 y  − 4 x y  = 0 2( 1) 1 4 − −    = x y y 令 y  = 0 得 x = −1, 3 ;

3）判别曲线形态3(1,3)-1(-1,1)1-00,-1(3, + 00)一xV0福无定义yy(极大)（极小）4）求渐近线limy=0，：x=1为铅直渐近线x-1(x-3)22(x -3)(x +1)件=(x-1)34(x-1)4(x -1)2目录上页下页返回结束机动

x (− , −1) −1 (−1,1) 1 (1,3) 3 (3, + ) y  y  y + − − + − − + + − 2 0 , 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y , 4( 1) ( 3)( 1) 2 − − +  = x x x y 3 ( 1) 2 −  = x y 3) 判别曲线形态 0 0 (极大) (极小) 4) 求渐近线 lim , 1 =  → y x  为铅直渐近线 无 定 义  x = 1

J又因lim即k-4-00x(x - 3)2limb= lim-xn(y一444(x-1)x-00-5-5x+9= lim(x-3)244(x-1)X-00V=4(x- 1)为斜渐近线x-(x-3)(x+1)4(x-1)20x25）求特殊点219(x-1)344目录上页下页返回结束机动

又因 x y x→ lim , 4 1 = 4 1 即 k = ) 4 1 b lim ( y x x = − → ] 4 1 4( 1) ( 3) lim [ 2 x x x x − − − = → 4( 1) 5 9 lim − − + = → x x x 4 5 = − 4( 1) ( 3) 2 − − = x x y 5) 求特殊点 x y 0 4 9 − 2 4 1 为斜渐近线 4 5 4 1  y = x − 2 4( 1) ( 3)( 1) − − +  = x x x y 3 ( 1) 2 −  = x y